Diferansiyel Denklemlerin Çözümleri
Bir diferansiyel denklemde bilinmeyen \( y \) değişkeni yerine konduğunda denklemi sağlayan fonksiyona denklemin bir çözümü denir.
\( y'' + 3y' - 8y = 2e^{2x} \)
\( y_1 = e^{2x} \) fonksiyonunun denklemin bir çözümü olup olmadığını bulalım.
\( y_1 \) fonksiyonunun denklemin mertebesi adedince türevlerini bulalım.
\( y_1' = (e^{2x})' = 2e^{2x} \)
\( y_1'' = (2e^{2x})' = 4e^{2x} \)
Çözümü ve türevlerini denklemde yerine koyalım.
\( y'' + 3y' - 8y = 2e^{2x} \)
\( 4e^{2x} + 3(2e^{2x}) - 8e^{2x} \overset{?}{=} 2e^{2x} \)
\( 2e^{2x} = 2e^{2x} \)
Eşitlik sağlandığı için \( y_1 = e^{2x} \) verilen denklemin bir çözümüdür.
Açık ve Kapalı Çözümler
Bir diferansiyel denklemin çözümünde bilinmeyen fonksiyon ile bağımsız değişkenler arasındaki ilişki iki farklı şekilde ifade edilebilir.
Bir çözümde bilinmeyen fonksiyon yalnız bırakılarak sadece bağımsız değişken(ler) cinsinden ifade ediliyorsa bu çözüme açık çözüm denir.
\( y = f(x) \)
\( y = f(s, t) \)
\( y(x) = 3x^2 \)
\( y(s, t) = 2\cos{s} - 3\sin{t} \)
Açık formda ifade edilmeyen/edilemeyen çözüme kapalı çözüm denir.
\( F(x, y) = 0 \)
\( F(s, t, y) = 0 \)
\( y^2 = x \)
\( x^2y + e^y + x = 5 \)
\( e^{xy} + \cos{y} = 0 \)
Bazı durumlarda kapalı formda verilen bir çözümü açık formda yazmak mümkündür.
Kapalı: \( x^2 + y^2 = 9 \)
Açık: \( y = \pm \sqrt{9 - x^2} \)
Kapalı: \( \tan{y} = 3x \)
Açık: \( y = \arctan(3x) \)
Kapalı: \( e^y = 3x \)
Açık: \( y = \ln(3x) \)
Kapalı: \( \ln{y} = 3x \)
Açık: \( y = e^{3x} \)
Diğer bazı durumlarda ise kapalı formda verilen bir çözümü açık formda yazmak cebirsel olarak mümkün değildir.
\( y + \cos{y} = x \)
\( y + e^y = x \)
\( ye^y = x \)
\( y^5 + y + x = 0 \)
Çözüm Tipleri
Genel Çözüm
Bir diferansiyel denklemin tüm olası çözümlerini temsil eden çözüme denklemin genel çözümü denir.
Bir denklemin genel çözümü çoğu zaman \( C, C_1, C_2, \ldots \) ya da \( A, B, C, \ldots \) şeklinde sabitler içerir ve bu sabitlere keyfi sabitler denir. Keyfi sabitler birer değer aldığında oluşan her çözüm ayrı ayrı denklemi sağlar.
\( y' = 2\cos{x} \)
\( y(x) = 2\sin{x} + C \)
\( (2\sin{x} + 1)' = 2\cos{x} \)
\( (2\sin{x} + 5)' = 2\cos{x} \)
\( (2\sin{x} + 100)' = 2\cos{x} \)
Bir keyfi sabit aşağıdaki ilk örnekte olduğu gibi bir terimin katsayısı şeklinde ya da ikinci örnekte olduğu gibi sabit bir terim olarak bulunabilir.
\( y' - 2y = 0 \)
\( y(x) = Ce^{2x} \)
\( y' = 2x \)
\( y(x) = x^2 + C \)
\( n \). mertebeden bir diferansiyel denklemin genel çözümü genellikle \( n \) adet keyfi sabit içerir. Bunun sebebi, \( n \). mertebeden bir denklemin çözüm adımlarının genellikle \( n \) kez integral işlemi gerektirmesi ve her integral işleminin bir integral sabiti üretmesidir.
İkinci mertebeden denklem:
\( y'' + y = 0 \)
\( y(x) = C_1\cos{x} + C_2\sin{x} \)
Üçüncü mertebeden denklem:
\( y''' - 2y'' - 8y' = 0 \)
\( y(x) = C_1e^{-2x} + C_2e^{4x} + C_3 \)
Özel Çözüm
Bir denklemin genel çözümündeki keyfi sabitler birer değer aldığında oluşan her çözüme denklemin bir özel çözümü denir.
\( y' - 3y = 0 \)
Denklemin genel çözümü:
\( y(x) = Ce^{3x} \)
Denklemin özel çözümleri:
\( y(x) = 3e^{3x} \)
\( y(x) = -5e^{3x} \)
\( y(x) = 0e^{3x} = 0 \)
\( y'' + 4y = 0 \)
Denklemin genel çözümü:
\( y(x) = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x) \)
Denklemin özel çözümleri:
\( y(x) = 2\cos(2x) - 3\sin(2x) \)
\( y(x) = 5\cos(2x) \)
Bir denklemin bir özel çözümünü bulmak için denklemin kendisine ek olarak bilinmeyen fonksiyonun belirli nokta ya da noktalardaki değerleri verilmelidir. Önümüzdeki bölümlerde göreceğimiz üzere, bu ek bilgilere (problemin tipine göre) başlangıç koşulları ya da sınır koşulları adı verilir.
Apaçık Çözüm
Bir diferansiyel denklemin (eğer varsa) \( y(x) = 0 \) şeklindeki çözümüne apaçık çözüm denir. Apaçık çözümler genellikle homojen denklemlerin çözümünde ortaya çıkarlar.
\( y' + 3y = 0 \)
Denklemin genel çözümü:
\( y(x) = Ce^{-3x} \)
Denklemin apaçık çözümü:
\( y(x) = 0 \)
Dikkat edilirse yukarıdaki örnekteki apaçık çözüm, genel çözümde \( C = 0 \) verildiğinde de elde edilebilir.
Tekil Çözüm
Bir diferansiyel denklemin çözümü olan, ancak keyfi sabitlere değer verilerek genel çözümden türetilemeyen çözüme tekil çözüm denir.
Aşağıdaki örnekteki denklemin bir çözümü olan \( y(x) = 0 \) genel çözümde keyfi sabite herhangi bir değer verilerek elde edilemeyeceği için bir tekil çözümdür.
\( y' = 2\sqrt{y} \)
Denklemin genel çözümü:
\( y(x) = (x + C)^2 \)
Denklemin tekil çözümü:
\( y(x) = 0 \)
Aşağıdaki örnekteki denklemin bir çözümü olan \( y(x) = 0 \) genel çözümde keyfi sabite \( C = 0 \) verilerek elde edilebileceği için bir tekil çözüm değildir.
\( y' - y\cos{x} = 0 \)
Denklemin genel çözümü:
\( y(x) = Ce^{\sin{x}} \)
Denklemin özel çözümü:
\( y(x) = 0 \)
Sabit Çözüm
Aşağıdaki formda bir diferansiyel denklem verilmiş olsun.
\( \dfrac{dy}{dx} = f(x, y) \)
Bu denklemin \( c \in \mathbb{R} \) olmak üzere \( y(x) = c \) şeklinde sabit bir çözümü varsa \( \frac{dy}{dx} = 0 \) olur, dolayısıyla bu denklem için aşağıdaki eşitlik sağlanır.
\( \dfrac{dy}{dx} = f(x, y) = 0 \)
Buna göre, bu formda verilen bir denklemin (eğer varsa) sabit çözümlerini bulmak için eşitliğin sağ tarafı sıfıra eşitlenir ve tanım kümesi içindeki her \( x \) değeri için bu eşitliği sağlayan \( y \) değerleri bulunur.
\( \dfrac{dy}{dx} = xy^2 - 4x \) denkleminin varsa sabit çözümlerini bulalım.
Denklemin sabit çözümü varsa türevi sıfır olur.
\( \dfrac{dy}{dx} = xy^2 - 4x = 0 \)
\( x(y - 2)(y + 2) = 0 \)
Buna göre \( y_1(x) = 2 \) ve \( y_2(x) = -2 \) denklemin sabit çözümleridir.
Bu iki çözümü denklemde yerine koyarak denklemi sağlayıp sağlamadıklarını kontrol edelim.
\( y_1(x) = 2 \) için:
\( \dfrac{d(2)}{dx} \overset{?}{=} x(2)^2 - 4x \)
\( 0 = 4x - 4x = 0 \)
\( y_2(x) = -2 \) için:
\( \dfrac{d(-2)}{dx} \overset{?}{=} x(-2)^2 - 4x \)
\( 0 = 4x - 4x = 0 \)
\( \dfrac{d^2y}{dx^2} - 3\dfrac{dy}{dx} + 2y = 3e^{2x} \)
\( y = 4xe^{2x} \) fonksiyonunun verilen denklemin bir çözümü olup olmadığını bulunuz.
Çözümü GösterFonksiyonun türevlerini bulalım.
\( y' = 4e^{2x} + 8xe^{2x} \)
\( y'' = 16e^{2x} + 16xe^{2x} \)
Fonksiyonu ve türevlerini orijinal denklemde yerine koyalım.
\( \dfrac{d^2y}{dx^2} - 3\dfrac{dy}{dx} + 2y = 3e^{2x} = (16e^{2x} + 16xe^{2x}) - 3(4e^{2x} + 8xe^{2x}) + 2(4xe^{2x}) \)
\( = 16e^{2x} + 16xe^{2x} - 12e^{2x} - 24xe^{2x} + 8xe^{2x} \)
\( = 4e^{2x} \ne 3e^{2x} \)
Buna göre \( y = 4xe^{2x} \) verilen denklemin bir çözümü değildir.
\( \dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2} - 2x\dfrac{\partial z}{\partial y} = 6y - 6x^3 \)
\( z = 3x^2y - x\cos{y} \) fonksiyonunun verilen denklemin bir çözümü olup olmadığını bulunuz.
Çözümü GösterFonksiyonun kısmi türevlerini bulalım.
\( \dfrac{\partial z}{\partial x} = 6xy - \cos{y} \)
\( \dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 6y \)
\( \dfrac{\partial z}{\partial y} = 3x^2 + x\sin{y} \)
Fonksiyonu ve türevlerini orijinal denklemde yerine koyalım.
\( \dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2} - 2x\dfrac{\partial z}{\partial y} = 6y - 2x(3x^2 + x\sin{y}) \)
\( = 6y - 6x^3 - 2x^2\sin{y} \ne 6y - 6x^3 \)
Buna göre \( z = 3x^2y - x\cos{y} \) verilen denklemin bir çözümü değildir.
\( y''' + 4y'' + 4y' = -8\cos(2x) \)
\( y = A\cos(Bx) \) verilen denklemin bir çözümü olduğuna göre, pozitif \( A \) ve \( B \) değerlerini bulunuz.
Çözümü GösterÇözümün türevlerini bulalım.
\( y' = -AB\sin(Bx) \)
\( y'' = -AB^2\cos(Bx) \)
\( y''' = AB^3\sin(Bx) \)
Çözümü ve türevlerini orijinal denklemde yerine koyalım.
\( y''' + 4y'' + 4y' = -8\cos(2x) \)
\( AB^3\sin(Bx) + 4(-AB^2\cos(Bx)) + 4(-AB\sin(Bx)) = -8\cos(2x) \)
\( AB^3\sin(Bx) - 4AB^2\cos(Bx) - 4AB\sin(Bx) = -8\cos(2x) \)
\( (AB^3 - 4AB)\sin(Bx) - 4AB^2\cos(Bx) = -8\cos(2x) \)
Bu eşitliğin her \( x \) için sağlanması için benzer terimlerin katsayıları birbirine eşit olmalıdır.
\( AB^3 - 4AB = 0 \)
\( -4AB^2 = -8 \)
\( A \) ve \( B \) için pozitif değerler istendiği için iki değer de sıfır olamaz.
\( AB^3 = 4AB \)
\( B^2 = 4 \Longrightarrow B = 2 \)
\( -4AB^2 = -8 \)
\( A = \dfrac{1}{2} \)
İstenen pozitif değerler aşağıdaki gibi bulunur.
\( A = \dfrac{1}{2}, \quad B = 2 \)
\( y''' - 3y'' + 3y' - y = \dfrac{2e^t}{t^2} \)
\( y = -2te^t\ln{t} \) fonksiyonunun verilen denklemin bir çözümü olup olmadığını bulunuz.
Çözümü GösterFonksiyonun türevlerini bulalım.
\( y' = -2e^t\ln{t} - 2te^t\ln{t} - 2e^t \)
\( y'' = -4e^t\ln{t} - 2te^t\ln{t} - \dfrac{2e^t}{t} - 4e^t \)
\( y''' = -6e^t\ln{t} - 2te^t\ln{t} - \dfrac{6e^t}{t} - 6e^t + \dfrac{2e^t}{t^2} \)
Fonksiyonu ve türevlerini orijinal denklemde yerine koyalım.
\( y''' - 3y'' + 3y' - y = \left( -6e^t\ln{t} - 2te^t\ln{t} - \dfrac{6e^t}{t} - 6e^t + \dfrac{2e^t}{t^2} \right) - 3\left( -4e^t\ln{t} - 2te^t\ln{t} - \dfrac{2e^t}{t} - 4e^t \right) + 3(-2e^t\ln{t} - 2te^t\ln{t} - 2e^t) - (-2te^t\ln{t}) \)
\( = -6e^t\ln{t} - 2te^t\ln{t} - \dfrac{6e^t}{t} - 6e^t + \dfrac{2e^t}{t^2} + 12e^t\ln{t} + 6te^t\ln{t} + \dfrac{6e^t}{t} + 12e^t - 6e^t\ln{t} - 6te^t\ln{t} - 6e^t + 2te^t\ln{t} \)
\( = \dfrac{2e^t}{t^2} \)
Buna göre \( y = -2te^t\ln{t} \) verilen denklemin bir çözümüdür.