Önceki bölümde keyfi sabitler içeren ve bir denklemin tüm olası çözümlerini temsil eden çözümü denklemin genel çözümü, bu keyfi sabitler birer değer aldığında oluşan her çözümü ise denklemin bir özel çözümü olarak adlandırmıştık. Gerçek hayat uygulamalarında çoğu zaman diferansiyel denklemlerin genel çözümlerinden ziyade özel çözümlerine ihtiyaç duyulur. Bir denklemin genel çözümüne ek olarak, belirli bir özel çözümünü bulmamız istenen problemlere başlangıç değer problemleri (BDP) adı verilir.
Bir denklemin özel çözümünü bulabilmek için verilen ek koşullara denklemin başlangıç koşulları denir. BDP'ler bir diferansiyel denklem (ya da denklem sistemi) ve bir ya da birden fazla başlangıç koşulundan oluşur.
\( y' = 3\sin{x} \)
\( y(\pi) = 2 \)
\( y'' - y' - 2y = 0 \)
\( y(0) = 5 \)
\( y'(0) = 4 \)
Bir başlangıç değer problemi için genel olarak aşağıdaki yorumlar yapılabilir.
Birinci mertebeden bir diferansiyel denklemin genel çözümü tek bir keyfi sabit içereceği için, BDP için tek bir başlangıç koşulu yeterlidir.
\( y' = e^x \)
\( y(0) = 4 \)
denkleminin verilen başlangıç koşulu için özel çözümünü bulalım.
Henüz diferansiyel denklem çözüm yöntemlerini görmediğimiz için, denklemin genel çözümünü integral bilgilerimizi kullanarak aşağıdaki şekilde bulabiliriz.
\( y(x) = e^x + C \)
\( y(0) = 4 \) başlangıç değerini genel çözümde yerine koyalım.
\( y(0) = e^0 + C = 4 \)
\( C = 3 \)
Buna göre verilen başlangıç koşulu için denklemin özel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y(x) = e^x + 3 \)
Bulduğumuz özel çözümün hem verilen denklemi hem de başlangıç koşulunu sağladığını kontrol edelim.
\( (e^x + 3)' = e^x \)
\( y(0) = e^0 + 3 = 4 \)
İkinci mertebeden bir diferansiyel denklemin genel çözümü iki keyfi sabit içereceği için, BDP çözümün kendisinin ve birinci türevinin aynı noktadaki değerlerinden oluşmalıdır.
\( y'' = 4 \)
\( y(2) = 3 \)
\( y'(2) = 1 \)
denkleminin verilen başlangıç koşulları için özel çözümünü bulalım.
Benzer şekilde, denklemin genel çözümünü integral bilgilerimizi kullanarak aşağıdaki şekilde bulabiliriz.
\( y(x) = 2x^2 + C_1x + C_2 \)
\( y(2) = 3 \) başlangıç değerini genel çözümde yerine koyalım.
\( y(2) = 2(2)^2 + C_1(2) + C_2 = 3 \)
\( 2C_1 + C_2 = -5 \)
\( y'(2) = 1 \) başlangıç değerini genel çözümde yerine koyalım.
\( y'(x) = 4x + C_1 \)
\( y'(2) = 4(2) + C_1 = 1 \)
\( C_1 = -7 \)
\( C_2 = 9 \)
Buna göre verilen başlangıç koşulları için denklemin özel çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y(x) = 2x^2 - 7x + 9 \)
Bulduğumuz özel çözümün hem verilen denklemi hem de başlangıç koşullarını sağladığını kontrol edelim.
\( (2x^2 - 7x + 9)'' = 4 \)
\( y(2) = 2(2)^2 - 7x + 9 = 3 \)
\( y'(2) = 4(2) - 7 = 1 \)
Bir başlangıç değer problemi aşağıdaki yöntemle çözülür.
Adım 1: Genel çözüm
Önümüzdeki bölümlerde göreceğimiz çözüm yöntemlerinden biri kullanılarak diferansiyel denklemin genel çözümü bulunur.
Adım 2: Başlangıç koşulları
Verilen başlangıç koşulları genel çözümde yerine konarak genel çözümün keyfi sabitleri bulunur.
Adım 3: Özel çözüm
Bu sabitler genel çözümde yerine konduğunda BDP'nin (hem denklemi hem de başlangıç koşullarını sağlayan) özel çözümü bulunur.