Genel ya da standart formda eşitliğin sağ tarafı sıfır olan diferansiyel denklemlere homojen denklem, sıfırdan farklı bir fonksiyon olan diferansiyel denklemlere homojen olmayan denklem denir.
Homojen denklem:
\( x^2y'' - xy' + y = \textcolor{red}{0} \)
Homojen olmayan denklem:
\( x^2y'' - xy' + y = \textcolor{red}{x^2} \)
Homojen olmayan bir denklemde, eşitliğin sağ tarafının sıfıra eşitlenmesi ile elde edilen homojen denklemi denklemin karşılık geldiği homojen denklem şeklinde ifade edeceğiz. Homojen olmayan bir denklemi çözmek için çoğu zaman önce denklemin karşılık geldiği homojen denklem çözüldüğü için, önce homojen lineer denklemlerin genel çözümünü incelememiz gerekir.
\( L[y] = 0 \) homojen lineer denkleminde, bir \( y_1 \) fonksiyonu için \( L[y_1] = 0 \) koşulu sağlanıyorsa \( y_1 \) denklemin bir çözümüdür.
\( y'' - 6y' + 8y = 0 \)
\( y_1 = e^{2x} \) ve \( y_2 = e^{4x} \) fonksiyonlarının verilen denklemin birer çözümü olduğunu gösterelim.
\( L[y] = y'' - 6y' + 8y \)
\( y_1 \) fonksiyonunun denklemin bir çözümü olduğunu gösterelim.
\( L[y_1] = (e^{2x})'' - 6(e^{2x})' + 8(e^{2x}) \)
\( = 4e^{2x} - 12e^{2x} + 8e^{2x} = 0 \)
\( y_2 \) fonksiyonunun denklemin bir çözümü olduğunu gösterelim.
\( L[y_1] = (e^{4x})'' - 6(e^{4x})' + 8(e^{4x}) \)
\( = 16e^{4x} - 24e^{4x} + 8e^{4x} = 0 \)
Süperpozisyon prensibine göre, \( y_1, y_2, \ldots, y_n \) fonksiyonları bir homojen lineer denklemin çözümleri ise bu fonksiyonların herhangi bir lineer kombinasyonu da denklemin çözümüdür.
\( L[y] = 0 \) bir homojen lineer denklem ve,
\( y_1, y_2, \ldots, y_n \) denklemin birer çözümü ise,
bu fonksiyonların herhangi bir lineer kombinasyonu da denklemin bir çözümü olur.
\( c_1, c_2, \ldots, c_n \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( y_L = c_1y_1 + c_2y_2 + \ldots + c_ny_n \)
\( L[y_L] = 0 \)
Aşağıdaki şekilde bir homojen lineer denklem tanımlayalım.
\( L[y] = 0 \)
Denklemin çözümü olduğu bilinen fonksiyonların herhangi bir lineer kombinasyonunu aşağıdaki şekilde tanımlayalım.
\( c_1, c_2, \ldots, c_n \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( y_L = c_1y_1 + c_2y_2 + \ldots + c_ny_n \)
Bu fonksiyonu lineer diferansiyel operatörde yerine koyalım.
\( L[y_L] = L[c_1y_1 + c_2y_2 + \ldots + c_ny_n] \)
Diferansiyel operatörün lineerlik özelliğine göre, operatör toplama işleminin terimlerine dağıtılabilir.
\( = L[c_1y_1] + L[c_2y_2] + \ldots + L[c_ny_n] \)
Diferansiyel operatörün lineerlik özelliğine göre, operatör içindeki sabit sayı operatör dışına alınabilir.
\( = c_1L[y_1] + c_2L[y_2] + \ldots + c_nL[y_n] \)
\( y_1, y_2, \ldots, y_n \) denklemin birer çözümü olduğuna göre, her biri için aşağıdaki eşitlik sağlanır.
\( L[y_1] = L[y_2] = \ldots = L[y_n] = 0 \)
\( = c_1(0) + c_2(0) + \ldots + c_n(0) \)
\( = 0 \)
\( L[y_L] = 0 \) olarak bulduğumuza göre, çözümlerin lineer kombinasyonu olan \( y_L \) fonksiyonu da homojen denklemin bir çözümüdür.
Süperpozisyon prensibini yukarıdaki örnekte kullandığımız denklem üzerinde gösterelim.
\( y'' - 6y' + 8y = 0 \)
\( y_1 = e^{2x} \) ve \( y_2 = e^{4x} \) fonksiyonlarının verilen denklemin birer çözümü olduğunu yukarıda göstermiştik.
Bu iki çözümün lineer kombinasyonları olan \( y_3 = 5e^{2x} \) ve \( y_4 = 3e^{2x} - 2e^{4x} \) fonksiyonlarının da denklemin birer çözümü olduğunu gösterelim.
\( y_3 \) fonksiyonunun denklemin bir çözümü olduğunu gösterelim.
\( L[y_3] = (5e^{2x})'' - 6(5e^{2x})' + 8(5e^{2x}) \)
\( = 20e^{2x} - 60e^{2x} + 40e^{2x} = 0 \)
\( y_4 \) fonksiyonunun denklemin bir çözümü olduğunu gösterelim.
\( L[y_4] = (3e^{2x} - 2e^{4x})'' - 6(3e^{2x} - 2e^{4x})' + 8(3e^{2x} - 2e^{4x}) \)
\( = (12e^{2x} - 32e^{4x}) - (36e^{2x} - 48e^{4x}) + (24e^{2x} - 16e^{4x}) \)
\( = (12 - 36 + 24)e^{2x} + (-32 + 48 - 16)e^{4x} \)
\( = 0 \)
Fonksiyonların lineer bağımsızlığı, lineer cebirde vektörlerin lineer bağımsızlığına benzer şekilde tanımlanır.
\( y_1, y_2, \ldots, y_n \) fonksiyonları,
\( c_1y_1 + c_2y_2 + \ldots + c_ny_n = 0 \)
eşitliğinin tek çözümü
\( c_1 = c_2 = \ldots = c_n = 0 \)
ise lineer bağımsızdır.
Aksi takdirde fonksiyonlar lineer bağımlıdır.
Bir diğer ifadeyle, \( n \) tane fonksiyondan hiçbiri diğerlerinin lineer kombinasyonu şeklinde yazılamıyorsa fonksiyonlar lineer bağımsızdır, yazılabiliyorsa lineer bağımlıdır.
Fonksiyonlardan herhangi biri,
\( y_1 = a_2y_2 + \ldots + a_ny_n \)
şeklinde diğerleri cinsinden yazılabiliyorsa,
\( y_1 - a_2y_2 - \ldots - a_ny_n = 0 \)
eşitliği sağlanacağı için fonksiyonlar lineer bağımlı olur.
Sıfırdan farklı tek bir fonksiyon her zaman lineer bağımsızdır.
\( y_1 \ne 0 \) fonksiyonu,
\( c_1y_1 = 0 \) eşitliği sadece \( c_1 = 0 \) olduğunda sağlandığı için lineer bağımsızdır.
Sıfırdan farklı iki fonksiyon, fonksiyonlar birbirlerinin bir skaler katı değilse lineer bağımsızdır, aksi takdirde lineer bağımlıdır.
\( y_1 \ne 0 \) ve \( y_2 \ne 0 \) fonksiyonları,
\( y_1 = -\dfrac{c_2}{c_1}y_2 \) değilse,
\( c_1y_1 + c_2y_2 = 0 \) eşitliği sadece \( c_1 = c_2 = 0 \) olduğunda sağlandığı için lineer bağımsızdır.
Aşağıdaki fonksiyon ikilileri birbirlerinin bir skaler katı olduğu için lineer bağımlıdır.
\( x, 3x \)
\( -3(x) + 1(3x) = 0 \)
\( 4e^{2x}, -5e^{2x} \)
\( 5(4e^{2x}) + 4(-5e^{2x}) = 0 \)
\( -\cos(3x), 4\cos(3x) \)
\( 4(-\cos(3x)) + 1(4\cos(3x)) = 0 \)
Aşağıdaki fonksiyon ikilileri birbirlerinin bir skaler katı olmadığı için lineer bağımsızdır.
\( x, x^2 \)
\( 0(x) + 0(x^2) = 0 \)
\( e^{2x}, e^{4x} \)
\( 0(e^{2x}) + 0(e^{4x}) = 0 \)
\( \cos{x}, \sin{x} \)
\( 0(\cos{x}) + 0(\sin{x}) = 0 \)
\( \{ y_1, y_2, \ldots, y_m \} \) şeklinde bir fonksiyon kümesi için aşağıdaki üç koşul sağlanıyorsa bu fonksiyonlar \( n \). mertebeden bir homojen lineer diferansiyel denklemin temel çözüm kümesini oluşturur ve bu fonksiyonlardan her birine homojen denklemin bir temel çözümü denir.
Yukarıdaki örnekteki \( y_1 \) ve \( y_2 \) çözümleri bu üç koşulu da sağladığı için denklemin bir temel çözüm kümesini oluşturur.
\( y'' - 6y' + 8y = 0 \)
Temel çözüm kümesi:
\( \{ e^{2x}, e^{4x} \} \)
Bir homojen lineer denklemin temel çözüm kümesi tek değildir. Örnekte kullandığımız denklem için aşağıdaki fonksiyon ikilileri de yukarıdaki üç koşulu sağladığı için, bu ikililer de birer temel çözüm kümesidir.
\( \{ -2e^{2x}, 3e^{4x} \} \)
\( \{ e^{2x}, e^{2x} + e^{4x} \} \)
\( \{ 2e^{2x} - 5e^{4x}, 3e^{2x} + e^{4x} \} \)
Bir homojen lineer denklemin temel çözüm kümesindeki çözümlerin tüm lineer kombinasyonları homojen denklemin genel çözümünü oluşturur.
\( \{ y_1, y_2, \ldots, y_n \} \) bir homojen lineer denklemin temel çözüm kümesi ise,
Denklemin genel çözümü aşağıdaki gibi olur.
\( y = c_1y_1 + c_2y_2 + \ldots + c_ny_n \)
Bir homojen lineer denklemin genel çözümünü oluşturabilmek için denklemin mertebesi adedince lineer bağımsız çözüme ihtiyaç olduğundan bahsettik.
Lineer bağımsızlığın gerçek tanımı yukarıda paylaştığımız lineer kombinasyon tanımıdır, ancak 3 ya da daha fazla sayıda fonksiyonun lineer bağımsızlığını bu tanımı kullanarak göstermek kolay değildir. Fonksiyonların lineer bağımsız olup olmadığını göstermek için kullanılabilecek bir diğer yöntem Wronskian matrisidir.
\( n \) adet fonksiyonun Wronskian matrisi, bu fonksiyonların ve \( n - 1 \) adet türevinin oluşturduğu \( n \times n \) kare matris, fonksiyonların Wronskian'ı ise bu matrisin determinantıdır.
\( y_1, y_2, \ldots, y_n \) belirli bir \( I \) aralığında en az \( n - 1 \) kez türevlenebilir fonksiyonlar,
\( W \) bu fonksiyonların Wronskian'ı olmak üzere,
\( W = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 & \ldots & y_n \\ y_1' & y_2' & \ldots & y_n' \\ y_1'' & y_2'' & \ldots & y_n'' \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ y_1^{(n-1)} & y_2^{(n-1)} & \ldots & y_n^{(n-1)} \end{vmatrix} \)
Belirli bir homojen lineer denklemin çözümü olduğu bilinen fonksiyonların lineer bağımsız olup olmadığına aşağıdaki yöntemle karar verilebilir.
\( I \) belirli bir reel sayı aralığı olmak üzere,
\( y_1, y_2, \ldots, y_n \) fonksiyonları,
en az bir \( x_0 \in I \) noktasında \( W(x_0) \ne 0 \) ise tüm \( I \) aralığında lineer bağımsızdır.
her \( x_0 \in I \) noktasında \( W = 0 \) ise tüm \( I \) aralığında lineer bağımlıdır.
Bu tanımda altı çizili ifade önemli olup, belirli bir denklemin çözümü olmayan fonksiyonlar için lineer bağımsızlık tanımı farklıdır.
İki fonksiyonun lineer bağımsız olup olmadığını Wronskian'larını hesaplayarak gösterelim.
\( y_1(t) = \cos(2t), y_2(t) = \sin(2t) \)
fonksiyonlarının Wronskian'ını bulalım.
\( W(t) = \begin{vmatrix} \cos(2t) & \sin(2t) \\ -2\sin(2t) & 2\cos(2t) \end{vmatrix} \)
\( = 2\cos^2(2t) - (-2\sin^2(2t)) \)
\( = 2 \)
Her \( t \) için \( W \ne 0 \) olduğu için, fonksiyonlar tüm reel sayılarda lineer bağımsızdır.
Üç fonksiyonun lineer bağımsız olup olmadığını Wronskian'larını hesaplayarak gösterelim.
\( y_1(x) = x, y_2(x) = x^2, y_3(x) = x^3 \)
fonksiyonlarının Wronskian'ını bulalım.
\( W(x) = \begin{vmatrix} x & x^2 & x^3 \\ 1 & 2x & 3x^2 \\ 0 & 2 & 6x \end{vmatrix} \)
Sarrus kuralını kullanarak determinantı hesaplayalım.
\( = x(2x)(6x) + x^2(3x^2)(0) + x^3(1)(2) - 0(2x)(x^3) - 2(3x^2)(x) - 6x(1)(x^2) \)
\( = 2x^3 \)
En az bir noktada (örneğin \( x = 1 \)) \( W(x) \ne 0 \) olduğu için, fonksiyonlar tüm reel sayılarda lineer bağımsızdır.