İkinci Dereceden Eşitsizlikler

Tüm terimleri aynı tarafta toplandığında \( ax^2 + bx + c \) formunda yazılabilen eşitsizliklere ikinci dereceden eşitsizlik denir. Diğer eşitsizliklerde olduğu gibi ikinci dereceden eşitsizliklerde de \( \lt \), \( \le \), \( \gt \), \( \ge \) sembollerinden herhangi biri kullanılabilir.

\( a \ne 0 \) olmak üzere,

\( ax^2 + bx + c \lt 0 \)

ÖRNEK:

\( x^2 - 5x + 6 \le 0 \)

\( 2x^2 \ge 5x + 12 \)

\( 3x^2 \lt x \)

İkinci dereceden eşitsizliklerin çözüm kümesi grafik yorumu ile ve işaret tablosu yardımıyla olmak üzere iki yöntemle bulunabilir. Her iki yöntemde de önce tüm terimleri eşitsizliğin sol tarafında toplamamız ve sağ tarafında 0 bırakmamız gerekir.

Grafik Yorumu ile Çözüm

İkinci dereceden bir ifadenin işareti başkatsayısının pozitif/negatif ve deltasının pozitif/negatif/sıfır olmasına göre 6 farklı şekilde olabilir.

Grafik	İfadenin İşareti
	Başkatsayı ve delta pozitif: \( a \gt 0, \quad \Delta \gt 0 \) İfade kökler arasındaki aralıkta negatif, kökler dışındaki aralıkta pozitif, kök değerlerinde sıfır olur. Örnek: \( (x - 2)(x - 5) \lesseqgtr 0 \) \( x = 4 \Longrightarrow (4 - 2)(4 - 5) = -2 \lt 0 \) \( x = 5 \Longrightarrow (5 - 2)(5 - 5) = 0 \) \( x = 6 \Longrightarrow (6 - 2)(6 - 5) = 4 \gt 0 \)
	Başkatsayı pozitif, delta sıfır: \( a \gt 0, \quad \Delta = 0 \) İfade kök değerinde sıfır, diğer tüm değerlerde pozitif olur. Örnek: \( (x - 5)^2 \lesseqgtr 0\) \( x = 4 \Longrightarrow (4 - 5)^2 = 1 \gt 0 \) \( x = 5 \Longrightarrow (5 - 5)^2 = 0 \) \( x = 6 \Longrightarrow (6 - 5)^2 = 1 \gt 0 \)
	Başkatsayı pozitif, delta negatif: \( a \gt 0, \quad \Delta \lt 0 \) İfade tüm reel sayılarda pozitif olur. Örnek: \( x^2 - 2x + 2 \lesseqgtr 0\) \( x = 0 \Longrightarrow 0^2 - 2(0) + 2 = 2 \gt 0 \) \( x = 1 \Longrightarrow 1^2 - 2(1) + 2 = 1 \gt 0 \) \( x = 2 \Longrightarrow 2^2 - 2(2) + 2 = 2 \gt 0 \)
	Başkatsayı negatif, delta pozitif: \( a \lt 0, \quad \Delta \gt 0 \) İfade kökler arasındaki aralıkta pozitif, kökler dışındaki aralıkta negatif, kök değerlerinde sıfır olur. Örnek: \( -(x - 2)(x - 5) \lesseqgtr 0\) \( x = 4 \Longrightarrow -(4 - 2)(4 - 5) = 2 \gt 0 \) \( x = 5 \Longrightarrow -(5 - 2)(5 - 5) = 0 \) \( x = 6 \Longrightarrow -(6 - 2)(6 - 5) = -4 \lt 0 \)
	Başkatsayı negatif, delta sıfır: \( a \lt 0, \quad \Delta = 0 \) İfade kök değerinde sıfır, diğer tüm değerlerde negatif olur. Örnek: \( -(x - 5)^2 \lesseqgtr 0\) \( x = 4 \Longrightarrow -(4 - 5)^2 = -1 \lt 0 \) \( x = 5 \Longrightarrow -(5 - 5)^2 = 0 \) \( x = 6 \Longrightarrow -(6 - 5)^2 = -1 \lt 0 \)
	Başkatsayı ve delta negatif: \( a \lt 0, \quad \Delta \lt 0 \) İfade tüm reel sayılarda negatif olur. Örnek: \( -x^2 + 2x - 2 \lesseqgtr 0\) \( x = 0 \Longrightarrow -0^2 + 2(0) - 2 = -2 \lt 0 \) \( x = 1 \Longrightarrow -1^2 + 2(1) - 2 = -1 \lt 0 \) \( x = 2 \Longrightarrow -2^2 + 2(2) - 2 = -2 \lt 0 \)

İkinci dereceden ifadelerin yukarıda paylaştığımız farklı durumları ve her durumdaki grafikleri iyi anlaşıldığı takdirde tüm ikinci dereceden eşitsizliklerin çözüm kümesi ek bir yönteme ihtiyaç duyulmadan bulunabilir.

ÖRNEK 1:

İkinci dereceden ifadeleri aynı aşağıdaki dört eşitsizliğin çözüm kümelerini bulalım.

\( 2x^2 - 5x - 12 \lt 0 \)

\( 2x^2 - 5x - 12 \le 0 \)

\( 2x^2 - 5x - 12 \gt 0 \)

\( 2x^2 - 5x - 12 \ge 0 \)

İkinci dereceden ifadenin katsayılarını yazalım.

\( a = 2, \quad b = -5, \quad c = -12 \)

Başkatsayı pozitif olduğu için grafiğin kolları yukarı yönlüdür.

\( a = 2 \gt 0 \)

İfadenin deltasını bulalım.

\( \Delta = b^2 - 4ac \)

\( = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-12) = 121 \gt 0 \)

Delta pozitif olduğu için ikinci dereceden ifadenin iki reel kökü vardır.

İfadeyi çarpanlarına ayıralım.

\( (2x + 3)(x - 4) \le 0 \)

Başkatsayısı ve deltası pozitif olan ikinci dereceden ifadelerin grafiklerini düşündüğümüzde, ifade her bir çarpanı sıfır yapan \( x = -\frac{3}{2} \) ve \( x = 4 \) kök değerlerinde sıfır, \( (-\frac{3}{2}, 4) \) aralığında negatif, köklerin dışındaki aralıkta pozitif olur.

Bu doğrultuda verilen dört eşitsizliğin çözüm kümelerini bulalım.

\( 2x^2 - 5x - 12 \lt 0 \) için:

\( \quad x \in (-\frac{3}{2}, 4) \)

\( 2x^2 - 5x - 12 \le 0 \) için:

\( \quad x \in [-\frac{3}{2}, 4] \)

\( 2x^2 - 5x - 12 \gt 0 \) için:

\( \quad x \in (-\infty, -\frac{3}{2}) \cup (4, +\infty) \)

\( 2x^2 - 5x - 12 \ge 0 \) için:

\( \quad x \in (-\infty, -\frac{3}{2}] \cup [4, +\infty) \)

SORU 1:

Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulunuz.

(a) \( x^2 + 2x - 24 \ge 0 \)

(b) \( x^2 - 5x - 14 \le 0 \)

(d) \( x^2 + x - 42 \lt 0 \)

Çözümü Göster

(a) eşitsizliği:

\( x^2 + 2x - 24 \ge 0 \)

İkinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayıralım.

\( (x + 6)(x - 4) \ge 0 \)

Pozitif başkatsayılı ve birbirinden farklı iki reel kökü olan ikinci dereceden bir ifade kök değerlerinde sıfır, köklerin arasındaki aralıkta negatif, dışındaki aralıkta pozitif olur.

2. dereceden eşitsizlik (a > 0, delta > 0)

Verilen eşitsizlikte \( \ge \) sembolü kullanıldığı için ikinci dereceden ifadenin pozitif ya da sıfır olduğu aralıklar eşitsizliğin çözüm kümesi olur.

Çözüm kümesi: \( x \in (-\infty, -6] \cup [4, +\infty) \)

(b) eşitsizliği:

\( x^2 - 5x - 14 \le 0 \)

İkinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayıralım.

\( (x + 2)(x - 7) \le 0 \)

Pozitif başkatsayılı ve birbirinden farklı iki reel kökü olan ikinci dereceden bir ifade kök değerlerinde sıfır, köklerin arasındaki aralıkta negatif, dışındaki aralıkta pozitif olur.

Verilen eşitsizlikte \( \le \) sembolü kullanıldığı için ikinci dereceden ifadenin negatif ya da sıfır olduğu aralıklar eşitsizliğin çözüm kümesi olur.

Çözüm kümesi: \( x \in [-2, 7] \)

(c) eşitsizliği:

\( x^2 - 24x + 23 \gt 0 \)

İkinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayıralım.

\( (x - 1)(x - 23) \gt 0 \)

Pozitif başkatsayılı ve birbirinden farklı iki reel kökü olan ikinci dereceden bir ifade kök değerlerinde sıfır, köklerin arasındaki aralıkta negatif, dışındaki aralıkta pozitif olur.

Verilen eşitsizlikte \( \gt \) sembolü kullanıldığı için ikinci dereceden ifadenin pozitif olduğu aralıklar eşitsizliğin çözüm kümesi olur.

Çözüm kümesi: \( x \in (-\infty, 1) \cup (23, +\infty) \)

(d) eşitsizliği:

\( x^2 + x - 42 \lt 0 \)

İkinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayıralım.

\( (x + 7)(x - 6) \lt 0 \)

Pozitif başkatsayılı ve birbirinden farklı iki reel kökü olan ikinci dereceden bir ifade kök değerlerinde sıfır, köklerin arasındaki aralıkta negatif, dışındaki aralıkta pozitif olur.

Verilen eşitsizlikte \( \lt \) sembolü kullanıldığı için ikinci dereceden ifadenin negatif olduğu aralıklar eşitsizliğin çözüm kümesi olur.

Çözüm kümesi: \( x \in (-7, 6) \)

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 2:

Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulunuz.

(a) \( x^2 + 5x + 7 \lt 0 \)

(b) \( x^2 + 6x + 9 \gt 0 \)

(d) \( -x^2 + 4x - 4 \ge 0 \)

Çözümü Göster

(a) eşitsizliği:

(a) \( x^2 + 5x + 7 \lt 0 \)

\( \Delta = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = -3 \lt 0 \)

İkinci dereceden ifadenin deltası negatif olduğu için reel kökü yoktur ve ifade çarpanlarına ayrılmaz.

Pozitif başkatsayılı ve deltası sıfırdan küçük olan ikinci dereceden bir ifade tüm reel sayılarda pozitif olur.

Verilen eşitsizlikte \( \lt \) sembolü kullanıldığı için ikinci dereceden ifadenin negatif olduğu aralıklar eşitsizliğin çözüm kümesi olur, ancak ifadenin negatif olduğu bir aralık yoktur.

Çözüm kümesi: \( x \in \emptyset \)

(b) eşitsizliği:

\( x^2 + 6x + 9 \gt 0 \)

İkinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayıralım.

\( (x + 3)^2 \gt 0 \)

Pozitif başkatsayılı ve tek bir (çift katlı) reel kökü olan ikinci dereceden bir ifade kök değerinde sıfır, kökün dışındaki aralıkta pozitif olur.

Verilen eşitsizlikte \( \gt \) sembolü kullanıldığı için ikinci dereceden ifadenin pozitif olduğu aralıklar eşitsizliğin çözüm kümesi olur.

Çözüm kümesi: \( x \in \mathbb{R} - \{-3\} \)

(c) eşitsizliği:

\( -x^2 + 3x - 3 \le 0 \)

\( \Delta = 3^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-3) = -3 \lt 0 \)

İkinci dereceden ifadenin deltası negatif olduğu için reel kökü yoktur ve ifade çarpanlarına ayrılmaz.

Negatif başkatsayılı ve deltası sıfırdan küçük olan ikinci dereceden bir ifade tüm reel sayılarda negatif olur.

Verilen eşitsizlikte \( \le \) sembolü kullanıldığı için ikinci dereceden ifadenin negatif ya da sıfır olduğu aralıklar eşitsizliğin çözüm kümesi olur.

Çözüm kümesi: \( x \in \mathbb{R} \)

(d) eşitsizliği:

\( -x^2 + 4x - 4 \ge 0 \)

İkinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayıralım.

\( -(x^2 - 4x + 4) \ge 0 \)

\( -(x - 2)^2 \ge 0 \)

Negatif başkatsayılı ve tek bir (çift katlı) reel kökü olan ikinci dereceden bir ifade kök değerinde sıfır, kökün dışındaki aralıkta negatif olur.

Verilen eşitsizlikte \( \ge \) sembolü kullanıldığı için ikinci dereceden ifadenin pozitif ya da sıfır olduğu aralıklar eşitsizliğin çözüm kümesi olur.

Çözüm kümesi: \( x \in \{2\} \)

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 3:

Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulunuz.

(a) \( x^2 + 24 \lt -11x \)

(b) \( x^2 \gt -3x - 7 \)

(d) \( -2x^2 - 98 \ge 28x \)

Çözümü Göster

(a) eşitsizliği:

\( x^2 + 24 \lt -11x \)

\( x^2 + 11x + 24 \lt 0 \)

İkinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayıralım.

\( (x + 8)(x + 3) \lt 0 \)

Pozitif başkatsayılı ve birbirinden farklı iki reel kökü olan ikinci dereceden bir ifade kök değerlerinde sıfır, köklerin arasındaki aralıkta negatif, dışındaki aralıkta pozitif olur.

Verilen eşitsizlikte \( \lt \) sembolü kullanıldığı için ikinci dereceden ifadenin negatif olduğu aralıklar eşitsizliğin çözüm kümesi olur.

Çözüm kümesi: \( x \in (-8, -3) \)

(b) eşitsizliği:

(b) \( x^2 \gt -3x - 7 \)

(b) \( x^2 + 3x + 7 \gt 0 \)

\( \Delta = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = -19 \lt 0 \)

İkinci dereceden ifadenin deltası negatif olduğu için reel kökü yoktur ve ifade çarpanlarına ayrılmaz.

Pozitif başkatsayılı ve deltası sıfırdan küçük olan ikinci dereceden bir ifade tüm reel sayılarda pozitif olur.

Verilen eşitsizlikte \( \gt \) sembolü kullanıldığı için ikinci dereceden ifadenin pozitif olduğu aralıklar eşitsizliğin çözüm kümesi olur.

Çözüm kümesi: \( x \in \mathbb{R} \)

(c) eşitsizliği:

\( -x^2 + 12x \gt 32 \)

\( -x^2 + 12x - 32 \gt 0 \)

İkinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayıralım.

\( -(x - 4)(x - 8) \gt 0 \)

Negatif başkatsayılı ve birbirinden farklı iki reel kökü olan ikinci dereceden bir ifade kök değerlerinde sıfır, köklerin arasındaki aralıkta pozitif, dışındaki aralıkta negatif olur.

Verilen eşitsizlikte \( \gt \) sembolü kullanıldığı için ikinci dereceden ifadenin pozitif olduğu aralıklar eşitsizliğin çözüm kümesi olur.

Çözüm kümesi: \( x \in (4, 8) \)

(d) eşitsizliği:

\( -2x^2 - 98 \ge 28x \)

\( -2x^2 - 28x - 98 \ge 0 \)

Eşitsizliğin taraflarını 2'ye bölelim.

\( -x^2 - 14x - 49 \ge 0 \)

Eşitsizliğin taraflarını -1 ile çarpalım. Bir eşitsizliğin tarafları negatif bir sayı ile çarpıldığında eşitsizlik yön değiştirir.

\( x^2 + 14x + 49 \le 0 \)

İkinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayıralım.

\( (x + 7)^2 \le 0 \)

Pozitif başkatsayılı ve tek bir (çift katlı) reel kökü olan ikinci dereceden bir ifade kök değerinde sıfır, kökün dışındaki aralıkta pozitif olur.

Verilen eşitsizlikte \( \le \) sembolü kullanıldığı için ikinci dereceden ifadenin negatif ya da sıfır olduğu aralıklar eşitsizliğin çözüm kümesi olur.

Çözüm kümesi: \( x \in \{-7\} \)

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 4:

Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulunuz.

(a) \( \dfrac{3x^2 + 13x}{2} \lt 5 \)

(b) \( 6x^2 \gt 7x + 3 \)

(d) \( \dfrac{-3x^2 + 10x}{-8} \gt 1 \)

Çözümü Göster

(a) eşitsizliği:

\( \dfrac{3x^2 + 13x}{2} \lt 5 \)

Eşitsizliğin taraflarını 2 ile çarpalım.

\( 3x^2 + 13x \lt 10 \)

\( 3x^2 + 13x - 10 \lt 0 \)

İkinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayıralım.

\( (3x - 2)(x + 5) \lt 0 \)

Pozitif başkatsayılı ve birbirinden farklı iki reel kökü olan ikinci dereceden bir ifade kök değerlerinde sıfır, köklerin arasındaki aralıkta negatif, dışındaki aralıkta pozitif olur.

Verilen eşitsizlikte \( \lt \) sembolü kullanıldığı için ikinci dereceden ifadenin negatif olduğu aralıklar eşitsizliğin çözüm kümesi olur.

Çözüm kümesi: \( x \in (-5, \frac{2}{3}) \)

(b) eşitsizliği:

\( 6x^2 \gt 7x + 3 \)

\( 6x^2 - 7x - 3 \gt 0 \)

İkinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayıralım.

\( (3x + 1)(2x - 3) \gt 0 \)

Pozitif başkatsayılı ve birbirinden farklı iki reel kökü olan ikinci dereceden bir ifade kök değerlerinde sıfır, köklerin arasındaki aralıkta negatif, dışındaki aralıkta pozitif olur.

Verilen eşitsizlikte \( \gt \) sembolü kullanıldığı için ikinci dereceden ifadenin pozitif olduğu aralıklar eşitsizliğin çözüm kümesi olur.

Çözüm kümesi: \( x \in (-\infty, -\frac{1}{3}) \cup (\frac{3}{2}, +\infty) \)

(c) eşitsizliği:

\( -4x^2 + 3x \gt -1 \)

\( -4x^2 + 3x + 1 \gt 0 \)

İkinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayıralım.

\( -(4x + 1)(x - 1) \gt 0 \)

Negatif başkatsayılı ve birbirinden farklı iki reel kökü olan ikinci dereceden bir ifade kök değerlerinde sıfır, köklerin arasındaki aralıkta pozitif, dışındaki aralıkta negatif olur.

Verilen eşitsizlikte \( \gt \) sembolü kullanıldığı için ikinci dereceden ifadenin pozitif olduğu aralıklar eşitsizliğin çözüm kümesi olur.

Çözüm kümesi: \( x \in (-\frac{1}{4}, 1) \)

(d) eşitsizliği:

\( \dfrac{-3x^2 + 10x}{-8} \gt 1 \)

Eşitsizliğin taraflarını \( -8 \) ile çarpalım. Bir eşitsizliğin tarafları negatif bir sayı ile çarpıldığında eşitsizliklik yön değiştirir.

\( -3x^2 + 10x \lt -8 \)

\( -3x^2 + 10x + 8 \lt 0 \)

İkinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayıralım.

\( -(3x + 2)(x - 4) \lt 0 \)

Negatif başkatsayılı ve birbirinden farklı iki reel kökü olan ikinci dereceden bir ifade kök değerlerinde sıfır, köklerin arasındaki aralıkta pozitif, dışındaki aralıkta negatif olur.

Verilen eşitsizlikte \( \lt \) sembolü kullanıldığı için ikinci dereceden ifadenin negatif olduğu aralıklar eşitsizliğin çözüm kümesi olur.

Çözüm kümesi: \( x \in (-\infty, -\frac{2}{3}) \cup (4, +\infty) \)

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 5:

Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulunuz.

(a) \( \dfrac{7x^2}{2} \gt \dfrac{-6x - 2}{3} \)

(b) \( -8x^2 \ge -5x + 2 \)

(d) \( -2x^2 \gt -3x + 7 \)

Çözümü Göster

(a) eşitsizliği:

\( \dfrac{7x^2}{2} \gt \dfrac{-6x - 2}{3} \)

Eşitsizliğin taraflarını 6 ile çarpalım.

\( 21x^2 \gt -12x - 4 \)

\( 21x^2 + 12x + 4 \gt 0 \)

\( \Delta = 12^2 - 4 \cdot 21 \cdot 4 = -192 \lt 0 \)

İkinci dereceden ifadenin deltası negatif olduğu için reel kökü yoktur ve ifade çarpanlarına ayrılmaz.

Pozitif başkatsayılı ve deltası sıfırdan küçük olan ikinci dereceden bir ifade tüm reel sayılarda pozitif olur.

Verilen eşitsizlikte \( \gt \) sembolü kullanıldığı için ikinci dereceden ifadenin pozitif olduğu aralıklar eşitsizliğin çözüm kümesi olur.

Çözüm kümesi: \( x \in \mathbb{R} \)

(b) eşitsizliği:

\( -8x^2 \ge -5x + 2 \)

\( -8x^2 + 5x - 2 \ge 0 \)

\( \Delta = 5^2 - 4 \cdot (-8) \cdot (-2) = -39 \lt 0 \)

İkinci dereceden ifadenin deltası negatif olduğu için reel kökü yoktur ve ifade çarpanlarına ayrılmaz.

Negatif başkatsayılı ve deltası sıfırdan küçük olan ikinci dereceden bir ifade tüm reel sayılarda negatif olur.

Verilen eşitsizlikte \( \ge \) sembolü kullanıldığı için ikinci dereceden ifadenin pozitif ya da sıfır olduğu aralıklar eşitsizliğin çözüm kümesi olur, ancak ifadenin pozitif ya da sıfır olduğu bir aralık yoktur.

Çözüm kümesi: \( x \in \emptyset \)

(c) eşitsizliği:

\( \dfrac{4x^2 - 20x}{5} \le -5 \)

Eşitsizliğin taraflarını 5 ile çarpalım.

\( 4x^2 - 20x \le -25 \)

\( 4x^2 - 20x + 25 \le 0 \)

İkinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayıralım.

\( (2x - 5)^2 \le 0 \)

Pozitif başkatsayılı ve tek bir (çift katlı) reel kökü olan ikinci dereceden bir ifade kök değerinde sıfır, kökün dışındaki aralıkta pozitif olur.

Verilen eşitsizlikte \( \le \) sembolü kullanıldığı için ikinci dereceden ifadenin negatif ya da sıfır olduğu aralıklar eşitsizliğin çözüm kümesi olur.

Çözüm kümesi: \( x \in \{\frac{5}{2}\} \)

(d) eşitsizliği:

\( -2x^2 \gt -3x + 7 \)

\( -2x^2 + 3x - 7 \gt 0 \)

\( \Delta = 3^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-7) = -47 \lt 0 \)

İkinci dereceden ifadenin deltası negatif olduğu için reel kökü yoktur ve ifade çarpanlarına ayrılmaz.

Negatif başkatsayılı ve deltası sıfırdan küçük olan ikinci dereceden bir ifade tüm reel sayılarda negatif olur.

Verilen eşitsizlikte \( \gt \) sembolü kullanıldığı için ikinci dereceden ifadenin pozitif olduğu aralıklar eşitsizliğin çözüm kümesi olur, ancak ifadenin pozitif olduğu bir aralık yoktur.

Çözüm kümesi: \( x \in \emptyset \)

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 6:

Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulunuz.

(a) \( 2x^2 - 7x \ge 30 \)

(b) \( 8x - 21 \le -5x^2 \)

(d) \( 3x(-3x + 4) \lt 4 \)

Çözümü Göster

(a) eşitsizliği:

\( 2x^2 - 7x \ge 30 \)

\( 2x^2 - 7x - 30 \ge 0 \)

İkinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayıralım.

\( (2x + 5)(x - 6) \ge 0 \)

Pozitif başkatsayılı ve birbirinden farklı iki reel kökü olan ikinci dereceden bir ifade kök değerlerinde sıfır, köklerin arasındaki aralıkta negatif, dışındaki aralıkta pozitif olur.

Verilen eşitsizlikte \( \ge \) sembolü kullanıldığı için ikinci dereceden ifadenin pozitif ya da sıfır olduğu aralıklar eşitsizliğin çözüm kümesi olur.

Çözüm kümesi: \( x \in (-\infty, -\frac{5}{2}] \cup [6, +\infty) \)

(b) eşitsizliği:

\( 8x - 21 \le -5x^2 \)

\( 5x^2 + 8x - 21 \le 0 \)

İkinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayıralım.

\( (5x - 7)(x + 3) \le 0 \)

Pozitif başkatsayılı ve birbirinden farklı iki reel kökü olan ikinci dereceden bir ifade kök değerlerinde sıfır, köklerin arasındaki aralıkta negatif, dışındaki aralıkta pozitif olur.

Verilen eşitsizlikte \( \le \) sembolü kullanıldığı için ikinci dereceden ifadenin negatif ya da sıfır olduğu aralıklar eşitsizliğin çözüm kümesi olur.

Çözüm kümesi: \( x \in [-3, \frac{7}{5}] \)

(c) eşitsizliği:

\( 4x^2 + 28x + 45 \gt 0 \)

İkinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayıralım.

\( (2x + 9)(2x + 5) \gt 0 \)

Pozitif başkatsayılı ve birbirinden farklı iki reel kökü olan ikinci dereceden bir ifade kök değerlerinde sıfır, köklerin arasındaki aralıkta negatif, dışındaki aralıkta pozitif olur.

Verilen eşitsizlikte \( \gt \) sembolü kullanıldığı için ikinci dereceden ifadenin pozitif olduğu aralıklar eşitsizliğin çözüm kümesi olur.

Çözüm kümesi: \( x \in (-\infty, -\frac{9}{2}) \cup (-\frac{5}{2}, +\infty) \)

(d) eşitsizliği:

\( 3x(-3x + 4) \lt 4 \)

\( -9x^2 + 12x - 4 \lt 0 \)

İkinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayıralım.

\( -(3x - 2)^2 \lt 0 \)

Negatif başkatsayılı ve tek bir (çift katlı) reel kökü olan ikinci dereceden bir ifade kök değerinde sıfır, kökün dışındaki aralıkta negatif olur.

Verilen eşitsizlikte \( \lt \) sembolü kullanıldığı için ikinci dereceden ifadenin negatif olduğu aralıklar eşitsizliğin çözüm kümesi olur.

Çözüm kümesi: \( x \in \mathbb{R} - \{\frac{2}{3}\} \)

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 7:

Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulunuz.

(a) \( (1 - x)(x + 8) \ge 0 \)

(b) \( (2x + 5)(3x - 7) \lt 0 \)

(d) \( (6 - 2x)(9 - x) \lt 0 \)

Çözümü Göster

SORU 8:

Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulunuz.

(a) \( (2x + 5)(3x - 2) \ge x + 6 \)

(b) \( (3x + 4)^2 - 5x \gt 2x + 5 \)

(d) \( (2x - 3)(x - 4) \gt (x + 5)(x - 6) \)

Çözümü Göster

(a) eşitsizliği:

\( (2x + 5)(3x - 2) \ge x + 6 \)

\( 6x^2 + 11x - 10 \ge x + 6 \)

\( 6x^2 + 10x - 16 \ge 0 \)

Eşitsizliğin taraflarını 2'ye bölelim.

\( 3x^2 + 5x - 8 \ge 0 \)

İkinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayıralım.

\( (3x + 8)(x - 1) \ge 0 \)

Pozitif başkatsayılı ve birbirinden farklı iki reel kökü olan ikinci dereceden bir ifade kök değerlerinde sıfır, köklerin arasındaki aralıkta negatif, dışındaki aralıkta pozitif olur.

Verilen eşitsizlikte \( \ge \) sembolü kullanıldığı için ikinci dereceden ifadenin pozitif ya da sıfır olduğu aralıklar eşitsizliğin çözüm kümesi olur.

Çözüm kümesi: \( x \in (-\infty, -\frac{8}{3}] \cup [1, +\infty) \)

(b) eşitsizliği:

\( (3x + 4)^2 - 5x \gt 2x + 5 \)

\( 9x^2 + 24x + 16 - 5x \gt 2x + 5 \)

\( 9x^2 + 17x + 11 \gt 0 \)

\( \Delta = 17^2 - 4 \cdot 9 \cdot 11 = -107 \lt 0 \)

İkinci dereceden ifadenin deltası negatif olduğu için reel kökü yoktur ve ifade çarpanlarına ayrılmaz.

Pozitif başkatsayılı ve deltası sıfırdan küçük olan ikinci dereceden bir ifade tüm reel sayılarda pozitif olur.

Verilen eşitsizlikte \( \gt \) sembolü kullanıldığı için ikinci dereceden ifadenin pozitif olduğu aralıklar eşitsizliğin çözüm kümesi olur.

Çözüm kümesi: \( x \in \mathbb{R} \)

(c) eşitsizliği:

\( (2x - 9)^2 - 45 \le x(7x - 3) \)

\( 4x^2 - 36x + 81 - 45 \le 7x^2 - 3x \)

\( -3x^2 - 33x + 36 \le 0 \)

Eşitsizliğin taraflarını 3'e bölelim.

\( -x^2 - 11x + 12 \le 0 \)

İkinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayıralım.

\( -(x + 12)(x - 1) \le 0 \)

Negatif başkatsayılı ve birbirinden farklı iki reel kökü olan ikinci dereceden bir ifade kök değerlerinde sıfır, köklerin arasındaki aralıkta pozitif, dışındaki aralıkta negatif olur.

Verilen eşitsizlikte \( \le \) sembolü kullanıldığı için ikinci dereceden ifadenin negatif ya da sıfır olduğu aralıklar eşitsizliğin çözüm kümesi olur.

Çözüm kümesi: \( x \in (-\infty, -12] \cup [1, +\infty) \)

(d) eşitsizliği:

\( (2x - 3)(x - 4) \gt (x + 5)(x - 6) \)

\( 2x^2 - 11x + 12 \gt x^2 - x - 30 \)

\( x^2 - 10x + 42 \gt 0 \)

\( \Delta = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 42 = -68 \lt 0 \)

İkinci dereceden ifadenin deltası negatif olduğu için reel kökü yoktur ve ifade çarpanlarına ayrılmaz.

Pozitif başkatsayılı ve deltası sıfırdan küçük olan ikinci dereceden bir ifade tüm reel sayılarda pozitif olur.

Verilen eşitsizlikte \( \gt \) sembolü kullanıldığı için ikinci dereceden ifadenin pozitif olduğu aralıklar eşitsizliğin çözüm kümesi olur.

Çözüm kümesi: \( x \in \mathbb{R} \)

Soru sorun Soruda hata bildirin

İşaret Tablosu ile Çözüm

İkinci dereceden eşitsizliklerin çözüm kümesi bir işaret tablosu yardımıyla da bulunabilir.

Eşitsizliklerin çözümünde işaret tablosu kullanımını birkaç örnek üzerinden gösterelim.

ÖRNEK 2:

\( x^2 \lt 7x -10 \) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.

Adım 1: Tüm terimler eşitsizliğin sol tarafına alınır.

Bu işlem sonucunda eşitsizliğin sağ tarafı sıfır olur.

\( x^2 - 7x + 10 \lt 0 \)

Adım 2: İkinci dereceden ifade çarpanlarına ayrılır.

İfadeyi çarpanlarına ayırmak için çarpanlara ayırma yöntemleri ya da kök bulma formülü kullanılır.

İkinci dereceden ifadenin deltası;

Sıfırdan büyükse ifadenin iki reel kökü vardır ve ifade \( a(x - x_1)(x - x_2) \) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Sıfıra eşitse ifadenin (çift katlı) tek reel kökü vardır ve ifade \( a(x - x_1)^2 \) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Sıfırdan küçükse ifadenin reel kökü yoktur ve ifade çarpanlarına ayrılmaz.

Verilen ifadeyi çarpanlarına ayıralım.

\( (x - 2)(x - 5) \lt 0 \)

Adım 3: Her bir çarpanı sıfır yapan kritik noktalar belirlenir ve işaret tablosunda işaretlenir.

Eşitsizliğin kritik noktaları her bir çarpanı sıfır yapan \( x = 2 \) ve \( x = 5 \) değerleridir. Bu değerleri işaret tablosunda reel sayı doğrusunu üç aralığa ayıracak şekilde işaretleyelim.

Adım 4: Çarpanlar ve her aralıktaki işaretleri tabloya birer satır olarak eklenir.

\( x - 2 \) çarpanı \( x = 2 \) için sıfır, bu noktanın solunda negatif, sağında pozitif olur.

\( x - 5 \) çarpanı \( x = 5 \) için sıfır, bu noktanın solunda negatif, sağında pozitif olur.

Adım 5: İkinci dereceden ifadenin kendisi ve her aralıktaki işareti tabloya eklenir.

İkinci dereceden ifadenin her aralıktaki işareti, çarpanların ilgili aralıktaki işaretlerinin çarpımına eşittir.

\( (-\infty, 2) \) aralığında \( (-) \cdot (-) = (+) \) olduğu için ifadenin işareti pozitif olur.

\( (2, 5) \) aralığında \( (+) \cdot (-) = (-) \) olduğu için ifadenin işareti negatif olur.

\( (5, +\infty) \) aralığında \( (+) \cdot (+) = (+) \) olduğu için ifadenin işareti pozitif olur.

Ayrıca her bir çarpanı sıfır yapan kritik noktalarda ikinci dereceden ifade de sıfır olur.

Adım 6: Eşitsizliğin çözüm kümesi bulunur.

İkinci dereceden ifadenin farklı aralıklardaki işaretine ve eşitsizlik sembolüne göre çözüm kümesi bulunur.

Verilen eşitsizlikte \( \lt \) sembolü kullanıldığı için \( x^2 - 7x + 10 \) ifadesinin negatif olduğu aralık eşitsizliğin çözüm kümesi olur.

Çözüm kümesi: \( x \in (2, 5) \)

İkinci bir örnekte başkatsayısı negatif olan bir ikinci dereceden eşitsizliğin çözüm kümesini bulalım.

ÖRNEK 3:

\( -x^2 - 10 \le - 7x \) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.

Adım 1: Tüm terimler eşitsizliğin sol tarafına alınır.

\( -x^2 + 7x - 10 \le 0 \)

Adım 2: İkinci dereceden ifade çarpanlarına ayrılır.

Verilen ifadeyi çarpanlarına ayıralım.

\( -(x - 2)(x - 5) \lt 0 \)

Negatif işaretini birinci çarpanın içine alalım (işareti ikinci çarpanın içine almamız sonucu değiştirmeyecektir).

\( (2 - x)(x - 5) \lt 0 \)

Adım 3: Her bir çarpanı sıfır yapan kritik noktalar belirlenir ve işaret tablosunda işaretlenir.

Eşitsizliğin kritik noktaları her bir çarpanı sıfır yapan \( x = 2 \) ve \( x = 5 \) değerleridir.

Adım 4: Çarpanlar ve her aralıktaki işaretleri tabloya birer satır olarak eklenir.

\( 2 - x \) çarpanı \( x = 2 \) için sıfır, bu noktanın solunda pozitif, sağında negatif olur.

\( x - 5 \) çarpanı \( x = 5 \) için sıfır, bu noktanın solunda negatif, sağında pozitif olur.

Adım 5: İkinci dereceden ifadenin tümü ve her aralıktaki işareti tabloya eklenir.

İkinci dereceden ifadenin her aralıktaki işareti, çarpanların ilgili aralıktaki işaretlerinin çarpımına eşittir.

\( (-\infty, 2) \) aralığında \( (+) \cdot (-) = (-) \) olduğu için ifadenin işareti negatif olur.

\( (2, 5) \) aralığında \( (-) \cdot (-) = (+) \) olduğu için ifadenin işareti pozitif olur.

\( (5, +\infty) \) aralığında \( (-) \cdot (+) = (-) \) olduğu için ifadenin işareti negatif olur.

Ayrıca her bir çarpanı sıfır yapan kritik noktalarda ikinci dereceden ifade de sıfır olur.

Adım 6: Eşitsizliğin çözüm kümesi bulunur.

Verilen eşitsizlikte \( \le \) sembolü kullanıldığı için \( -x^2 + 7x - 10 \) ifadesinin negatif ya da sıfır olduğu aralıklar eşitsizliğin çözüm kümesi olur.

Çözüm kümesi: \( x \in (-\infty, 2] \cup [5, +\infty) \)

Üçüncü bir örnekte çift katlı kökü olan bir ikinci dereceden eşitsizliğin çözüm kümesini bulalım.

ÖRNEK 4:

\( -x^2 + 6x \lt 9 \) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.

Adım 1: Tüm terimler eşitsizliğin sol tarafına alınır.

\( -x^2 + 6x - 9 \lt 0 \)

Adım 2: İkinci dereceden ifade çarpanlarına ayrılır.

Verilen ifadeyi çarpanlarına ayıralım.

\( -(x - 3)^2 \lt 0 \)

Adım 3: Her bir çarpanı sıfır yapan kritik noktalar belirlenir ve işaret tablosunda işaretlenir.

Eşitsizliğin kritik noktası çift katlı çarpanı sıfır yapan \( x = 3 \) değeridir.

Adım 4: Çarpanlar ve her aralıktaki işaretleri tabloya birer satır olarak eklenir.

\( (x - 3)^2 \) çarpanı \( x = 3 \) için sıfır, diğer tüm reel sayılarda pozitif olur.

Adım 5: İkinci dereceden ifadenin tümü ve her aralıktaki işareti tabloya eklenir.

İfade \( x = 3 \) için sıfır, diğer tüm reel sayılarda negatif olur.

Adım 6: Eşitsizliğin çözüm kümesi bulunur.

Verilen eşitsizlikte \( \lt \) sembolü kullanıldığı için \( -x^2 + 6x - 9 \) ifadesinin negatif olduğu aralık eşitsizliğin çözüm kümesi olur.

Çözüm kümesi: \( x \in \mathbb{R} - \{3\} \)

Yukarıdaki örnekte çift katlı kök işaret tablosuna \( (x - 3)^2 \) şeklinde tek çarpan ve satır olarak değil de \( (x - 3) \) şeklinde iki çarpan ve satır olarak eklense de, tek katlı çarpanın negatif olduğu aralıkta iki negatif değerin çarpımı pozitif olacağı için sonuç değişmeyecektir.

SORU 9:

\( k \in \mathbb{R} \) olmak üzere,

\( (k + 3)x^2 + (2k + 1)x + k \gt 0 \)

eşitsizliği daima sağlandığına göre, \( k \)'nın değer aralığını bulunuz.