Teleskopik Seri
Belirli bir forma getirildiğinde sonsuza giden terimleri kendi aralarında sadeleşen ve geriye sonlu sayıda terimi kalan serilere teleskopik seri denir.
Teleskopik serilerin yakınsaklık durumunu belirlemek için aşağıdaki yöntem kullanılır.
- Serinin \( n \). kısmi toplam formülü yazılır (\( s_n \)).
- Seri terimleri arasında sadeleştirme işlemi yapılabilecek bir forma getirilir. Bunun için serinin her teriminin aralarında çıkarma işlemi olacak şekilde birden fazla terime ayrılabilmesi gerekir. Bu amaçla en çok kullanılan yöntemlerden biri polinomlar konusunda gördüğümüz basit kesirlere ayırma yöntemidir.
- Serinin terimleri arasında sadeleştirme işlemi yapılır.
- Sadeleştirme işlemi sonrasında sonlu sayıda terimden oluşan \( s_n \) ifadesinin \( n \) sonsuza giderken limiti alınır.
- Bu limit bir reel sayı olarak tanımlı ise teleskopik seri yakınsaktır ve toplamı bu limit değerine eşittir. Aksi takdirde seri ıraksaktır.
\( \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{20} + \ldots \)
serisinin yakınsak mı ıraksak mı olduğunu, yakınsak ise toplamını bulalım.
Serinin terimlerini oluşturan örüntüyü bulalım.
\( \dfrac{1}{1 \cdot 2} + \dfrac{1}{2 \cdot 3} + \dfrac{1}{3 \cdot 4} + \dfrac{1}{4 \cdot 5} + \ldots \)
Serinin \( n \). kısmi toplam formülünü yazalım.
\( s_n = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n} {\dfrac{1}{k(k + 1)}} \)
Basit kesirlere ayırma yöntemi ile ifadeyi iki kesrin farkı şeklinde yazalım.
\( = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n} \left( \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k + 1} \right) \)
\( = \left( \dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{2} \right) + \left( \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} \right) + \left( \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} \right) + \left( \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{5} \right) + \ldots + \left(\dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n + 1} \right) \)
Her parantez içindeki ikinci terim bir sonraki parantez içindeki birinci terimle sadeleşir. Bu sadeleştirme işleminde "/" bir terimin kendisinden sonraki bir terimle sadeleştiğini, "\" bir terimin kendisinden önceki bir terimle sadeleştiğini göstermektedir.
\( = \left( \dfrac{1}{1} - \cancel{\dfrac{1}{2}} \right) + \left( \bcancel{\dfrac{1}{2}} - \cancel{\dfrac{1}{3}} \right) + \left( \bcancel{\dfrac{1}{3}} - \cancel{\dfrac{1}{4}} \right) + \left( \bcancel{\dfrac{1}{4}} - \cancel{\dfrac{1}{5}} \right) + \ldots + \left( \bcancel{\dfrac{1}{n}} - \dfrac{1}{n + 1} \right) \)
\( = \dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{n + 1} \)
Serinin toplamını bulmak için \( n \). kısmi toplamının \( n \) sonsuza giderken limitini bulalım.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {s_n} = \lim\limits_{n \to \infty} \left( 1 - \dfrac{1}{n + 1} \right) \)
\( n \to \infty \) iken \( \frac{1}{n + 1} \to 0 \) olur.
\( = 1 - 0 = 1 \)
Buna göre verilen seri yakınsaktır ve toplamı 1'e eşittir.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{2}{n^2 + 2n}} \)
serisinin yakınsak mı ıraksak mı olduğunu, yakınsak ise toplamını bulalım.
Serinin \( n \). kısmi toplam formülünü yazalım.
\( s_n = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n} {\dfrac{2}{k^2 + 2k}} \)
Basit kesirlere ayırma yöntemi ile ifadeyi iki kesrin farkı şeklinde yazalım.
\( = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n} {\dfrac{2}{k(k + 2)}} \)
\( = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n} \left( \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k + 2} \right) \)
\( = \left( \dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{3} \right) + \left( \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4} \right) + \left( \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5} \right) + \left( \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{6} \right) + \ldots + \left( \dfrac{1}{n - 1} - \dfrac{1}{n + 1} \right) + \left( \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n + 2} \right) \)
Her parantez içindeki ikinci terim iki sonraki parantez içindeki birinci terimle sadeleşir.
\( = \left( \dfrac{1}{1} - \cancel{\dfrac{1}{3}} \right) + \left( \dfrac{1}{2} - \cancel{\dfrac{1}{4}} \right) + \left( \bcancel{\dfrac{1}{3}} - \cancel{\dfrac{1}{5}} \right) + \left( \bcancel{\dfrac{1}{4}} - \cancel{\dfrac{1}{6}} \right) + \ldots + \left( \bcancel{\dfrac{1}{n - 1}} - \dfrac{1}{n + 1} \right) + \left( \bcancel{\dfrac{1}{n}} - \dfrac{1}{n + 2} \right) \)
\( = \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{n + 1} - \dfrac{1}{n + 2} \)
\( = \dfrac{3}{2} - \dfrac{2n + 3}{n^2 + 3n + 2} \)
Serinin toplamını bulmak için \( n \). kısmi toplamının \( n \) sonsuza giderken limitini bulalım.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {s_n} = \lim\limits_{n \to \infty} \left( \dfrac{3}{2} - \dfrac{2n + 3}{n^2 + 3n + 2} \right) \)
\( n \to \infty \) iken \( \frac{2n + 3}{n^2 + 3n + 2} \to 0 \) olur.
\( = \dfrac{3}{2} - 0 = \dfrac{3}{2} \)
Buna göre verilen seri yakınsaktır ve toplamı \( \frac{3}{2} \)'ye eşittir.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\ln{\sqrt{\dfrac{n + 1}{n}}}} \) serisinin yakınsaklık durumunu inceleyiniz, seri yakınsak ise toplamını bulunuz.
Çözümü GösterSerinin \( n \). kısmi toplam formülünü yazalım.
\( s_n = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n} {\ln{\sqrt{\dfrac{k + 1}{k}}}} \)
Doğal logaritmanın özelliklerini kullanarak ifadeyi iki doğal logaritmanın farkı şeklinde yazalım.
\( = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n} {\ln{\dfrac{\sqrt{k + 1}}{\sqrt{k}}}} \)
\( = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n} (\ln{\sqrt{k + 1}} - \ln{\sqrt{k}}) \)
\( = (\ln{\sqrt{2}} - \ln{\sqrt{1}}) + (\ln{\sqrt{3}} - \ln{\sqrt{2}}) + (\ln{\sqrt{4}} - \ln{\sqrt{3}}) + (\ln{\sqrt{5}} - \ln{\sqrt{4}}) + \ldots + (\ln{\sqrt{n}} - \ln{\sqrt{n - 1}}) + (\ln{\sqrt{n + 1}} - \ln{\sqrt{n}}) \)
Her parantez içindeki birinci terim, bir sonraki parantez içindeki ikinci terimle sadeleşir.
\( = (\cancel{\ln{\sqrt{2}}} - \ln{\sqrt{1}}) + (\cancel{\ln{\sqrt{3}}} - \bcancel{\ln{\sqrt{2}})} + (\cancel{\ln{\sqrt{4}}} - \bcancel{\ln{\sqrt{3}}}) + (\cancel{\ln{\sqrt{5}}} - \bcancel{\ln{\sqrt{4}}}) + \ldots + (\cancel{\ln{\sqrt{n}}} - \bcancel{\ln{\sqrt{n - 1}}}) + (\ln{\sqrt{n + 1}} - \bcancel{\ln{\sqrt{n}}}) \)
\( = -\ln{\sqrt{1}} + \ln{\sqrt{n + 1}} \)
\( = \ln{\sqrt{n + 1}} \)
Serinin toplamını bulmak için \( n \). kısmi toplamının \( n \) sonsuza giderken limitini bulalım.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {s_n} = \lim\limits_{n \to \infty} {\ln{\sqrt{n + 1}}} \)
\( n \to \infty \) iken \( \ln{\sqrt{n + 1}} \to \infty \) olur.
\( = \infty \)
Buna göre verilen seri ıraksaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 0}^{\infty} \left( \dfrac{5}{(n + 1)^2} - \dfrac{5}{(n + 2)^2} \right) \) serisinin yakınsaklık durumunu inceleyiniz, seri yakınsak ise toplamını bulunuz.
Çözümü GösterSerinin \( n \). kısmi toplam formülünü yazalım.
\( s_n = \displaystyle\sum_{k = 0}^{n} \left( \dfrac{5}{(k + 1)^2} - \dfrac{5}{(k + 2)^2} \right) \)
\( = \left( \dfrac{5}{1^2} - \dfrac{5}{2^2} \right) + \left( \dfrac{5}{2^2} - \dfrac{5}{3^2} \right) + \left( \dfrac{5}{3^2} - \dfrac{5}{4^2} \right) + \left( \dfrac{5}{4^2} - \dfrac{5}{5^2} \right) + \ldots + \left( \dfrac{5}{n^2} - \dfrac{5}{(n + 1)^2} \right) + \left( \dfrac{5}{(n + 1)^2} - \dfrac{5}{(n + 2)^2} \right) \)
Her parantez içindeki ikinci terim, bir sonraki parantez içindeki birinci terimle sadeleşir.
\( = \left( \dfrac{5}{1^2} - \cancel{\dfrac{5}{2^2}} \right) + \left( \bcancel{\dfrac{5}{2^2}} - \cancel{\dfrac{5}{3^2}} \right) + \left( \bcancel{\dfrac{5}{3^2}} - \cancel{\dfrac{5}{4^2}} \right) + \left( \bcancel{\dfrac{5}{4^2}} - \cancel{\dfrac{5}{5^2}} \right) + \ldots + \left( \bcancel{\dfrac{5}{n^2}} - \cancel{\dfrac{5}{(n + 1)^2}} \right) + \left( \bcancel{\dfrac{5}{(n + 1)^2}} - \dfrac{5}{(n + 2)^2} \right) \)
\( = \dfrac{5}{1^2} - \dfrac{5}{(n + 2)^2} \)
Serinin toplamını bulmak için \( n \). kısmi toplamının \( n \) sonsuza giderken limitini bulalım.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {s_n} = \lim\limits_{n \to \infty} \left( 5 - \dfrac{5}{(n + 2)^2} \right) \)
\( = 5 - \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{5}{(n + 2)^2}} \)
\( n \to \infty \) iken \( \frac{5}{(n + 2)^2} \to 0 \) olur.
\( = 5 - 0 = 5 \)
Buna göre verilen seri yakınsaktır ve toplamı \( 5 \)'e eşittir.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} (\tan{n} - \tan(n - 1)) \) serisinin yakınsaklık durumunu inceleyiniz, seri yakınsak ise toplamını bulunuz.
Çözümü GösterSerinin \( n \). kısmi toplam formülünü yazalım.
\( s_n = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n} (\tan{k} - \tan(k - 1)) \)
\( = (\tan{1} - \tan{0}) + (\tan{2} - \tan{1}) + (\tan{3} - \tan{2}) + (\tan{4} - \tan{3}) + \ldots + (\tan(n - 1) - \tan(n - 2)) + (\tan{n} - \tan(n - 1)) \)
Her parantez içindeki birinci terim, bir sonraki parantez içindeki ikinci terimle sadeleşir.
\( = (\cancel{\tan{1}} - \tan{0}) + (\cancel{\tan{2}} - \bcancel{\tan{1}}) + (\cancel{\tan{3}} - \bcancel{\tan{2}}) + (\cancel{\tan{4}} - \bcancel{\tan{3}}) + \ldots + (\cancel{\tan(n - 1)} - \bcancel{\tan(n - 2)}) + (\tan{n} - \bcancel{\tan(n - 1)}) \)
\( = -\tan{0} + \tan{n} \)
\( = \tan{n} \)
Serinin toplamını bulmak için \( n \). kısmi toplamının \( n \) sonsuza giderken limitini bulalım.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {s_n} = \lim\limits_{n \to \infty} {\tan{n}} \)
\( n \to \infty \) iken \( \tan{n} \) tek bir değere yaklaşmaz, periyodik bir şekilde \( (-\infty, \infty) \) aralığında salınım hareketi yapar, dolayısıyla sonsuzdaki limiti tanımlı değildir.
Buna göre verilen seri ıraksaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} (\sqrt{n + 7} - \sqrt{n + 6}) \) serisinin yakınsaklık durumunu inceleyiniz, seri yakınsak ise toplamını bulunuz.
Çözümü GösterSerinin \( n \). kısmi toplam formülünü yazalım.
\( s_n = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n} (\sqrt{k + 7} - \sqrt{k + 6}) \)
\( = (\sqrt{8} - \sqrt{7}) + (\sqrt{9} - \sqrt{8}) + (\sqrt{10} - \sqrt{9}) + (\sqrt{11} - \sqrt{10}) + \ldots + (\sqrt{n + 6} - \sqrt{n + 5}) + (\sqrt{n + 7} - \sqrt{n + 6}) \)
Her parantez içindeki birinci terim, bir sonraki parantez içindeki ikinci terimle sadeleşir.
\( = (\cancel{\sqrt{8}} - \sqrt{7}) + (\cancel{\sqrt{9}} - \bcancel{\sqrt{8}}) + (\cancel{\sqrt{10}} - \bcancel{\sqrt{9}}) + (\cancel{\sqrt{11}} - \bcancel{\sqrt{10}}) + \ldots + (\cancel{\sqrt{n + 6}} - \bcancel{\sqrt{n + 5}}) + (\sqrt{n + 7} - \bcancel{\sqrt{n + 6}}) \)
\( = -\sqrt{7} + \sqrt{n + 7} \)
Serinin toplamını bulmak için \( n \). kısmi toplamının \( n \) sonsuza giderken limitini bulalım.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {s_n} = \lim\limits_{n \to \infty} (-\sqrt{7} + \sqrt{n + 7}) \)
\( = -\sqrt{7} + \lim\limits_{n \to \infty} {\sqrt{n + 7}} \)
\( n \to \infty \) iken \( \sqrt{n + 7} \to \infty \) olur.
\( = -\sqrt{7} + \infty = \infty \)
Buna göre verilen seri ıraksaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} \left( \dfrac{6}{\sqrt{n - 1}} - \dfrac{6}{\sqrt{n}} \right) \) serisinin yakınsaklık durumunu inceleyiniz, seri yakınsak ise toplamını bulunuz.
Çözümü GösterSerinin \( n \). kısmi toplam formülünü yazalım.
\( s_n = \displaystyle\sum_{k = 2}^{n} \left( \dfrac{6}{\sqrt{k - 1}} - \dfrac{6}{\sqrt{k}} \right) \)
\( = \left( \dfrac{6}{\sqrt{1}} - \dfrac{6}{\sqrt{2}} \right) + \left( \dfrac{6}{\sqrt{2}} - \dfrac{6}{\sqrt{3}} \right) + \left( \dfrac{6}{\sqrt{3}} - \dfrac{6}{\sqrt{4}} \right) + \left( \dfrac{6}{\sqrt{4}} - \dfrac{6}{\sqrt{5}} \right) + \ldots + \left( \dfrac{6}{\sqrt{n - 2}} - \dfrac{6}{\sqrt{n - 1}} \right) + \left( \dfrac{6}{\sqrt{n - 1}} - \dfrac{6}{\sqrt{n}} \right) \)
Her parantez içindeki ikinci terim, bir sonraki parantez içindeki birinci terimle sadeleşir.
\( = \left( \dfrac{6}{\sqrt{1}} - \cancel{\dfrac{6}{\sqrt{2}}} \right) + \left( \bcancel{\dfrac{6}{\sqrt{2}}} - \cancel{\dfrac{6}{\sqrt{3}}} \right) + \left( \bcancel{\dfrac{6}{\sqrt{3}}} - \cancel{\dfrac{6}{\sqrt{4}}} \right) + \left( \bcancel{\dfrac{6}{\sqrt{4}}} - \cancel{\dfrac{6}{\sqrt{5}}} \right) + \ldots + \left( \bcancel{\dfrac{6}{\sqrt{n - 2}}} - \cancel{\dfrac{6}{\sqrt{n - 1}}} \right) + \left( \bcancel{\dfrac{6}{\sqrt{n - 1}}} - \dfrac{6}{\sqrt{n}} \right) \)
\( = \dfrac{6}{\sqrt{1}} - \dfrac{6}{\sqrt{n}} \)
Serinin toplamını bulmak için \( n \). kısmi toplamının \( n \) sonsuza giderken limitini bulalım.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {s_n} = \lim\limits_{n \to \infty} \left( 6 - \dfrac{6}{\sqrt{n}} \right) \)
\( = 6 - \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{6}{\sqrt{n}}} \)
\( n \to \infty \) iken \( \frac{6}{\sqrt{n}} \to 0 \) olur.
\( = 6 - 0 = 6 \)
Buna göre verilen seri yakınsaktır ve toplamı \( 6 \)'ya eşittir.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{6}{n^2 + 4n + 3}} \) serisinin yakınsaklık durumunu inceleyiniz, seri yakınsak ise toplamını bulunuz.
Çözümü GösterSerinin \( n \). kısmi toplam formülünü yazalım.
\( s_n = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n} {\dfrac{6}{k^2 + 4k + 3}} \)
Basit kesirlere ayırma yöntemi ile ifadeyi iki kesrin farkı şeklinde yazalım.
\( = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n} \left( \dfrac{3}{k + 1} - \dfrac{3}{k + 3} \right) \)
\( = \left( \dfrac{3}{2} - \dfrac{3}{4} \right) + \left( \dfrac{3}{3} - \dfrac{3}{5} \right) + \left( \dfrac{3}{4} - \dfrac{3}{6} \right) + \left( \dfrac{3}{5} - \dfrac{3}{7} \right) + \left( \dfrac{3}{6} - \dfrac{3}{8} \right) + \ldots + \left( \dfrac{3}{n - 1} - \dfrac{3}{n + 1} \right) + \left( \dfrac{3}{n} - \dfrac{3}{n + 2} \right) + \left( \dfrac{3}{n + 1} - \dfrac{3}{n + 3} \right) \)
Her parantez içindeki ikinci terim, iki sonraki parantez içindeki birinci terimle sadeleşir.
\( = \left( \dfrac{3}{2} - \cancel{\dfrac{3}{4}} \right) + \left( \dfrac{3}{3} - \cancel{\dfrac{3}{5}} \right) + \left( \bcancel{\dfrac{3}{4}} - \cancel{\dfrac{3}{6}} \right) + \left( \bcancel{\dfrac{3}{5}} - \cancel{\dfrac{3}{7}} \right) + \left( \bcancel{\dfrac{3}{6}} - \cancel{\dfrac{3}{8}} \right) + \ldots + \left( \bcancel{\dfrac{3}{n - 1}} - \cancel{\dfrac{3}{n + 1}} \right) + \left( \bcancel{\dfrac{3}{n}} - \dfrac{3}{n + 2} \right) + \left( \bcancel{\dfrac{3}{n + 1}} - \dfrac{3}{n + 3} \right) \)
\( = \dfrac{3}{2} + \dfrac{3}{3} - \dfrac{3}{n + 2} - \dfrac{3}{n + 3} \)
Serinin toplamını bulmak için \( n \). kısmi toplamının \( n \) sonsuza giderken limitini bulalım.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {s_n} = \lim\limits_{n \to \infty} \left( \dfrac{3}{2} + \dfrac{3}{3} - \dfrac{3}{n + 2} - \dfrac{3}{n + 3} \right) \)
\( = \dfrac{5}{2} - \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{3}{n + 2}} - \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{3}{n + 3}} \)
\( n \to \infty \) iken \( \frac{3}{n + 2} \to 0 \) ve \( \frac{3}{n + 3} \to 0 \) olur.
\( = \dfrac{5}{2} - 0 - 0 = \dfrac{5}{2} \)
Buna göre verilen seri yakınsaktır ve toplamı \( \frac{5}{2} \)'ye eşittir.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} (\cos{\frac{2\pi}{n + 1}} - \cos{\frac{2\pi}{n + 2}}) \) serisinin yakınsaklık durumunu inceleyiniz, seri yakınsak ise toplamını bulunuz.
Çözümü GösterSerinin \( n \). kısmi toplam formülünü yazalım.
\( s_n = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n} (\cos{\frac{2\pi}{k + 1}} - \cos{\frac{2\pi}{k + 2}}) \)
\( = (\cos{\frac{2\pi}{2}} - \cos{\frac{2\pi}{3}}) + (\cos{\frac{2\pi}{3}} - \cos{\frac{2\pi}{4}}) + (\cos{\frac{2\pi}{4}} - \cos{\frac{2\pi}{5}}) + (\cos{\frac{2\pi}{5}} - \cos{\frac{2\pi}{6}}) + \ldots + (\cos{\frac{2\pi}{n}} - \cos{\frac{2\pi}{n + 1}}) + (\cos{\frac{2\pi}{n + 1}} - \cos{\frac{2\pi}{n + 2}}) \)
Her parantez içindeki ikinci terim, bir sonraki parantez içindeki birinci terimle sadeleşir.
\( = (\cos{\frac{2\pi}{2}} - \cancel{\cos{\frac{2\pi}{3}}}) + (\bcancel{\cos{\frac{2\pi}{3}}} - \cancel{\cos{\frac{2\pi}{4}}}) + (\bcancel{\cos{\frac{2\pi}{4}}} - \cancel{\cos{\frac{2\pi}{5}}}) + (\bcancel{\cos{\frac{2\pi}{5}}} - \cancel{\cos{\frac{2\pi}{6}}}) + \ldots + (\bcancel{\cos{\frac{2\pi}{n}}} - \cancel{\cos{\frac{2\pi}{n + 1}}}) + (\bcancel{\cos{\frac{2\pi}{n + 1}}} - \cos{\frac{2\pi}{n + 2}}) \)
\( = \cos{\frac{2\pi}{2}} - \cos{\frac{2\pi}{n + 2}} \)
Serinin toplamını bulmak için \( n \). kısmi toplamının \( n \) sonsuza giderken limitini bulalım.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {s_n} = \lim\limits_{n \to \infty} (\cos{\pi} - \cos{\frac{2\pi}{n + 2}}) \)
\( = \cos{\pi} - \lim\limits_{n \to \infty} {\cos{\frac{2\pi}{n + 2}}} \)
\( = \cos{\pi} - \cos{\lim\limits_{n \to \infty} {\frac{2\pi}{n + 2}}} \)
\( n \to \infty \) iken \( \frac{2\pi}{n + 2} \to 0 \) olur.
\( = \cos{\pi} - \cos{0} \)
\( = -1 - 1 = -2 \)
Buna göre verilen seri yakınsaktır ve toplamı \( -2 \)'ye eşittir.
\( \displaystyle\sum_{n = 0}^{\infty} {e^{\frac{1}{n + 1}}(1 - \dfrac{1}{e^{\frac{1}{(n + 1)(n + 2)}}})} \) serisinin yakınsaklık durumunu inceleyiniz, seri yakınsak ise toplamını bulunuz.
Çözümü GösterSerinin \( n \). kısmi toplam formülünü yazalım.
\( s_n = \displaystyle\sum_{k = 0}^{n} {e^{\frac{1}{k + 1}}(1 - \dfrac{1}{e^{\frac{1}{(k + 1)(k + 2)}}})} \)
Basit kesirlere ayırma yöntemi ile üsteki ifadeyi iki kesrin farkı şeklinde yazalım.
\( = \displaystyle\sum_{k = 0}^{n} {e^{\frac{1}{k + 1}}(1 - \dfrac{1}{e^{\frac{1}{k + 1} - \frac{1}{k + 2}}})} \)
\( = \displaystyle\sum_{k = 0}^{n} {e^{\frac{1}{k + 1}}(1 - e^{\frac{1}{k + 2} - \frac{1}{k + 1}})} \)
\( = \displaystyle\sum_{k = 0}^{n} (e^{\frac{1}{k + 1}} - e^{\frac{1}{k + 2}}) \)
\( = (e^{\frac{1}{1}} - e^{\frac{1}{2}}) + (e^{\frac{1}{2}} - e^{\frac{1}{3}}) + (e^{\frac{1}{3}} - e^{\frac{1}{4}}) + (e^{\frac{1}{4}} - e^{\frac{1}{5}}) + \ldots + (e^{\frac{1}{n}} - e^{\frac{1}{n + 1}}) + (e^{\frac{1}{n + 1}} - e^{\frac{1}{n + 2}}) \)
Her parantez içindeki ikinci terim, bir sonraki parantez içindeki birinci terimle sadeleşir.
\( = (e^{\frac{1}{1}} - \cancel{e^{\frac{1}{2}}}) + (\bcancel{e^{\frac{1}{2}}} - \cancel{e^{\frac{1}{3}}}) + (\bcancel{e^{\frac{1}{3}}} - \cancel{e^{\frac{1}{4}}}) + (\bcancel{e^{\frac{1}{4}}} - \cancel{e^{\frac{1}{5}}}) + \ldots + (\bcancel{e^{\frac{1}{n}}} - \cancel{e^{\frac{1}{n + 1}}}) + (\bcancel{e^{\frac{1}{n + 1}}} - e^{\frac{1}{n + 2}}) \)
\( = e^{\frac{1}{1}} - e^{\frac{1}{n + 2}} \)
Serinin toplamını bulmak için \( n \). kısmi toplamının \( n \) sonsuza giderken limitini bulalım.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {s_n} = \lim\limits_{n \to \infty} (e - e^{\frac{1}{n + 2}}) \)
\( = e - \lim\limits_{n \to \infty} {e^{\frac{1}{n + 2}}} \)
\( = e - e^{\lim\limits_{n \to \infty} {\frac{1}{n + 2}}} \)
\( n \to \infty \) iken \( \frac{1}{n + 2} \to 0 \) olur.
\( = e - e^0 \)
\( = e - 1 \)
Buna göre verilen seri yakınsaktır ve toplamı \( (e - 1) \)'e eşittir.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} \left( \dfrac{1}{3^{\frac{1}{n}}} - \dfrac{1}{3^{\frac{1}{n + 1}}} \right) \) serisinin yakınsaklık durumunu inceleyiniz, seri yakınsak ise toplamını bulunuz.
Çözümü GösterSerinin \( n \). kısmi toplam formülünü yazalım.
\( s_n = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n} \left( \dfrac{1}{3^{\frac{1}{k}}} - \dfrac{1}{3^{\frac{1}{k + 1}}} \right) \)
\( = \left( \dfrac{1}{3^{\frac{1}{1}}} - \dfrac{1}{3^{\frac{1}{2}}} \right) + \left( \dfrac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - \dfrac{1}{3^{\frac{1}{3}}} \right) + \left( \dfrac{1}{3^{\frac{1}{3}}} - \dfrac{1}{3^{\frac{1}{4}}} \right) + \left( \dfrac{1}{3^{\frac{1}{4}}} - \dfrac{1}{3^{\frac{1}{5}}} \right) + \ldots + \left( \dfrac{1}{3^{\frac{1}{n - 1}}} - \dfrac{1}{3^{\frac{1}{n}}} \right) + \left( \dfrac{1}{3^{\frac{1}{n}}} - \dfrac{1}{3^{\frac{1}{n + 1}}} \right) \)
Her parantez içindeki ikinci terim, bir sonraki parantez içindeki birinci terimle sadeleşir.
\( = \left( \dfrac{1}{3^{\frac{1}{1}}} - \cancel{\dfrac{1}{3^{\frac{1}{2}}}} \right) + \left( \bcancel{\dfrac{1}{3^{\frac{1}{2}}}} - \cancel{\dfrac{1}{3^{\frac{1}{3}}}} \right) + \left( \bcancel{\dfrac{1}{3^{\frac{1}{3}}}} - \cancel{\dfrac{1}{3^{\frac{1}{4}}}} \right) + \left( \bcancel{\dfrac{1}{3^{\frac{1}{4}}}} - \cancel{\dfrac{1}{3^{\frac{1}{5}}}} \right) + \ldots + \left( \bcancel{\dfrac{1}{3^{\frac{1}{n - 1}}}} - \cancel{\dfrac{1}{3^{\frac{1}{n}}}} \right) + \left( \bcancel{\dfrac{1}{3^{\frac{1}{n}}}} - \dfrac{1}{3^{\frac{1}{n + 1}}} \right) \)
\( = \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{3^{\frac{1}{n + 1}}} \)
Serinin toplamını bulmak için \( n \). kısmi toplamının \( n \) sonsuza giderken limitini bulalım.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {s_n} = \lim\limits_{n \to \infty} \left( \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{3^{\frac{1}{n + 1}}} \right) \)
\( = \dfrac{1}{3} - \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{1}{3^{\frac{1}{n + 1}}}} \)
\( = \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{\lim\limits_{n \to \infty} {3^{\frac{1}{n + 1}}}} \)
\( = \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{3^{\lim\limits_{n \to \infty} {\frac{1}{n + 1}}}} \)
\( n \to \infty \) iken \( \frac{1}{n + 1} \to 0 \) olur.
\( = \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{3^{0}} \)
\( = \dfrac{1}{3} - 1 = -\dfrac{2}{3} \)
Buna göre verilen seri yakınsaktır ve toplamı \( -\frac{2}{3} \)'e eşittir.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{6}{(3n - 2)(3n + 4)}} \) serisinin yakınsaklık durumunu inceleyiniz, seri yakınsak ise toplamını bulunuz.
Çözümü GösterSerinin \( n \). kısmi toplam formülünü yazalım.
\( s_n = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n} {\dfrac{6}{(3k - 2)(3k + 4)}} \)
Basit kesirlere ayırma yöntemi ile ifadeyi iki kesrin farkı şeklinde yazalım.
\( = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n} \left( \dfrac{1}{3k - 2} - \dfrac{1}{3k + 4} \right) \)
\( = \left( \dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{7} \right) + \left( \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{10} \right) + \left( \dfrac{1}{7} - \dfrac{1}{13} \right) + \left( \dfrac{1}{10} - \dfrac{1}{16} \right) + \ldots + \left( \dfrac{1}{3n - 8} - \dfrac{1}{3n - 2} \right) + \left( \dfrac{1}{3n - 5} - \dfrac{1}{3n + 1} \right) + \left( \dfrac{1}{3n - 2} - \dfrac{1}{3n + 4} \right) \)
Her parantez içindeki ikinci terim, iki sonraki parantez içindeki birinci terimle sadeleşir.
\( = \left( \dfrac{1}{1} - \cancel{\dfrac{1}{7}} \right) + \left( \dfrac{1}{4} - \cancel{\dfrac{1}{10}} \right) + \left( \bcancel{\dfrac{1}{7}} - \cancel{\dfrac{1}{13}} \right) + \left( \bcancel{\dfrac{1}{10}} - \cancel{\dfrac{1}{16}} \right) + \ldots + \left( \bcancel{\dfrac{1}{3n - 8}} - \cancel{\dfrac{1}{3n - 2}} \right) + \left( \bcancel{\dfrac{1}{3n - 5}} - \dfrac{1}{3n + 1} \right) + \left( \bcancel{\dfrac{1}{3n - 2}} - \dfrac{1}{3n + 4} \right) \)
\( = \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{3n + 1} - \dfrac{1}{3n + 4} \)
Serinin toplamını bulmak için \( n \). kısmi toplamının \( n \) sonsuza giderken limitini bulalım.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {s_n} = \lim\limits_{n \to \infty} \left( 1 + \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{3n + 1} - \dfrac{1}{3n + 4} \right) \)
\( = \dfrac{5}{4} - \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{1}{3n + 1}} - \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{1}{3n + 4}} \)
\( n \to \infty \) iken \( \frac{1}{3n + 1} \to 0 \) ve \( \frac{1}{3n + 4} \to 0 \) olur.
\( = \dfrac{5}{4} - 0 - 0 = \dfrac{5}{4} \)
Buna göre verilen seri yakınsaktır ve toplamı \( \frac{5}{4} \)'e eşittir.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {\dfrac{56n}{(2n - 1)^2(2n + 1)^2}} \) serisinin yakınsaklık durumunu inceleyiniz, seri yakınsak ise toplamını bulunuz.
Çözümü GösterSerinin \( n \). kısmi toplam formülünü yazalım.
\( s_n = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n} {\dfrac{56k}{(2k - 1)^2(2k + 1)^2}} \)
Basit kesirlere ayırma yöntemi ile ifadeyi iki kesrin farkı şeklinde yazalım.
\( = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n} \left( \dfrac{7}{(2k - 1)^2} - \dfrac{7}{(2k + 1)^2} \right) \)
\( = \left( \dfrac{7}{1^2} - \dfrac{7}{3^2} \right) + \left( \dfrac{7}{3^2} - \dfrac{7}{5^2} \right) + \left( \dfrac{7}{5^2} - \dfrac{7}{7^2} \right) + \left( \dfrac{7}{7^2} - \dfrac{7}{9^2} \right) + \ldots + \left( \dfrac{7}{(2n - 3)^2} - \dfrac{7}{(2n - 1)^2} \right) + \left( \dfrac{7}{(2n - 1)^2} - \dfrac{7}{(2n + 1)^2} \right) \)
Her parantez içindeki ikinci terim, bir sonraki parantez içindeki birinci terimle sadeleşir.
\( = \left( \dfrac{7}{1^2} - \cancel{\dfrac{7}{3^2}} \right) + \left( \bcancel{\dfrac{7}{3^2}} - \cancel{\dfrac{7}{5^2}} \right) + \left( \bcancel{\dfrac{7}{5^2}} - \cancel{\dfrac{7}{7^2}} \right) + \left( \bcancel{\dfrac{7}{7^2}} - \cancel{\dfrac{7}{9^2}} \right) + \ldots + \left( \bcancel{\dfrac{7}{(2n - 3)^2}} - \cancel{\dfrac{7}{(2n - 1)^2}} \right) + \left( \bcancel{\dfrac{7}{(2n - 1)^2}} - \dfrac{7}{(2n + 1)^2} \right) \)
\( = \dfrac{7}{1^2} - \dfrac{7}{(2n + 1)^2} \)
Serinin toplamını bulmak için \( n \). kısmi toplamının \( n \) sonsuza giderken limitini bulalım.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {s_n} = \lim\limits_{n \to \infty} \left( 7 - \dfrac{7}{(2n + 1)^2} \right) \)
\( = 7 - \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{7}{(2n + 1)^2}} \)
\( n \to \infty \) iken \( \frac{7}{(2n + 1)^2} \to 0 \) olur.
\( = 7 - 0 = 7 \)
Buna göre verilen seri yakınsaktır ve toplamı \( 7 \)'ye eşittir.
\( \displaystyle\sum_{n = 2}^{\infty} {\dfrac{2 - 4n}{n^2(n - 1)^2}} \) serisinin yakınsaklık durumunu inceleyiniz, seri yakınsak ise toplamını bulunuz.
Çözümü GösterSerinin \( n \). kısmi toplam formülünü yazalım.
\( s_n = \displaystyle\sum_{k = 2}^{n} {\dfrac{2 - 4k}{k^2(k - 1)^2}} \)
Basit kesirlere ayırma yöntemi ile ifadeyi iki kesrin farkı şeklinde yazalım.
\( = \displaystyle\sum_{k = 2}^{n} \left( \dfrac{2}{k^2} - \dfrac{2}{(k - 1)^2} \right) \)
\( = \left( \dfrac{2}{2^2} - \dfrac{2}{1^2} \right) + \left( \dfrac{2}{3^2} - \dfrac{2}{2^2} \right) + \left( \dfrac{2}{4^2} - \dfrac{2}{3^2} \right) + \left( \dfrac{2}{5^2} - \dfrac{2}{4^2} \right) + \ldots + \left( \dfrac{2}{(n - 1)^2} - \dfrac{2}{(n - 2)^2} \right) + \left( \dfrac{2}{n^2} - \dfrac{2}{(n - 1)^2} \right) \)
Her parantez içindeki birinci terim, bir sonraki parantez içindeki ikinci terimle sadeleşir.
\( = \left( \cancel{\dfrac{2}{2^2}} - \dfrac{2}{1^2} \right) + \left( \cancel{\dfrac{2}{3^2}} - \bcancel{\dfrac{2}{2^2}} \right) + \left( \cancel{\dfrac{2}{4^2}} - \bcancel{\dfrac{2}{3^2}} \right) + \left( \cancel{\dfrac{2}{5^2}} - \bcancel{\dfrac{2}{4^2}} \right) + \ldots + \left( \cancel{\dfrac{2}{(n - 1)^2}} - \bcancel{\dfrac{2}{(n - 2)^2}} \right) + \left( \dfrac{2}{n^2} - \bcancel{\dfrac{2}{(n - 1)^2}} \right) \)
\( = -\dfrac{2}{1^2} + \dfrac{2}{n^2} \)
Serinin toplamını bulmak için \( n \). kısmi toplamının \( n \) sonsuza giderken limitini bulalım.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {s_n} = \lim\limits_{n \to \infty} \left( -2 + \dfrac{2}{n^2} \right) \)
\( = -2 + \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{2}{n^2}} \)
\( n \to \infty \) iken \( \frac{2}{n^2} \to 0 \) olur.
\( = -2 + 0 = -2 \)
Buna göre verilen seri yakınsaktır ve toplamı \( -2 \)'ye eşittir.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} \left( \cos{\dfrac{n\pi}{4}} - \cos{\dfrac{(n + 1)\pi}{4}} \right) \) serisinin yakınsaklık durumunu inceleyiniz, seri yakınsak ise toplamını bulunuz.
Çözümü GösterSerinin \( n \). kısmi toplam formülünü yazalım.
\( s_n = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n} \left( \cos{\frac{n\pi}{4}} - \cos{\frac{(n + 1)\pi}{4}} \right) \)
\( = (\cos{\frac{\pi}{4}} - \cos{\frac{2\pi}{4}}) + (\cos{\frac{2\pi}{4}} - \cos{\frac{3\pi}{4}}) + (\cos{\frac{3\pi}{4}} - \cos{\frac{4\pi}{4}}) + (\cos{\frac{4\pi}{4}} - \cos{\frac{5\pi}{4}}) + \ldots + (\cos{\frac{(n - 1)\pi}{4}} - \cos{\frac{n\pi}{4}}) + (\cos{\frac{n\pi}{4}} - \cos{\frac{(n + 1)\pi}{4}}) \)
Her parantez içindeki ikinci terim, bir sonraki parantez içindeki birinci terimle sadeleşir.
\( = (\cos{\frac{\pi}{4}} - \cancel{\cos{\frac{2\pi}{4}}}) + (\bcancel{\cos{\frac{2\pi}{4}}} - \cancel{\cos{\frac{3\pi}{4}}}) + (\bcancel{\cos{\frac{3\pi}{4}}} - \cancel{\cos{\frac{4\pi}{4}}}) + (\bcancel{\cos{\frac{4\pi}{4}}} - \cancel{\cos{\frac{5\pi}{4}}}) + \ldots + (\bcancel{\cos{\frac{(n - 1)\pi}{4}}} - \cancel{\cos{\frac{n\pi}{4}}}) + (\bcancel{\cos{\frac{n\pi}{4}}} - \cos{\frac{(n + 1)\pi}{4}}) \)
\( = \cos{\frac{\pi}{4}} - \cos{\frac{(n + 1)\pi}{4}} \)
Serinin toplamını bulmak için \( n \). kısmi toplamının \( n \) sonsuza giderken limitini bulalım.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {s_n} = \lim\limits_{n \to \infty} (\cos{\frac{\pi}{4}} - \cos{\frac{(n + 1)\pi}{4}}) \)
\( = \cos{\frac{\pi}{4}} - \lim\limits_{n \to \infty} {\cos{\frac{(n + 1)\pi}{4}}} \)
\( n \to \infty \) iken \( \cos{\frac{(n + 1)\pi}{4}} \) fonksiyonu \( \{ -1, -\frac{\sqrt{2}}{2}, 0, \frac{\sqrt{2}}{2}, 1 \} \) değerleri arasında salınım hareketi yapar ve belirli bir değere yaklaşmaz, dolayısıyla sonsuzda limiti tanımlı değildir.
Buna göre verilen seri ıraksaktır.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} \left( \dfrac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n + 2}} - \dfrac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n + 3}} \right) \) serisinin yakınsaklık durumunu inceleyiniz, seri yakınsak ise toplamını bulunuz.
Çözümü GösterSerinin \( n \). kısmi toplam formülünü yazalım.
\( s_n = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n} \left( \dfrac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k + 2}} - \dfrac{1}{\sqrt{k + 1} + \sqrt{k + 3}} \right) \)
\( = \left( \dfrac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{3}} - \dfrac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{4}} \right) + \left( \dfrac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{4}} - \dfrac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{5}} \right) + \left( \dfrac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{5}} - \dfrac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{6}} \right) + \left( \dfrac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{6}} - \dfrac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{7}} \right) + \ldots + \left( \dfrac{1}{\sqrt{n - 1} + \sqrt{n + 1}} - \dfrac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n + 2}} \right) + \left( \dfrac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n + 2}} - \dfrac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n + 3}} \right) \)
Her parantez içindeki ikinci terim, bir sonraki parantez içindeki birinci terimle sadeleşir.
\( = \left( \dfrac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{3}} - \cancel{\dfrac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{4}}} \right) + \left( \bcancel{\dfrac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{4}}} - \cancel{\dfrac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{5}}} \right) + \left( \bcancel{\dfrac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{5}}} - \cancel{\dfrac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{6}}} \right) + \left( \bcancel{\dfrac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{6}}} - \cancel{\dfrac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{7}}} \right) + \ldots + \left( \bcancel{\dfrac{1}{\sqrt{n - 1} + \sqrt{n + 1}}} - \cancel{\dfrac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n + 2}}} \right) + \left( \bcancel{\dfrac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n + 2}}} - \dfrac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n + 3}} \right) \)
\( = \dfrac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{3}} - \dfrac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n + 3}} \)
Serinin toplamını bulmak için \( n \). kısmi toplamının \( n \) sonsuza giderken limitini bulalım.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {s_n} = \lim\limits_{n \to \infty} \left( \dfrac{1}{1 + \sqrt{3}} - \dfrac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n + 3}} \right) \)
\( = \dfrac{1}{1 + \sqrt{3}} - \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n + 3}}} \)
\( n \to \infty \) iken \( \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n + 3}} \to 0 \) olur.
\( = \dfrac{1}{1 + \sqrt{3}} - 0 = \dfrac{1}{1 + \sqrt{3}} \)
Buna göre verilen seri yakınsaktır ve toplamı \( \frac{1}{1 + \sqrt{3}} \)'e eşittir.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} \left( \dfrac{n!}{(n + 2)!} - \dfrac{(n + 1)!}{(n + 3)!} \right) \) serisinin yakınsaklık durumunu inceleyiniz, seri yakınsak ise toplamını bulunuz.
Çözümü GösterSerinin \( n \). kısmi toplam formülünü yazalım.
\( s_n = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n} \left( \dfrac{k!}{(k + 2)!} - \dfrac{(k + 1)!}{(k + 3)!} \right) \)
Verilen seride sadeleştirme yapalım.
\( = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n} \left( \dfrac{k!}{(k + 2)(k + 1)k!} - \dfrac{(k + 1)!}{(k + 3)(k + 2)(k + 1)!} \right) \)
\( = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n} \left( \dfrac{1}{(k + 2)(k + 1)} - \dfrac{1}{(k + 3)(k + 2)} \right) \)
\( = \left( \dfrac{1}{3 \cdot 2} - \dfrac{1}{4 \cdot 3} \right) + \left( \dfrac{1}{4 \cdot 3} - \dfrac{1}{5 \cdot 4} \right) + \left( \dfrac{1}{5 \cdot 4} - \dfrac{1}{6 \cdot 5} \right) + \left( \dfrac{1}{6 \cdot 5} - \dfrac{1}{7 \cdot 6} \right) + \ldots + \left( \dfrac{1}{(n + 1)n} - \dfrac{1}{(n + 2)(n + 1)} \right) + \left( \dfrac{1}{(n + 2)(n + 1)} - \dfrac{1}{(n + 3)(n + 2)} \right) \)
Her parantez içindeki ikinci terim, bir sonraki parantez içindeki birinci terimle sadeleşir.
\( = \left( \dfrac{1}{3 \cdot 2} - \cancel{\dfrac{1}{4 \cdot 3}} \right) + \left( \bcancel{\dfrac{1}{4 \cdot 3}} - \cancel{\dfrac{1}{5 \cdot 4}} \right) + \left( \bcancel{\dfrac{1}{5 \cdot 4}} - \cancel{\dfrac{1}{6 \cdot 5}} \right) + \left( \bcancel{\dfrac{1}{6 \cdot 5}} - \cancel{\dfrac{1}{7 \cdot 6}} \right) + \ldots + \left( \bcancel{\dfrac{1}{(n + 1)n}} - \cancel{\dfrac{1}{(n + 2)(n + 1)}} \right) + \left( \bcancel{\dfrac{1}{(n + 2)(n + 1)}} - \dfrac{1}{(n + 3)(n + 2)} \right) \)
\( = \dfrac{1}{3 \cdot 2} - \dfrac{1}{(n + 3)(n + 2)} \)
Serinin toplamını bulmak için \( n \). kısmi toplamının \( n \) sonsuza giderken limitini bulalım.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {s_n} = \lim\limits_{n \to \infty} \left( \dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{(n + 3)(n + 2)} \right) \)
\( = \dfrac{1}{6} - \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{1}{n^2 + 5n + 6}} \)
\( n \to \infty \) iken \( \frac{1}{n^2 + 5n + 6} \to 0 \) olur.
\( = \dfrac{1}{6} - 0 = \dfrac{1}{6} \)
Buna göre verilen seri yakınsaktır ve toplamı \( \frac{1}{6} \)'ya eşittir.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} (\sqrt{n + 1} - 2\sqrt{n} + \sqrt{n - 1}) \) serisinin yakınsaklık durumunu inceleyiniz, seri yakınsak ise toplamını bulunuz.
Çözümü GösterSerinin \( n \). kısmi toplam formülünü yazalım.
\( s_n = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n} (\sqrt{k + 1} - 2\sqrt{k} + \sqrt{k - 1}) \)
Verilen ifadeyi aşağıdaki gibi düzenleyelim.
\( = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n} (\sqrt{k + 1} - \sqrt{k} - \sqrt{k} + \sqrt{k - 1}) \)
\( = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n} \left( (\sqrt{k + 1} - \sqrt{k}) + (\sqrt{k - 1} - \sqrt{k}) \right) \)
\( = ( \quad \underbrace{(\sqrt{2} - \sqrt{1})}_\text{birinci parantez} + \underbrace{(\sqrt{0} - \sqrt{1})}_\text{ikinci parantez} ) + \left( (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{1} - \sqrt{2}) \right) + \left( (\sqrt{4} - \sqrt{3}) + (\sqrt{2} - \sqrt{3}) \right) + \left( (\sqrt{5} - \sqrt{4}) + (\sqrt{3} - \sqrt{4}) \right) + \ldots + \left( (\sqrt{n} - \sqrt{n - 1}) + (\sqrt{n - 2} - \sqrt{n - 1}) \right) + \left( (\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}) + (\sqrt{n - 1} - \sqrt{n}) \right) \)
Her parantez içindeki birinci terim, bir sonraki parantez içindeki ikinci terimle sadeleşir.
\( = \left( \cancel{(\sqrt{2} - \sqrt{1})} + (\sqrt{0} - \sqrt{1}) \right) + \left( \cancel{(\sqrt{3} - \sqrt{2})} + \bcancel{(\sqrt{1} - \sqrt{2})} \right) + \left( \cancel{(\sqrt{4} - \sqrt{3})} + \bcancel{(\sqrt{2} - \sqrt{3})} \right) + \left( \cancel{(\sqrt{5} - \sqrt{4})} + \bcancel{(\sqrt{3} - \sqrt{4})} \right) + \ldots + \left( \cancel{(\sqrt{n} - \sqrt{n - 1})} + \bcancel{(\sqrt{n - 2} - \sqrt{n - 1})} \right) + \left( (\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}) + \bcancel{(\sqrt{n - 1} - \sqrt{n})} \right) \)
\( = \sqrt{0} - \sqrt{1} + \sqrt{n + 1} - \sqrt{n} \)
Serinin toplamını bulmak için \( n \). kısmi toplamının \( n \) sonsuza giderken limitini bulalım.
\( \lim\limits_{n \to \infty} {s_n} = \lim\limits_{n \to \infty} (-1 + \sqrt{n + 1} - \sqrt{n}) \)
\( = -1 + \lim\limits_{n \to \infty} (\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}) \)
Bu limit ifadesinde \( \infty - \infty \) belirsizliği vardır.
Limit içerisindeki ifadeyi eşleniği ile çarpıp bölelim.
\( = -1 + \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{(\sqrt{n + 1} - \sqrt{n})(\sqrt{n + 1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}} \)
\( = -1 + \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{(\sqrt{n + 1})^2 - (\sqrt{n})^2}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}} \)
\( = -1 + \lim\limits_{n \to \infty} {\dfrac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}} \)
\( n \to \infty \) iken \( \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} \to 0 \) olur.
\( = -1 + 0 = -1 \)
Buna göre verilen seri yakınsaktır ve toplamı \( -1 \)'e eşittir.