Bir fonksiyon ile türevleri arasındaki ilişkiyi tanımlayan denklemlere diferansiyel denklem denir.
\( y''' + 3y' - 10y = \sin{t} \)
\( \dfrac{dy}{dt} = 4t \)
\( \left( \dfrac{dy}{dt} \right)^2 + \dfrac{dy}{dt} = y^3 \)
\( \dfrac{\partial y}{\partial s} + \dfrac{\partial y}{\partial t} = y \)
Yukarıdaki örneklerde görülebileceği üzere, bir diferansiyel denklem;
Bir diferansiyel denklem probleminde amaç, denklemi ve verilen diğer koşulları sağlayan fonksiyonu bulmaktır.
Bilinmeyen fonksiyonun bir diferansiyel denklemde bulunan en yüksek mertebeden türevine o denklemin mertebesi denir.
Bir diferansiyel denklemde bilinmeyen fonksiyonun türevleri aşağıdaki gösterimlerden biri ile ifade edilebilir. Bunlar içinde en sık kullanılanlar ilk iki satırdaki gösterimlerdir.
| 1. Türev | 2. Türev | 3. Türev | \( n \). Türev |
|---|---|---|---|
| \( y' \) | \( y'' \) | \( y''' \) | \( y^{(n)} \) |
| \( \dfrac{dy}{dt} \) | \( \dfrac{d^2y}{dt^2} \) | \( \dfrac{d^3y}{dt^3} \) | \( \dfrac{d^ny}{dt^n} \) |
| \( f'(t) \) | \( f''(t) \) | \( f'''(t) \) | \( f^{(n)}(t) \) |
| \( Dy \) | \( D^2y \) | \( D^3y \) | \( D^{(n)}y \) |
| \( \dot{y} \) | \( \ddot{y} \) | \( \dddot{y} \) |
Bir sabit sayının türevi sıfır olduğu için, türevleri aynı ve birbirinden bir sabit sayı kadar farklı olan sonsuz sayıda fonksiyon yazılabilir. Dolayısıyla bir belirsiz integral işleminin sonucuna tüm bu fonksiyonları kapsayacak şekilde bir \( C \) integral sabiti eklenir.
\( \displaystyle\int {3x^2}\ dx = f(x) \) olmak üzere,
\( (x^3 + 1)' = 3x^2 \)
\( (x^3 + 5)' = 3x^2 \)
\( (x^3 + 100)' = 3x^2 \)
İntegral işleminin sonucu:
\( C \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = x^3 + C \)
Diferansiyel denklemler bilinmeyen bir fonksiyonun türevlerini içerdiği için, bir denklemin çözümünde hangi yöntem kullanılırsa kullanılsın, çözüm adımları hemen her zaman türevin ters işlemi olarak integral işlemi içerir. Bunun bir sonucu olarak da integral sabitleri diferansiyel denklemlerin çözümünde sıklıkla karşımıza çıkmaktadır.
Aşağıda birer örneğini verdiğimiz dört durumda, integral sabitleri üzerinde bazı işlemler yaparak sadeleştirme amaçlı yeni sabitler üretilebilir. Bu işlemler diferansiyel denklemlerin çözümünde sıklıkla kullanıldığı için, burada bu durumlardan bahsettikten sonra denklemlerin çözümünde bu sadeleştirmeleri ek bir açıklamaya gerek duymadan yapıyor olacağız.
Durum 1: Birinci durumda, aynı anda alınan birden fazla belirsiz integral işlemine ait integral sabitleri tek bir integral sabiti altında birleştirilebilir.
\( \displaystyle\int {y'}\ dx = \displaystyle\int {2x\ dx} \)
\( y + C_1 = x^2 + C_2 \)
\( y = x^2 + C_2 - C_1 \)
\( C_2 - C_1 = C \) yazalım.
\( y = x^2 + C \)
Durum 2: İkinci durumda, bir integral sabitinin bir reel sayı ile toplamı yerine yeni bir integral sabiti yazılabilir.
\( y = \displaystyle\int {e^x\ dx} + 3 \)
\( y = e^x + C_1 + 3 \)
\( C_1 + 3 = C \) yazalım.
\( y = e^x + C \)
Durum 3: Üçüncü durumda, bir integral sabitinin sıfırdan farklı bir reel sayı ile çarpımı yerine yeni bir integral sabiti yazılabilir.
\( \dfrac{1}{3}y = \displaystyle\int {\cos{x}\ dx} \)
\( \dfrac{1}{3}y = \sin{x} + C_1 \)
\( y = 3\sin{x} + 3C_1 \)
\( 3C_1 = C \) yazalım.
\( y = 3\sin{x} + C \)
Durum 4: Dördüncü durumda, bir üstel ifadenin üssünde toplam şeklinde bulunan bir integral sabiti ifadenin önüne yeni bir sabit olarak alınabilir.
\( \ln{y} = \displaystyle\int {2\ dx} \)
\( \ln{y} = 2x + C_1 \)
\( y = e^{2x + C_1} \)
\( y = e^{C_1}e^{2x} \)
\( e^{C_1} = C \) yazalım.
\( y = Ce^{2x} \)