Diferansiyel Denklemlerin Sınıflandırması
Diferansiyel denklemlerin çözümünde kullanılan farklı yöntemlerden her biri, sadece belirli koşulları sağlayan denklemlere uygulanabilir. Bu açıdan diferansiyel denklemlerin farklı özelliklere göre sınıflandırması, doğru çözüm yönteminin belirlenmesi açısından önemlidir.
Diferansiyel denklemler temel olarak aşağıdaki şekillerde sınıflandırılırlar.
Adi ve Kısmi Diferansiyel Denklemler
Bilinmeyen \( y \) fonksiyonu tek bir bağımsız değişkene bağlı olan (tek değişkenli) diferansiyel denklemlere adi diferansiyel denklem (ADD) denir. ADD'lerde bilinmeyen fonksiyonun türevlerinde \( \frac{dy}{dt} \) ya da \( y' \) şeklinde standart türev gösterimleri kullanılır.
\( \dfrac{dy}{dx} + y = 4e^{3x} \)
\( t^2y'' - 5ty' + 6y = t^2 \)
Bilinmeyen \( y \) fonksiyonu birden fazla bağımsız değişkene bağlı olan (çok değişkenli) diferansiyel denklemlere kısmi diferansiyel denklem (KDD) denir. KDD'lerde bilinmeyen fonksiyonun türevlerinde \( \frac{\partial y}{\partial t} \) ya da \( y_t \) şeklinde kısmi türev gösterimleri kullanılır.
\( \dfrac{\partial y}{\partial t} + \dfrac{\partial y}{\partial s} = e^{t + s} \)
\( \dfrac{\partial^2 z}{\partial u^2} + \dfrac{\partial z}{\partial u \partial v} + \dfrac{\partial^2 z}{\partial v^2} = \sin(uv) \)
ADD ve KDD'ler ortak bazı kavramlara dayansa da; teorileri, ve çözüm yöntemleri birbirinden oldukça farklıdır ve ADD'lerle karşılaştırıldığında KDD'lerin çözümünün daha karmaşık olduğu söylenebilir.
Denklemin Mertebesi
Bir diferansiyel denklemde bilinmeyen \( y \) fonksiyonunun en yüksek mertebeden türevine o denklemin mertebesi denir.
Aşağıdaki denklemler belirtilen mertebedendir.
Birinci mertebeden ADD:
\( \textcolor{red}{\dfrac{dy}{dx}} + 5y = e^{3x}y^5 \)
İkinci mertebeden ADD:
\( \textcolor{red}{\dfrac{d^2y}{dt^2}} + 3t\left( \dfrac{dy}{dt} \right)^3 + 5y = e^{3t} \)
Üçüncü mertebeden ADD:
\( x^2\textcolor{red}{y'''} + 4x^8y'' - 2xy' + y = \cos{x} \)
Beşinci mertebeden ADD:
\( \textcolor{red}{y^{(5)}} + y'' = x^2 \)
Bir fonksiyonun türevinin mertebesi ile fonksiyonun derecesi karıştırılmamalıdır.
Fonksiyonun ikinci mertebeden türevi:
\( \dfrac{d^2y}{dt^2} \)
Fonksiyonun üçüncü kuvveti:
\( y^3 \)
Fonksiyonun ikinci mertebeden türevinin üçüncü kuvveti:
\( \left( \dfrac{d^2y}{dt^2} \right)^3 \)
Bir diferansiyel denklemde en yüksek mertebeden olan terimin katsayısına denklemin baş katsayısı denir. Aşağıdaki denklemlerin baş katsayıları kırmızı ile belirtilmiştir.
\( \textcolor{red}{3}y' + 4y = \cos{x} \)
\( \textcolor{red}{t^2}y'' + 4ty' - 6y = e^t \)
\( \textcolor{red}{1}y''' - 2y'' - 11y' + 12y = x^2 \)
Lineer Olan/Olmayan Denklemler
Aşağıdaki formda bulunan ya da bu formda yazılabilen denklemlere lineer diferansiyel denklem denir.
\( a_n(x)y^{(n)} + a_{n-1}(x)y^{(n-1)} + \ldots + a_1(x)y' + a_0(x)y = f(x) \)
\( y'' + 3\sqrt{x}y' - 4y = 5x \)
Lineer denklemlerde bilinmeyen \( y \) fonksiyonu ve türevleri her terimde;
- Sadece birinci kuvvetleri ile bulunabilir.
- Aynı terimde birbirlerinin çarpımı/bölümü şeklinde bulunamaz.
- Trigonometrik, logaritmik, üstel vb. lineer olmayan fonksiyonların içinde bulunamaz.
Lineer denklemlerde bilinmeyen \( y \) fonksiyonunun ve türevlerinin katsayılarını oluşturan ve bağımsız \( x \) değişkenine bağlı \( a_n(x), \ldots, a(0)(x) \) fonksiyonları lineer olmak zorunda değildir.
Lineer olma koşullarından en az birini sağlamayan denklemlere lineer olmayan diferansiyel denklem denir.
Aşağıda verilen denklemler, belirtilen lineerlik koşulunu sağlamadıkları için lineer değildir.
\( x^2y' + 3\textcolor{red}{y^3} = \sin{x} \)
\( y \) ve türevleri sadece birinci kuvvetleri ile bulunabilir.
\( \textcolor{red}{\left( \dfrac{dy}{dx} \right)^2} + 3y = \ln{x} \)
\( y \) ve türevleri sadece birinci kuvvetleri ile bulunabilir.
\( \sqrt{x}y' + 3x\textcolor{red}{y'y} = e^{2x} \)
\( y \) ve türevleri aynı terimde birbirinin çarpımı şeklinde bulunamaz.
\( \dfrac{d^2y}{dx^2} + 3\textcolor{red}{\sin{y}} = \sin{x} \)
\( y \) ve türevleri sinüs fonksiyonu içinde bulunamaz.
\( y'' + \dfrac{1}{x}y' = \textcolor{red}{e^{xy}} \)
\( y \) ve türevleri üstel ifadenin üssünde bulunamaz.
Genel ve Standart Formlar
Bir lineer diferansiyel denklemde, bilinmeyen \( y \) fonksiyonunu ya da türevlerini içeren tüm terimlerin eşitliğin sol tarafında, diğer (sadece bağımsız değişkene bağlı ya da sabit) terimlerin eşitliğin sağ tarafında bulunduğu gösterime denklemin genel formu adı verilir.
\( a_n(x)y^{(n)} + a_{n-1}(x)y^{(n-1)} + \ldots + a_1(x)y' + a_0(x)y = f(x) \)
Genel formdaki bir lineer diferansiyel denklemde, tüm terimlerin denklemin baş katsayısına bölünmesi ile elde edilen gösterime denklemin standart formu adı verilir. Buna göre standart formdaki bir lineer denklemin baş katsayısı 1 olur.
\( y^{(n)} + p_{n-1}(x)y^{(n-1)} + \ldots + p_1(x)y' + p_0(x)y = q(x) \)
Genel form:
\( 3y'' + 2y' - 5y = x \)
Standart form:
\( y'' + \dfrac{2}{3}y' - \dfrac{5}{3}y = \dfrac{x}{3} \)
Genel form:
\( x^2y'' - 4xy' + 2y = 3e^x \)
Standart form:
\( y'' - \dfrac{4}{x}y' + \dfrac{2}{x^2}y = \dfrac{3e^x}{x^2} \)
Aşağıdaki iki sınıflandırma genellikle lineer denklemler için kullanılır.
Homojen Olan/Olmayan Denklemler
Genel formunda eşitliğin sağ tarafı sıfır olan lineer diferansiyel denklemlere homojen diferansiyel denklem denir.
\( a_n(x)y^{(n)} + \ldots + a_0(x)y = \textcolor{red}{0} \)
\( \dfrac{d^2y}{dx^2} - 2\dfrac{dy}{dx} - 8y = 0 \)
Genel formunda eşitliğin sağ tarafı sıfırdan farklı bir fonksiyon olan lineer diferansiyel denklemlere homojen olmayan diferansiyel denklem denir.
\( f(x) \ne 0 \) olmak üzere,
\( a_n(x)y^{(n)} + \ldots + a_0(x)y = \textcolor{red}{f(x)} \)
\( \dfrac{d^2y}{dx^2} - 5\dfrac{dy}{dx} + 6y = e^{5x} \)
Sabit Katsayılı/Değişken Katsayılı Denklemler
Standart formunda bilinmeyen \( y \) fonksiyonunun ve türevlerinin katsayıları birer reel sayı olan lineer diferansiyel denklemlere sabit katsayılı diferansiyel denklem denir.
\( a_n, \ldots, a_0 \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( \textcolor{red}{a_n}y^{(n)} + \textcolor{red}{a_{n-1}}y^{(n-1)} + \ldots + \textcolor{red}{a_1}y' + \textcolor{red}{a_0}y = f(x) \)
\( y''' - 6y'' + 11y' - 6y = 4e^{-5x} \)
Standart formunda bilinmeyen \( y \) fonksiyonunun ve türevlerinin katsayıları \( x \) değişkenine bağlı birer fonksiyon olan lineer diferansiyel denklemlere değişken katsayılı diferansiyel denklem denir.
\( \textcolor{red}{a_n(x)}y^{(n)} + \textcolor{red}{a_{n-1}(x)}y^{(n-1)} + \ldots + \textcolor{red}{a_1(x)}y' + \textcolor{red}{a_0(x)}y = f(x) \)
\( x^2y''' - 2y'' + 6xy' - y = 0 \)
Bir diferansiyel denklemin katsayılarından en az biri \( x \) değişkenine bağlı ise diğer katsayılar sabit olsa da denklem değişken katsayılı olur.
Aşağıdaki adi diferansiyel denklemlerin mertebe, lineer olma/olmama, (lineer ise) homojen olma/olmama, sabit/değişken katsayılı olma açılarından sınıflandırmalarını belirtiniz.
(a) \( \dfrac{dy}{dt} + 3y = 6t \)
(b) \( y'' - \sqrt{x}y' + 5y - 2x = 0 \)
(c) \( xy''' = y^2y' \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( \dfrac{dy}{dt} + 3y = 6t \)
Verilen denklem birinci mertebeden, sabit katsayılı, homojen olmayan, lineer bir ADD'dir.
(b) seçeneği:
\( y'' - \sqrt{x}y' + 5y - 2x = 0 \)
Denklemi genel formda yazalım.
\( y'' - \sqrt{x}y' + 5y = 2x \)
Verilen denklem ikinci mertebeden, değişken katsayılı, homojen olmayan, lineer bir ADD'dir.
(c) seçeneği:
\( xy''' = y^2y' \)
Verilen denklem üçüncü mertebeden, lineer olmayan bir ADD'dir.
Aşağıdaki adi diferansiyel denklemlerin mertebe, lineer olma/olmama, (lineer ise) homojen olma/olmama, sabit/değişken katsayılı olma açılarından sınıflandırmalarını belirtiniz.
(a) \( \dfrac{d^2z}{dx^2} - z^5 + x\dfrac{dz}{dx} = 4xz \)
(b) \( 3y^{(5)} + 7y''' - 10y' = 0 \)
(c) \( \dfrac{d^2y}{dt^2}\sin{t} - \dfrac{dy}{dt}\cos{t} = -y\tan{t} \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( \dfrac{d^2z}{dx^2} - z^5 + x\dfrac{dz}{dx} = 4xz \)
Verilen denklem ikinci mertebeden, lineer olmayan bir ADD'dir.
(b) seçeneği:
\( 3y^{(5)} + 7y''' - 10y' = 0 \)
Verilen denklem beşinci mertebeden, sabit katsayılı, homojen, lineer bir ADD'dir.
(c) seçeneği:
\( \dfrac{d^2y}{dt^2}\sin{t} - \dfrac{dy}{dt}\cos{t} = -y\tan{t} \)
Denklemi genel formda yazalım.
\( \dfrac{d^2y}{dt^2}\sin{t} - \dfrac{dy}{dt}\cos{t} + y\tan{t} = 0 \)
Verilen denklem ikinci mertebeden, değişken katsayılı, homojen, lineer bir ADD'dir.
Aşağıdaki adi diferansiyel denklemlerin mertebe, lineer olma/olmama, (lineer ise) homojen olma/olmama, sabit/değişken katsayılı olma açılarından sınıflandırmalarını belirtiniz.
(a) \( \left( \dfrac{d^3y}{dx^3} \right)^4 - \ln\left( \dfrac{dy}{dx} \right) = e^{y^2} \)
(b) \( e^{e^xy' + e^xy} = 1 \)
(c) \( \tan{z''} + z'e^{2x} + \ln{z} = z^2x \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( \left( \dfrac{d^3y}{dx^3} \right)^4 - \ln\left( \dfrac{dy}{dx} \right) = e^{y^2} \)
Verilen denklem üçüncü mertebeden, lineer olmayan bir ADD'dir.
(b) seçeneği:
\( e^{e^xy' + e^xy} = 1 \)
Eşitliğin taraflarının doğal logaritmasını alalım.
\( e^xy' + e^xy = 0 \)
Verilen denklem birinci mertebeden, değişken katsayılı, homojen, lineer bir ADD'dir.
(c) seçeneği:
\( \tan{z''} + z'e^{2x} + \ln{z} = z^2x \)
Verilen denklem ikinci mertebeden, lineer olmayan bir ADD'dir.