Aşağıdaki formdaki denklemlere genel formdaki ikinci mertebeden lineer diferansiyel denklem denir.
\( a_2\dfrac{d^2y}{dx^2} + a_1\dfrac{dy}{dx} + a_0y = f(x) \)
\( x^2\dfrac{d^2y}{dx^2} - x\dfrac{dy}{dx} + xy = 2e^{-x} \)
Bu denklemde \( a_i \) ve \( f(x) \) fonksiyonları \( x \) değişkenine bağlı olan fonksiyonlardır.
Denklemin tüm terimleri \( a_2 \) katsayısına bölündüğünde, baş katsayısı 1 olan standart formdaki aşağıdaki denklem elde edilir.
\( \dfrac{d^2y}{dx^2} + p_1\dfrac{dy}{dx} + p_0y = q(x) \)
Benzer şekilde, genel ve standart formdaki \( n \). mertebeden lineer denklemler aşağıdaki gibidir.
\( a_n\dfrac{d^ny}{dx^n} + a_{n-1}\dfrac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + \ldots + a_1\dfrac{dy}{dx} + a_0y = f(x) \)
\( \dfrac{d^ny}{dx^n} + p_{n-1}\dfrac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + \ldots + p_1\dfrac{dy}{dx} + p_0y = q(x) \)
Girdi olarak bir fonksiyon alan, bu fonksiyonun farklı mertebelerden türevini alarak yeni bir fonksiyon üreten ve aşağıda bahsedeceğimiz lineerlik işlem özelliklerini taşıyan operatörlere lineer diferansiyel operatör adı verilir.
\( n \). mertebeden bir lineer diferansiyel operatör aşağıdaki şekilde ifade edilir.
\( L = a_n\dfrac{d^n}{dx^n} + a_{n-1}\dfrac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} + \ldots + a_1\dfrac{d}{dx} + a_0 \)
Bir lineer diferansiyel operatör \( y \) fonksiyonuna uygulandığında aşağıdaki sonuç elde edilir.
\( L[y] = a_n\dfrac{d^ny}{dx^n} + a_{n-1}\dfrac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + \ldots + a_1\dfrac{dy}{dx} + a_0y \)
\( L = \dfrac{d^2}{dx^2} - 5\dfrac{d}{dx} + 6 \) ise,
\( L[e^{4x}] = \dfrac{d^2}{dx^2}[e^{4x}] - 5\dfrac{d}{dx}[e^{4x}] + 6[e^{4x}] \)
\( = 16e^{4x} - 5[4e^{4x}] + 6[e^{4x}] \)
\( = 2e^{4x} \)
Bir lineer diferansiyel operatör aşağıdaki lineerlik özelliklerini taşır.
\( c, c_1, c_2 \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( L[y_1 + y_2] = L[y_1] + L[y_2] \)
\( L[cy] = cL[y] \)
\( L[c_1y_1 + c_2y_2] = c_1L[y_1] + c_2L[y_2] \)