Bu bölümde birinci mertebeden adi diferansiyel denklemlerin çözüm yöntemlerini inceleyeceğiz.
Diferansiyel denklemlerin sınıflandırması bölümünde incelediğimiz üzere, birinci mertebeden bir ADD lineer ya da lineer olmayan bir denklem olabilir.
Lineer ADD:
\( \dfrac{dy}{dx} - 2\dfrac{dy}{dx} = e^x \)
Lineer olmayan ADD:
\( \dfrac{dy}{dx} = y^2 \)
Bu bölümde kullanacağımız kavramlardan biri olan toplam diferansiyel kavramını iki değişkenli bir fonksiyon için kısaca tanımlayalım.
İki değişkenli ve sürekli bir \( z = f(x, y) \) fonksiyonu tanımlayalım.
\( z = f(x, y) \)
Bağımsız \( x \) ve \( y \) değişkenleri sonsuz küçüklükte \( dx \) ve \( dy \) kadar değişim gösterdiğinde \( z \) değişkeninde oluşan yaklaşık değişime \( z \) değişkeninin toplam diferansiyeli denir ve \( dz \) ile gösterilir.
\( dz = \dfrac{df}{dx}\ dx + \dfrac{df}{dy}\ dy \)
\( dz = f_x\ dx + f_y\ dy \)
Bu eşitlikte \( \frac{df}{dx} = f_x \) ve \( \frac{df}{dy} = f_y \) ifadeleri \( f \) fonksiyonunun \( x \) ve \( y \) değişkenlerine göre kısmı türevlerini, \( dx \) ve \( dy \) ise bu değişkenlerdeki sonsuz küçüklükteki değişimleri ifade eder.
\( f(x, y) = 2x^2y - xy^3 \)
fonksiyonunun toplam diferansiyelini bulalım.
Fonksiyonun bağımsız değişkenlere göre kısmı türevlerini bulalım.
\( f_x(x, y) = 4xy - y^3 \)
\( f_y(x, y) = 2x^2 - 3xy^2 \)
\( df = (4xy - y^3)\ dx + (2x^2 - 3xy^2)\ dy \)