Kuvvet Serisi Çözümleri
Aşağıdaki formdaki sonsuz terimli polinomlara kuvvet serisi denir.
\( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {a_n(x - x_0)^n} \)
\( = a_0 + a_1(x - x_0) + a_2(x - x_0)^2 + a_3(x - x_0)^3 + \ldots \)
Bu tanımdaki \( x \) serinin değişkeni, \( a_n \) ifadeleri serinin katsayıları, \( x_0 \) ise serinin merkezidir.
Merkezi \( x_0 \) noktası olan bir kuvvet serisinin terimlerinin toplamı, \( n \) sonsuza giderken bu nokta civarındaki bir aralıkta bir reel sayı değere yaklaşıyorsa seri bu aralıkta yakınsaktır. Serinin yakınsak olduğu bu aralığa yakınsaklık aralığı denir.
Analitik Fonksiyonlar
Bir fonksiyon \( x_0 \) noktası civarındaki bir aralıkta yakınsak olan bir kuvvet serisi şeklinde ifade edilebiliyorsa fonksiyon bu noktada analitiktir.
Belirli bir aralıktaki tüm noktalarda bu özelliğe sahip olan bir fonksiyon bu aralıkta analitiktir. Tüm reel sayılarda analitik olan fonksiyonlara analitik fonksiyon denir.
Aşağıda bazı analitik fonksiyonlar ve kuvvet serisi karşılıkları verilmiştir.
| Fonksiyon | Kuvvet Serisi | Kuvvet Serisi Açılımı |
|---|---|---|
| \( e^x \) | \( \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\dfrac{x^n}{n!}} \) | \( = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \ldots \) |
| \( \cos{x} \) | \( \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\dfrac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}} \) | \( = 1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} - \dfrac{x^6}{6!} + \ldots \) |
| \( \sin{x} \) | \( \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {\dfrac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n + 1)!}} \) | \( = x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \dfrac{x^7}{7!} + \ldots \) |
Polinom fonksiyonları sonlu sayıda terimden oluşan kuvvet serileri olduğu için her \( x \) için yakınsaktır ve kuvvet serisi gösterimleri fonksiyonun kendisidir, dolayısıyla bu fonksiyonlar tüm reel sayılarda analitiktir.
İki polinomun oranından oluşan rasyonel fonksiyonlar paydalarındaki polinomu sıfır yapan \( x \) noktaları hariç tüm reel sayılarda analitiktir.
Bir fonksiyonun analitik olduğu noktalara adi nokta, analitik olmadığı noktalara ise tekil nokta denir.
Diferansiyel Denklemlerin Kuvvet Serisi Çözümü
Bir diferansiyel denklemin \( a_i(x) \) şeklindeki katsayılarının tümü belirli bir \( x_0 \) noktasında analitik ise bu denklemin çözümü olan \( y(x) \) fonksiyonu da bu noktada analitiktir ve aşağıdaki formdaki kuvvet serisi denklemin çözümü olarak kabul edilebilir. Bu yaklaşımda problem \( y \) çözümünün kendisi yerine, çözümün kuvvet serisi gösteriminin katsayılarını bulma problemine dönüşür.
\( y = \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {a_n(x - x_0)^n} \)
Eğer \( a_i(x) \) fonksiyonlarının tümü \( x_0 = 0 \) noktasında analitik ise en basit seçenek olarak serinin merkezi \( x_0 = 0 \) olarak seçilebilir.
Kuvvet serisi çözümü tüm homojen lineer ADD'lere uygulanabilir. Yöntemin homojen olmayan lineer ADD'lere uygulanabilmesi için eşitliğin sağ tarafındaki \( f(x) \) fonksiyonu da analitik olmalıdır.
Bir kuvvet serisi çözümünün birinci, ikinci ve üçüncü türevleri aşağıdaki şekilde bulunur. Daha yüksek mertebeden türevler de aşağıda verilen ispattaki yöntem kullanılarak bulunabilir.
\( y' = \displaystyle\sum_{n=1}^\infty {na_nx^{n-1}} \)
\( y'' = \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {n(n - 1)a_nx^{n-2}} \)
\( y''' = \displaystyle\sum_{n=3}^\infty {n(n - 1)(n - 2)a_nx^{n-3}} \)
İSPATI GÖSTER
1. TÜREV:
\( y' \) ifadesi, yukarıda tanımladığımız \( y \) ifadesinin türevine eşittir.
\( y' = (y)' \)
\( = \left( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {a_nx^n} \right)' \)
\( = (a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \ldots + a_kx^k + \ldots)' \)
Türev işlem kurallarına göre, terimlerin toplamının türevi türevlerinin toplamına eşittir.
\( = (a_0)' + (a_1x)' + (a_2x^2)' + (a_3x^3)' + \ldots + (a_kx^k)' + \ldots \)
Her terimin türevini alalım.
\( = 0 + a_1 + 2a_2x + 3a_3x^2 + \ldots + ka_kx^{k-1} + \ldots \)
Bu açılımı toplam sembolü ile aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( = \displaystyle\sum_{n=1}^\infty {na_nx^{n-1}} \)
2. TÜREV:
\( y'' \) ifadesi, yukarıda tanımladığımız \( y' \) ifadesinin türevine eşittir.
\( y'' = (y')' \)
\( = \left( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty {na_nx^{n-1}} \right)' \)
\( = (a_1 + 2a_2x + 3a_3x^2 + 4a_4x^3 + \ldots + ka_kx^{k-1} + \ldots)' \)
Türev işlem kurallarına göre, terimlerin toplamının türevi türevlerinin toplamına eşittir.
\( = (a_1)' + (2a_2x)' + (3a_3x^2)' + (4a_4x^3)' + \ldots + (ka_kx^{k-1})' + \ldots \)
Her terimin türevini alalım.
\( = 0 + 2a_2 + 6a_3x + 12a_4x^2 + \ldots + k(k - 1)a_kx^{k-2} + \ldots \)
Bu açılımı toplam sembolü ile aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( = \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {n(n - 1)a_nx^{n-2}} \)
3. TÜREV:
\( y''' \) ifadesi, yukarıda tanımladığımız \( y'' \) ifadesinin türevine eşittir.
\( y''' = (y'')' \)
\( = \left( \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {n(n - 1)a_nx^{n-2}} \right)' \)
\( = (2a_2 + 6a_3x + 12a_4x^2 + 20a_5x^3 + \ldots + k(k - 1)a_kx^{k-2} + \ldots)' \)
Türev işlem kurallarına göre, terimlerin toplamının türevi türevlerinin toplamına eşittir.
\( = (2a_2)' + (6a_3x)' + (12a_4x^2)' + (20a_5x^3)' + \ldots + (k(k - 1)a_kx^{k-2})' + \ldots \)
Her terimin türevini alalım.
\( = 0 + 6a_3 + 24a_4x + 60a_5x^2 + \ldots + k(k - 1)(k - 2)a_kx^{k-3} + \ldots \)
Bu açılımı toplam sembolü ile aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( = \displaystyle\sum_{n=3}^\infty {n(n - 1)(n - 1)a_nx^{n-3}} \)
Kuvvet serisi çözümü bir diferansiyel denkleme aşağıdaki adımlar takip edilerek uygulanır.
Adım 1: Denklemin formu
Kuvvet serisi çözümü herhangi bir mertebeden lineer ADD'lere uygulanabilir.
Denklem, tüm katsayılar birer polinom olacak şekilde aşağıdaki formda yazılır.
\( a_2(x)y'' + a_1(x)y' + a_0(x)y = 0 \)
Adım 2: Kuvvet serisi çözümü ve türevleri
Denklemin aşağıdaki şekilde bir kuvvet serisi çözümü olduğu varsayılır.
\( y = \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {a_n(x - x_0)^n} \)
\( a_2(x_0) \ne 0 \) olacak şekilde bir \( x_0 \) değeri seçilir. İşlem kolaylığı açısından bu değer \( x_0 = 0 \) olarak seçilebilir.
Problemde belirli bir \( x = a \) noktasındaki başlangıç değerleri verildiyse, \( a_2(x_0) \ne 0 \) olmak koşuluyla \( x_0 = a \) olarak seçilir.
Varsayılan kuvvet serisi çözümünün denklemin mertebesi kadar türevi alınır ve denklemde yerine konur.
Adım 3: Denklemin düzenlenmesi
Denklem aşağıdaki şekilde düzenlenir.
- Tüm sabit ve değişken katsayılar toplam sembollerinin içine alınır. Katsayılardan biri parantez içinde birden fazla terimden oluşuyorsa toplam işlemi parantez içindeki terimlere dağıtılır.
- Tüm toplam işlemlerindeki indis değerleri \( x \)'lerin üsleri eşit olacak şekilde düzenlenir.
- Tüm toplam işlemlerinin indisleri aynı değerden başlayacak şekilde eşitlenir ve fazla terimler toplam işleminin dışına alınır.
Bu düzenlemeler sonrasında tüm toplam işlemleri tek bir işlemde birleştirilir.
Adım 4: Katsayıların bulunması
Toplam işlemi içindeki tüm terimler \( x \) parantezine alınır.
Bir kuvvet serisi sıfıra eşitse tüm \( x \) terimlerinin katsayıları sıfıra eşittir.
Elde edilen \( a_i \) ifadelerinden oluşan katsayılarda en yüksek \( i \) değerli katsayılar yalnız bırakılır.
Bu işlem sonrasında bir katsayının kendisinden daha küçük indis değerli katsayı ya da katsayılar cinsinden ifade edildiği formüller elde edilir.
Bu formüller arasındaki örüntüler çözülerek tüm katsayılar serinin ilk birkaç katsayısı cinsinden yazılır.
Adım 5: Genel çözümün bulunması
Serinin tüm katsayıları yerine ilk birkaç katsayısı cinsinden karşılıkları yazıldığında elde edilen kuvvet serisi denklemin genel çözümü olur.
Adım 6: Başlangıç koşulları
Denklem için başlangıç koşulları verildiyse genel çözümde yerine konarak keyfi sabitler ve denklemin özel çözümü bulunur.
Diferansiyel denklemlerin kuvvet serileri ile çözümünde en zor denebilecek adım, katsayılar arasındaki ilişkilerdeki örüntüleri keşfedip bu ilişkileri formüle dönüştürebilmektir. Bu adımda kullanılabilecek birkaç strateji aşağıdaki gibidir.
- Bir tablo oluşturup serinin ilk birkaç terimi hesaplanmalıdır.
- Örüntünün serinin ardışık terimleri arasında değil, indis değeri arasındaki fark 2 ya da 3 olan terimleri arasında farklı şekillerde oluşabileceği unutulmamalıdır.
- \( n + 1 \) gibi \( n \) değişkenine bağlı çarpanlar nihai formülde genellikle faktöriyel işlemine dönüşür.
- \( 2 \) gibi sabit çarpanlar nihai formülde genellikle \( 2^n \) şeklinde üs işlemine dönüşür.
Kuvvet serisi çözümünü bir örnek üzerinde gösterelim.
\( y' - 2y = 0 \)
denkleminin genel çözümünü bulalım.
Verilen denklemin katsayıları sabit olduğu için her biri tüm reel sayılarda analitiktir, dolayısıyla denklemin aşağıdaki formda bir kuvvet serisi çözümü olduğunu varsayabiliriz.
\( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {a_n(x - x_0)^n} \)
Çözümün analitik olduğu noktalar arasından \( x_0 = 0 \) seçerek çözümü aşağıdaki şekilde belirleyelim.
\( y = \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {a_nx^n} \)
Çözümün birinci türevini alalım.
\( y' = \displaystyle\sum_{n=1}^\infty {na_nx^{n-1}} \)
Çözümü ve türevini denklemde yerine koyalım.
\( y' - 2y = 0 \)
\( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty {na_nx^{n-1}} - 2\displaystyle\sum_{n=0}^\infty {a_nx^n} = 0 \)
Toplam işlemi dışındaki katsayıları içeri alalım.
\( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty {na_nx^{n-1}} - \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {2a_nx^n} = 0 \)
Toplam işlemlerinde \( x \)'lerin üssünü eşitlemek için birinci işlemin indislerini düzenleyelim.
\( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {(n + 1)a_{n+1}x^n} - \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {2a_nx^n} = 0 \)
Toplam işlemlerinin tümünde \( x \)'lerin üsleri ve başlangıç indis değerleri eşit olduğu için işlemleri birleştirebiliriz.
\( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty [(n + 1)a_{n+1}x^n - 2a_nx^n] = 0 \)
Toplam işlemi içindeki terimleri \( x^n \) ve ortak katsayı parantezine alalım.
\( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {[(n + 1)a_{n+1} - 2a_n]x^n} = 0 \)
Bir kuvvet serisi sıfıra eşitse her \( x^n \) teriminin katsayısı ayrı ayrı sıfıra eşittir.
\( n \ge 0 \) olmak üzere,
\( (n + 1)a_{n+1} - 2a_n = 0 \)
\( a_{n+1} = \dfrac{2a_n}{n + 1} \)
Bu formülü kullanarak ilk birkaç \( n \) değeri için \( a_n \) değerlerini hesaplayalım (ikinci sütun) ve bu değerleri yazabildiğimiz en küçük indis değerli katsayılar cinsinden ifade edelim.
| \( n = 0 \) | \( a_1 = \dfrac{2a_0}{1} = 2a_0 \) | \( = \dfrac{2^1a_0}{1!} \) |
| \( n = 1 \) | \( a_2 = \dfrac{2a_1}{2} = \dfrac{2(2a_0)}{2} = 2a_0 \) | \( = \dfrac{2^2a_0}{2!} \) |
| \( n = 2 \) | \( a_3 = \dfrac{2a_2}{3} = \dfrac{2(2a_0)}{3} = \dfrac{4a_0}{3} \) | \( = \dfrac{2^3a_0}{3!} \) |
| \( n = 3 \) | \( a_4 = \dfrac{2a_3}{4} = \dfrac{2(\frac{4a_0}{3})}{4} = \dfrac{2a_0}{3} \) | \( = \dfrac{2^4a_0}{4!} \) |
| \( n = 4 \) | \( a_5 = \dfrac{2a_4}{5} = \dfrac{2(\frac{2a_0}{3})}{5} = \dfrac{4a_0}{15} \) | \( = \dfrac{2^5a_0}{5!} \) |
İkinci sütundaki \( a_n \) değerlerini bir örüntü şeklinde üçüncü sütundaki şekilde ifade edebiliriz.
Bu örüntüyü farklı \( n \) değerleri için aşağıdaki şekilde bir formüle çevirebiliriz.
\( n \ge 1 \) olmak üzere,
\( a_n = \dfrac{2^na_0}{n!} \)
Bu durumda denklemin kuvvet serisi çözümü aşağıdaki şekilde olur.
\( y = \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {a_nx^n} \)
\( = \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {\dfrac{2^na_0}{n!}x^n} \)
İfadeyi düzenleyelim.
\( = a_0\displaystyle\sum_{n=0}^\infty {\dfrac{2^nx^n}{n!}} \)
\( = a_0\displaystyle\sum_{n=0}^\infty {\dfrac{(2x)^n}{n!}} \)
Bu toplam işlemi \( e^{2x} \) ifadesinin kuvvet serisi açılımıdır.
\( = a_0e^{2x} \)
Kuvvet serisi çözümünü diğer bir örnek üzerinde gösterelim.
\( 2y'' + xy' + y = 0 \)
denkleminin genel çözümünü bulalım.
Verilen denklemin katsayıları birer polinom olduğu için her biri tüm reel sayılarda analitiktir, dolayısıyla denklemin aşağıdaki formda bir kuvvet serisi çözümü olduğunu varsayabiliriz.
\( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {a_n(x - x_0)^n} \)
Çözümün analitik olduğu noktalar arasından \( x_0 = 0 \) seçerek çözümü aşağıdaki şekilde belirleyelim.
\( y = \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {a_nx^n} \)
Çözümün birinci ve ikinci türevlerini alalım.
\( y' = \displaystyle\sum_{n=1}^\infty {na_nx^{n-1}} \)
\( y'' = \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {n(n - 1)a_nx^{n-2}} \)
Çözümü ve türevlerini denklemde yerine koyalım.
\( 2y'' + xy' + y = 0 \)
\( 2\displaystyle\sum_{n=2}^\infty {n(n - 1)a_nx^{n-2}} + x\displaystyle\sum_{n=1}^\infty {na_nx^{n-1}} + \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {a_nx^n} = 0 \)
Toplam işlemi dışındaki katsayıları içeri alalım.
\( \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {2n(n - 1)a_nx^{n-2}} + \displaystyle\sum_{n=1}^\infty {na_nx^n} + \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {a_nx^n} = 0 \)
Toplam işlemlerinde \( x \)'lerin üssünü eşitlemek için birinci işlemin indislerini düzenleyelim.
\( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {2(n + 2)(n + 1)a_{n+2}x^n} + \displaystyle\sum_{n=1}^\infty {na_nx^n} + \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {a_nx^n} = 0 \)
Tüm toplam işlemlerinde başlangıç indis değerlerini eşitlemek için birinci ve üçüncü işlemde fazla terimleri işlemin dışına alalım ve tüm indisleri 1 yapalım.
\( [4a_2x^0 + \displaystyle\sum_{n=1}^\infty {2(n + 2)(n + 1)a_{n+2}x^n}] + \displaystyle\sum_{n=1}^\infty {na_nx^n} + [a_0x^0 + \displaystyle\sum_{n=1}^\infty {a_nx^n}] = 0 \)
Toplam işlemlerinin dışına aldığımız terimleri \( x \) üssüne göre ortak paranteze alalım.
\( (a_0 + 4a_2)x^0 + \displaystyle\sum_{n=1}^\infty {2(n + 2)(n + 1)a_{n+2}x^n} + \displaystyle\sum_{n=1}^\infty {na_nx^n} + \displaystyle\sum_{n=1}^\infty {a_nx^n} = 0 \)
Toplam işlemlerinin tümünde \( x \)'lerin üsleri ve başlangıç indis değerleri eşit olduğu için işlemleri birleştirebiliriz.
\( (a_0 + 4a_2)x^0 + \displaystyle\sum_{n=1}^\infty [2(n + 2)(n + 1)a_{n+2}x^n + na_nx^n + a_nx^n] = 0 \)
Toplam işlemi içindeki terimleri \( x^n \) ve ortak katsayı parantezine alalım.
\( (a_0 + 4a_2)x^0 + \displaystyle\sum_{n=1}^\infty {[(2(n + 2)(n + 1)a_{n+2} + (n + 1)a_n]x^n} = 0 \)
Bir kuvvet serisi sıfıra eşitse her \( x^n \) teriminin katsayısı ayrı ayrı sıfıra eşittir.
\( x^0 \) teriminin katsayısı sıfıra eşittir.
\( a_0 + 4a_2 = 0 \)
\( a_2 = -\dfrac{a_0}{4} \)
\( n \ge 1 \) olmak üzere, \( x^n \) terimlerinin katsayısı sıfıra eşittir.
\( 2(n + 2)(n + 1)a_{n+2} + (n + 1)a_n = 0 \)
\( a_{n+2} = -\dfrac{a_n}{2(n + 2)} \)
Bu formülü kullanarak ilk birkaç \( n \) değeri için \( a_n \) değerlerini hesaplayalım (ikinci sütun) ve bu değerleri yazabildiğimiz en küçük indis değerli katsayılar cinsinden ifade edelim.
| \( \) | \( a_2 = -\dfrac{a_0}{4} \) | \( = -\dfrac{a_0}{2^2[1]} \) |
| \( n = 1 \) | \( a_3 = -\dfrac{a_1}{2 \cdot 3} = -\dfrac{a_1}{6} \) | \( = -\dfrac{a_1}{2^1[1 \cdot 3]} \) |
| \( n = 2 \) | \( a_4 = -\dfrac{a_2}{2 \cdot 4} = -\dfrac{-\frac{a_0}{4}}{8} = \dfrac{a_0}{32} \) | \( = \dfrac{a_0}{2^4[1 \cdot 2]} \) |
| \( n = 3 \) | \( a_5 = -\dfrac{a_3}{2 \cdot 5} = -\dfrac{-\frac{a_1}{6}}{10} = \dfrac{a_1}{60} \) | \( = \dfrac{a_1}{2^2[1 \cdot 3 \cdot 5]} \) |
| \( n = 4 \) | \( a_6 = -\dfrac{a_4}{2 \cdot 6} = -\dfrac{\frac{a_0}{32}}{12} = -\dfrac{a_0}{384} \) | \( = -\dfrac{a_0}{2^6[1 \cdot 2 \cdot 3]} \) |
| \( n = 5 \) | \( a_7 = -\dfrac{a_5}{2 \cdot 7} = -\dfrac{\frac{a_1}{60}}{14} = -\dfrac{a_1}{840} \) | \( = -\dfrac{a_1}{2^3[1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7]} \) |
| \( n = 6 \) | \( a_8 = -\dfrac{a_6}{2 \cdot 8} = -\dfrac{-\frac{a_0}{384}}{16} = \dfrac{a_0}{6144} \) | \( = \dfrac{a_0}{2^8[1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4]} \) |
İkinci sütundaki \( a_n \) değerlerini bir örüntü şeklinde üçüncü sütundaki şekilde ifade edebiliriz.
Bu örüntüyü tek ve çift \( n \) değerleri için ayrı ayrı aşağıdaki şekilde bir formüle çevirebiliriz.
\( n \ge 1 \) olmak üzere,
\( a_{2n} = \dfrac{(-1)^na_0}{2^{2n}n!} \)
\( a_{2n+1} = \dfrac{(-1)^na_1}{2^n[1 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (2n + 1)]} \)
Bu durumda denklemin kuvvet serisi çözümü, her biri tek ve çift indisli terimleri temsil etmek üzere, aşağıdaki iki serinin toplamından oluşur.
\( y = \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {a_{2n}x^{2n}} + \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {a_{2n+1}x^{2n+1}} \)
\( = \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {\dfrac{(-1)^na_0}{2^{2n}n!}x^{2n}} + \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {\dfrac{(-1)^na_1}{2^n[1 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (2n + 1)]}x^{2n+1}} \)
İfadeyi düzenleyelim.
\( = a_0\displaystyle\sum_{n=0}^\infty {\dfrac{(-1)^n}{2^{2n}n!}x^{2n}} + a_1\displaystyle\sum_{n=0}^\infty {\dfrac{(-1)^n}{2^n[1 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (2n + 1)]}x^{2n+1}} \)
Bazı diferansiyel denklemlerin kuvvet serisi çözümlerinde katsayılar belirli bir indis değerinden sonrası sıfır olur ve çözüm sonlu terimden oluşan bir seriye dönüşür.
\( (1 + x^2)y'' - 6xy' + 12y = 0 \)
denkleminin genel çözümünü bulalım.
Verilen denklemin katsayıları birer polinom olduğu için her biri tüm reel sayılarda analitiktir, dolayısıyla denklemin aşağıdaki formda bir kuvvet serisi çözümü olduğunu varsayabiliriz.
\( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {a_n(x - x_0)^n} \)
Çözümün analitik olduğu noktalar arasından \( x_0 = 0 \) seçerek çözümü aşağıdaki şekilde belirleyelim.
\( y = \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {a_nx^n} \)
Çözümün birinci ve ikinci türevlerini alalım.
\( y' = \displaystyle\sum_{n=1}^\infty {na_nx^{n-1}} \)
\( y'' = \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {n(n - 1)a_nx^{n-2}} \)
Çözümü ve türevlerini denklemde yerine koyalım.
\( (1 + x^2)y'' - 6xy' + 12y = 0 \)
\( (1 + x^2)\displaystyle\sum_{n=2}^\infty {n(n - 1)a_nx^{n-2}} - 6x\displaystyle\sum_{n=1}^\infty {na_nx^{n-1}} + 12\displaystyle\sum_{n=0}^\infty {a_nx^n} = 0 \)
Birinci toplam işlemini \( 1 + x^2 \) parantezine dağıtalım.
\( \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {n(n - 1)a_nx^{n-2}} + x^2\displaystyle\sum_{n=2}^\infty {n(n - 1)a_nx^{n-2}} - 6x\displaystyle\sum_{n=1}^\infty {na_nx^{n-1}} + 12\displaystyle\sum_{n=0}^\infty {a_nx^n} = 0 \)
Toplam işlemi dışındaki katsayıları içeri alalım.
\( \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {n(n - 1)a_nx^{n-2}} + \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {n(n - 1)a_nx^n} - \displaystyle\sum_{n=1}^\infty {6na_nx^n} + \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {12a_nx^n} = 0 \)
Toplam işlemlerinde \( x \)'lerin üssünü eşitlemek için birinci işlemin indislerini düzenleyelim.
\( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {(n + 2)(n + 1)a_{n+2}x^n} + \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {n(n - 1)a_nx^n} - \displaystyle\sum_{n=1}^\infty {6na_nx^n} + \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {12a_nx^n} = 0 \)
Tüm toplam işlemlerinde başlangıç indis değerlerini eşitlemek için birinci, üçüncü ve dördüncü işlemde fazla terimleri işlemin dışına alalım ve tüm indisleri 2 yapalım.
\( [2a_2x^0 + 6a_3x^1 + \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {(n + 2)(n + 1)a_{n+2}x^n}] + \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {n(n - 1)a_nx^n} - [6a_1x^1 + \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {6na_nx^n}] + [12a_0x^0 + 12a_1x^1 + \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {12a_nx^n}] = 0 \)
Toplam işlemlerinin dışına aldığımız terimleri \( x \) üssüne göre ortak paranteze alalım.
\( (12a_0 + 2a_2)x^0 + (6a_1 + 6a_3)x^1 + \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {(n + 2)(n + 1)a_{n+2}x^n} + \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {n(n - 1)a_nx^n} - \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {6na_nx^n} + \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {12a_nx^n} = 0 \)
Toplam işlemlerinin tümünde \( x \)'lerin üsleri ve başlangıç indis değerleri eşit olduğu için işlemleri birleştirebiliriz.
\( (12a_0 + 2a_2)x^0 + (6a_1 + 6a_3)x^1 + \displaystyle\sum_{n=2}^\infty [(n + 2)(n + 1)a_{n+2}x^n + n(n - 1)a_nx^n - 6na_n + 12a_nx^n] = 0 \)
Toplam işlemi içindeki terimleri \( x^n \) parantezine alalım.
\( (12a_0 + 2a_2)x^0 + (6a_1 + 6a_3)x^1 + \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {[(n + 2)(n + 1)a_{n+2} + n(n - 1)a_n - 6na_n + 12a_n]x^n} = 0 \)
Toplam işlemi içindeki terimleri ortak katsayı parantezine alalım.
\( (12a_0 + 2a_2)x^0 + (6a_1 + 6a_3)x^1 + \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {[(n + 2)(n + 1)a_{n+2} + (n^2 - 7n + 12)a_n]x^n} = 0 \)
\( (12a_0 + 2a_2)x^0 + (6a_1 + 6a_3)x^1 + \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {[(n + 2)(n + 1)a_{n+2} + (n - 3)(n - 4)a_n]x^n} = 0 \)
Bir kuvvet serisi sıfıra eşitse her \( x^n \) teriminin katsayısı ayrı ayrı sıfıra eşittir.
\( x^0 \) teriminin katsayısı sıfıra eşittir.
\( 12a_0 + 2a_2 = 0 \)
\( a_2 = -6a_0 \)
\( x^1 \) teriminin katsayısı sıfıra eşittir.
\( 6a_1 + 6a_3 = 0 \)
\( a_3 = -a_1 \)
\( n \ge 2 \) olmak üzere, \( x^n \) terimlerinin katsayısı sıfıra eşittir.
\( (n + 2)(n + 1)a_{n+2} + (n - 3)(n - 4)a_n = 0 \)
\( a_{n+2} = -\dfrac{(n - 3)(n - 4)a_n}{(n + 1)(n + 2)} \)
Bu formülü kullanarak ilk birkaç \( n \) değeri için \( a_n \) değerlerini hesaplayalım (ikinci sütun) ve bu değerleri yazabildiğimiz en küçük indis değerli katsayılar cinsinden ifade edelim.
| \( \) | \( a_2 = -6a_0 \) |
| \( \) | \( a_3 = -a_1 \) |
| \( n = 2 \) | \( a_4 = -\dfrac{(-1)(-2)a_2}{(3)(4)} = -\dfrac{-6a_0}{6} = -a_0 \) |
| \( n = 3 \) | \( a_5 = -\dfrac{(0)(-1)a_3}{(4)(5)} = 0 \) |
| \( n = 4 \) | \( a_6 = -\dfrac{(1)(0)a_4}{(5)(6)} = 0 \) |
| \( n = 5 \) | \( a_7 = -\dfrac{(2)(1)a_5}{(6)(7)} = 0 \) |
| \( n = 6 \) | \( a_8 = -\dfrac{(3)(2)a_6}{(7)(8)} = 0 \) |
Serinin \( a_5 \) ve sonraki katsayılarının sıfır olduğunu görüyoruz.
Buna göre denklemin çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y = a_0x^0 + a_1x^1 + a_2x^2 + a_3x^3 + a_4x^4 + 0 \)
\( = a_0 + a_1x^1 + (-6a_0)x^2 + (-a_1)x^3 + (-a_0)x^4 \)
\( = a_0 + a_1x - 6a_0x^2 - a_1x^3 - a_0x^4 \)
Terimleri bilinmeyen katsayı parantezine alalım.
\( = a_0(1 - 6x^2 - x^4) + a_1(x - x^3) \)
\( y' - 3x^2y = 0 \)
denkleminin genel çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterVerilen denklemin katsayıları birer polinom olduğu için her biri tüm reel sayılarda analitiktir, dolayısıyla denklemin aşağıdaki formda bir kuvvet serisi çözümü olduğunu varsayabiliriz.
\( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {a_n(x - x_0)^n} \)
Çözümün analitik olduğu noktalar arasından \( x_0 = 0 \) seçerek çözümü aşağıdaki şekilde belirleyelim.
\( y = \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {a_nx^n} \)
Çözümün birinci türevini alalım.
\( y' = \displaystyle\sum_{n=1}^\infty {na_nx^{n-1}} \)
Çözümü ve türevini denklemde yerine koyalım.
\( y' - 3x^2y = 0 \)
\( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty {na_nx^{n-1}} - 3x^2\displaystyle\sum_{n=0}^\infty {a_nx^n} = 0 \)
Toplam işlemi dışındaki katsayıları içeri alalım.
\( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty {na_nx^{n-1}} - \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {3a_nx^{n+2}} = 0 \)
Toplam işlemlerinde \( x \)'lerin üssünü eşitlemek için işlemlerin indislerini düzenleyelim.
\( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {(n + 1)a_{n+1}x^n} - \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {3a_{n-2}x^n} = 0 \)
Tüm toplam işlemlerinde başlangıç indis değerlerini eşitlemek için birinci işlemde fazla terimleri işlemin dışına alalım ve tüm indisleri 2 yapalım.
\( a_1x^0 + 2a_2x^1 + \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {(n + 1)a_{n+1}x^n} - \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {3a_{n-2}x^n} = 0 \)
Toplam işlemlerinin tümünde \( x \)'lerin üsleri ve başlangıç indis değerleri eşit olduğu için işlemleri birleştirebiliriz.
\( a_1 + 2a_2x + \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {[(n + 1)a_{n+1}x^n - 3a_{n-2}x^n]} = 0 \)
Toplam işlemi içindeki terimleri \( x^n \) ve ortak katsayı parantezine alalım.
\( a_1 + 2a_2x + \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {[(n + 1)a_{n+1} - 3a_{n-2}]x^n} = 0 \)
Bir kuvvet serisi sıfıra eşitse her \( x^n \) teriminin katsayısı ayrı ayrı sıfıra eşittir.
Sabit terimler sıfıra eşittir.
\( a_1 = 0 \)
\( x \) teriminin katsayısı sıfıra eşittir.
\( 2a_2 = 0 \Longrightarrow a_2 = 0 \)
\( n \ge 2 \) olmak üzere, \( x^n \) terimlerinin katsayısı sıfıra eşittir.
\( (n + 1)a_{n+1} - 3a_{n-2} = 0 \)
\( a_{n+1} = \dfrac{3a_{n-2}}{n + 1} \)
Bu formülü kullanarak ilk birkaç \( n \) değeri için \( a_n \) değerlerini hesaplayalım (ikinci sütun) ve bu değerleri yazabildiğimiz en küçük indis değerli katsayılar cinsinden ifade edelim.
| \( \) | \( a_1 = 0 \) | \( \) |
| \( \) | \( a_2 = 0 \) | \( \) |
| \( n = 2 \) | \( a_3 = \dfrac{3a_0}{3} = a_0 \) | \( = \dfrac{a_0}{1!} \) |
| \( n = 3 \) | \( a_4 = \dfrac{3a_1}{4} = \dfrac{3(0)}{4} = 0 \) | \( = 0 \) |
| \( n = 4 \) | \( a_5 = \dfrac{3a_2}{5} = \dfrac{3(0)}{5} = 0 \) | \( = 0 \) |
| \( n = 5 \) | \( a_6 = \dfrac{3a_3}{6} = \dfrac{a_0}{2} \) | \( = \dfrac{a_0}{2!} \) |
| \( n = 6 \) | \( a_7 = \dfrac{3a_4}{7} = \dfrac{3(0)}{7} = 0 \) | \( = 0 \) |
| \( n = 7 \) | \( a_8 = \dfrac{3a_5}{8} = \dfrac{3(0)}{8} = 0 \) | \( = 0 \) |
| \( n = 8 \) | \( a_9 = \dfrac{3a_6}{9} = \dfrac{3(\frac{a_0}{2})}{9} = \dfrac{a_0}{6} \) | \( = \dfrac{a_0}{3!} \) |
İkinci sütundaki \( a_n \) değerlerini bir örüntü şeklinde üçüncü sütundaki şekilde ifade edebiliriz.
Bu örüntüyü farklı \( n \) değerleri için aşağıdaki şekilde bir formüle çevirebiliriz.
\( n \ge 1 \) olmak üzere,
\( a_{3n} = \dfrac{a_0}{n!} \)
\( a_{3n+1} = 0 \)
\( a_{3n+2} = 0 \)
Bu durumda denklemin kuvvet serisi çözümü, her biri 3'e bölündüğünde 0, 1, 2 kalanını veren indisli terimleri temsil etmek üzere, aşağıdaki üç serinin toplamından oluşur.
\( y = \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {a_{3n}x^{3n}} + \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {a_{3n+1}x^{3n+1}} + \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {a_{3n+2}x^{3n+2}} \)
\( = \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {\dfrac{a_0}{n!}x^{3n}} + \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {0x^{3n+1}} + \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {0x^{3n+2}} \)
\( = \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {\dfrac{a_0}{n!}x^{3n}} \)
İfadeyi düzenleyelim.
\( = a_0\displaystyle\sum_{n=0}^\infty {\dfrac{(x^3)^n}{n!}} \)
Bu toplam işlemi \( e^{x^3} \) ifadesinin kuvvet serisi açılımıdır.
\( = a_0e^{x^3} \)
\( z'' + z = 0 \)
denkleminin genel çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterVerilen denklemin katsayıları sabit olduğu için her biri tüm reel sayılarda analitiktir, dolayısıyla denklemin aşağıdaki formda bir kuvvet serisi çözümü olduğunu varsayabiliriz.
\( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {a_n(x - x_0)^n} \)
Çözümün analitik olduğu noktalar arasından \( x_0 = 0 \) seçerek çözümü aşağıdaki şekilde belirleyelim.
\( z = \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {a_nx^n} \)
Çözümün birinci ve ikinci türevlerini alalım.
\( z' = \displaystyle\sum_{n=1}^\infty {na_nx^{n-1}} \)
\( z'' = \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {n(n - 1)a_nx^{n-2}} \)
Çözümü ve türevlerini denklemde yerine koyalım.
\( z'' + z = 0 \)
\( \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {n(n - 1)a_nx^{n-2}} + \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {a_nx^n} = 0 \)
Toplam işlemlerinde \( x \)'lerin üssünü eşitlemek için birinci işlemin indislerini düzenleyelim.
\( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {(n + 2)(n + 1)a_{n+2}x^n} + \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {a_nx^n} = 0 \)
Toplam işlemlerinin tümünde \( x \)'lerin üsleri ve başlangıç indis değerleri eşit olduğu için işlemleri birleştirebiliriz.
\( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty [(n + 2)(n + 1)a_{n+2}x^n + a_nx^n] = 0 \)
Toplam işlemi içindeki terimleri \( x^n \) ve ortak katsayı parantezine alalım.
\( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty [(n + 2)(n + 1)a_{n+2} + a_n]x_n = 0 \)
Bir kuvvet serisi sıfıra eşitse her \( x^n \) teriminin katsayısı ayrı ayrı sıfıra eşittir.
\( n \ge 0 \) olmak üzere,
\( (n + 2)(n + 1)a_{n+2} + a_n = 0 \)
\( a_{n+2} = -\dfrac{a_n}{(n + 1)(n + 2)} \)
Bu formülü kullanarak ilk birkaç \( n \) değeri için \( a_n \) değerlerini hesaplayalım (ikinci sütun) ve bu değerleri yazabildiğimiz en küçük indis değerli katsayılar cinsinden ifade edelim.
| \( n = 0 \) | \( a_2 = -\dfrac{a_0}{1 \cdot 2} = -\dfrac{a_0}{2} \) | \( = -\dfrac{a_0}{2!} \) |
| \( n = 1 \) | \( a_3 = -\dfrac{a_1}{2 \cdot 3} = -\dfrac{a_1}{6} \) | \( = -\dfrac{a_1}{3!} \) |
| \( n = 2 \) | \( a_4 = -\dfrac{a_2}{3 \cdot 4} = -\dfrac{-\frac{a_0}{2}}{12} = \dfrac{a_0}{24} \) | \( = \dfrac{a_0}{4!} \) |
| \( n = 3 \) | \( a_5 = -\dfrac{a_3}{4 \cdot 5} = -\dfrac{-\frac{a_1}{6}}{20} = \dfrac{a_1}{120} \) | \( = \dfrac{a_1}{5!} \) |
| \( n = 4 \) | \( a_6 = -\dfrac{a_4}{5 \cdot 6} = -\dfrac{\frac{a_0}{24}}{30} = -\dfrac{a_0}{720} \) | \( = -\dfrac{a_0}{6!} \) |
| \( n = 5 \) | \( a_7 = -\dfrac{a_5}{6 \cdot 7} = -\dfrac{\frac{a_1}{120}}{42} = -\dfrac{a_1}{5040} \) | \( = -\dfrac{a_1}{7!} \) |
İkinci sütundaki \( a_n \) değerlerini bir örüntü şeklinde üçüncü sütundaki şekilde ifade edebiliriz.
Bu örüntüyü tek ve çift \( n \) değerleri için ayrı ayrı aşağıdaki şekilde bir formüle çevirebiliriz.
\( n \ge 1 \) olmak üzere,
\( a_{2n} = \dfrac{(-1)^na_0}{(2n)!} \)
\( a_{2n+1} = \dfrac{(-1)^na_1}{(2n + 1)!} \)
\( n = 0 \) yazdığımızda sırasıyla \( a_0 \) ve \( a_1 \) değerlerini elde ettiğimiz için yukarıdaki iki formülü \( n = 0 \) değerini kapsayacak şekilde kullanabiliriz.
Bu durumda denklemin kuvvet serisi çözümü, her biri tek ve çift indisli terimleri temsil etmek üzere, aşağıdaki iki serinin toplamından oluşur.
\( z = \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {a_{2n}x^{2n}} + \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {a_{2n+1}x^{2n+1}} \)
\( = \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {\dfrac{(-1)^na_0}{(2n)!}x^{2n}} + \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {\dfrac{(-1)^na_1}{(2n + 1)!}x^{2n+1}} \)
İfadeyi düzenleyelim.
\( = a_0\displaystyle\sum_{n=0}^\infty {\dfrac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}} + a_1\displaystyle\sum_{n=0}^\infty {\dfrac{(-1)^n}{(2n + 1)!}x^{2n+1}} \)
Bu iki toplam işlemi sırasıyla \( \cos{x} \) ve \( \sin{x} \) ifadelerinin kuvvet serisi açılımıdır.
\( = a_0\cos{x} + a_1\sin{x} \)
\( (1 + x^2)z'' - 4xz' + 6z = 0 \)
\( z(0) = 3, \quad z'(0) = 4 \)
denkleminin verilen başlangıç değerleri için çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterVerilen denklemin katsayıları birer polinom olduğu için her biri tüm reel sayılarda analitiktir, dolayısıyla denklemin aşağıdaki formda bir kuvvet serisi çözümü olduğunu varsayabiliriz.
\( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {a_n(x - x_0)^n} \)
Çözümün analitik olduğu noktalar arasından \( x_0 = 0 \) seçerek çözümü aşağıdaki şekilde belirleyelim.
\( z = \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {a_nx^n} \)
Çözümün birinci ve ikinci türevini alalım.
\( z' = \displaystyle\sum_{n=1}^\infty {na_nx^{n-1}} \)
\( z'' = \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {n(n - 1)a_nx^{n-2}} \)
Çözümü ve türevlerini denklemde yerine koyalım.
\( (1 + x^2)z'' - 4xz' + 6z = 0 \)
\( (1 + x^2)\displaystyle\sum_{n=2}^\infty {n(n - 1)a_nx^{n-2}} - 4x\displaystyle\sum_{n=1}^\infty {na_nx^{n-1}} + 6\displaystyle\sum_{n=0}^\infty {a_nx^n} = 0 \)
Birinci toplam işlemini \( 1 + x^2 \) parantezine dağıtalım.
\( \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {n(n - 1)a_nx^{n-2}} + x^2\displaystyle\sum_{n=2}^\infty {n(n - 1)a_nx^{n-2}} - 4x\displaystyle\sum_{n=1}^\infty {na_nx^{n-1}} + 6\displaystyle\sum_{n=0}^\infty {a_nx^n} = 0 \)
Toplam işlemi dışındaki katsayıları içeri alalım.
\( \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {n(n - 1)a_nx^{n-2}} + \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {n(n - 1)a_nx^n} - \displaystyle\sum_{n=1}^\infty {4na_nx^n} + \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {6a_nx^n} = 0 \)
Toplam işlemlerinde \( x \)'lerin üssünü eşitlemek için birinci işlemin indislerini düzenleyelim.
\( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {(n + 2)(n + 1)a_{n+2}x^n} + \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {n(n - 1)a_nx^n} - \displaystyle\sum_{n=1}^\infty {4na_nx^n} + \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {6a_nx^n} = 0 \)
Tüm toplam işlemlerinde başlangıç indis değerlerini eşitlemek için birinci, üçüncü ve dördüncü işlemde fazla terimleri işlemin dışına alalım ve tüm indisleri 2 yapalım.
\( [2a_2x^0 + 6a_3x^1 + \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {(n + 2)(n + 1)a_{n+2}x^n}] + \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {n(n - 1)a_nx^n} - [4a_1x^1 + \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {4na_nx^n}] + [6a_0x^0 + 6a_1x^1 + \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {6a_nx^n}] = 0 \)
Toplam işlemlerinin dışına aldığımız terimleri \( x \) üssüne göre ortak paranteze alalım.
\( 2a_2 + 6a_0 + (6a_3 + 2a_1)x + \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {(n + 2)(n + 1)a_{n+2}x^n} + \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {n(n - 1)a_nx^n} - \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {4na_nx^n} + \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {6a_nx^n} = 0 \)
Toplam işlemlerinin tümünde \( x \)'lerin üsleri ve başlangıç indis değerleri eşit olduğu için işlemleri birleştirebiliriz.
\( 2a_2 + 6a_0 + (6a_3 + 2a_1)x + \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {[(n + 2)(n + 1)a_{n+2}x^n + n(n - 1)a_nx^n - 4na_nx^n + 6a_nx^n]} = 0 \)
Toplam işlemi içindeki terimleri \( x^n \) parantezine alalım.
\( 2a_2 + 6a_0 + (6a_3 + 2a_1)x + \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {[(n + 2)(n + 1)a_{n+2} + n(n - 1)a_n - 4na_n + 6a_n]x^n} = 0 \)
Toplam işlemi içindeki terimleri ortak katsayı parantezine alalım.
\( 2a_2 + 6a_0 + (6a_3 + 2a_1)x + \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {[(n + 2)(n + 1)a_{n+2} + (n(n - 1) - 4n + 6)a_n]x^n} = 0 \)
\( 2a_2 + 6a_0 + (6a_3 + 2a_1)x + \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {[(n + 2)(n + 1)a_{n+2} + (n - 2)(n - 3)a_n]x^n} = 0 \)
Bir kuvvet serisi sıfıra eşitse her \( x^n \) teriminin katsayısı ayrı ayrı sıfıra eşittir.
Sabit terimin katsayısı sıfıra eşittir.
\( 2a_2 + 6a_0 = 0 \)
\( a_2 = -3a_0 \)
\( x \) teriminin katsayısı sıfıra eşittir.
\( 6a_3 + 2a_1 = 0 \)
\( a_3 = -\dfrac{a_1}{3} \)
\( n \ge 2 \) olmak üzere, \( x^n \) terimlerinin katsayısı sıfıra eşittir.
\( (n + 2)(n + 1)a_{n+2} + (n - 2)(n - 3)a_n = 0 \)
\( a_{n+2} = -\dfrac{(n - 3)(n - 2)a_n}{(n + 1)(n + 2)} \)
Bu formülü kullanarak ilk birkaç \( n \) değeri için \( a_n \) değerlerini hesaplayalım (ikinci sütun) ve bu değerleri yazabildiğimiz en küçük indis değerli katsayılar cinsinden ifade edelim.
| \( \) | \( a_2 = -3a_0 \) |
| \( \) | \( a_3 = -\dfrac{a_1}{3} \) |
| \( n = 2 \) | \( a_4 = -\dfrac{(-1)(0)a_2}{(3)(4)} = 0 \) |
| \( n = 3 \) | \( a_5 = -\dfrac{(0)(1)a_3}{(4)(5)} = 0 \) |
| \( n = 4 \) | \( a_6 = -\dfrac{(1)(2)a_4}{(5)(6)} = 0 \) |
| \( n = 5 \) | \( a_7 = -\dfrac{(2)(3)a_5}{(6)(7)} = 0 \) |
Serinin \( a_4 \) ve sonraki katsayılarının sıfır olduğunu görüyoruz.
Buna göre denklemin çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( z = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + 0 \)
\( = a_0 + a_1x + (-3a_0)x^2 + \left( -\dfrac{a_1}{3} \right)x^3 \)
\( = a_0 + a_1x - 3a_0x^2 - \dfrac{a_1}{3}x^3 \)
Terimleri bilinmeyen katsayı parantezine alalım.
\( = a_0(1 - 3x^2) + a_1\left( x - \dfrac{1}{3}x^3 \right) \)
\( z(0) = 3, z'(0) = 4 \) başlangıç değerlerini denklemlerde yerine koyalım.
\( z' = a_0(-6x) + a_1(1 - x^2) \)
\( \begin{cases} 3 = a_0(1 - 3(0)^2) + a_1\left( 0 - \dfrac{1}{3}(0)^3 \right) \\ 4 = a_0(-6(0)) + a_1(1 - 0^2) \end{cases} \)
\( a_0 = 3, \quad a_1 = 4 \)
Denklemin verilen başlangıç değerleri için çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( z = 3(1 - 3x^2) + 4\left( x - \dfrac{1}{3}x^3 \right) \)
Aşağıdaki Chebyshev denkleminin genel çözümününün ilk 8 terimini bulunuz.
\( (1 - x^2)y'' - xy' + y = 0 \)
Çözümü Göster\( x = \pm 1 \) verilen denklemin tekil noktalardır, bunun dışında kalan tüm reel sayılarda katsayılar analitiktir, dolayısıyla denklemin aşağıdaki formda bir kuvvet serisi çözümü olduğunu varsayabiliriz.
\( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {a_n(x - x_0)^n} \)
Çözümün analitik olduğu noktalar arasından \( x_0 = 0 \) seçerek çözümü aşağıdaki şekilde belirleyelim.
\( y = \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {a_nx^n} \)
Çözümün birinci ve ikinci türevlerini alalım.
\( y' = \displaystyle\sum_{n=1}^\infty {na_nx^{n-1}} \)
\( y'' = \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {n(n - 1)a_nx^{n-2}} \)
Çözümü ve türevlerini denklemde yerine koyalım.
\( (1 - x^2)y'' - xy' + y = 0 \)
\( (1 - x^2)\displaystyle\sum_{n=2}^\infty {n(n - 1)a_nx^{n-2}} - x\displaystyle\sum_{n=1}^\infty {na_nx^{n-1}} + \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {a_nx^n} = 0 \)
Birinci toplam işlemini \( 1 - x^2 \) parantezine dağıtalım.
\( \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {n(n - 1)a_nx^{n-2}} - x^2\displaystyle\sum_{n=2}^\infty {n(n - 1)a_nx^{n-2}} - x\displaystyle\sum_{n=1}^\infty {na_nx^{n-1}} + \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {a_nx^n} = 0 \)
Toplam işlemi dışındaki katsayıları içeri alalım.
\( \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {n(n - 1)a_nx^{n-2}} - \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {n(n - 1)a_nx^n} - \displaystyle\sum_{n=1}^\infty {na_nx^n} + \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {a_nx^n} = 0 \)
Toplam işlemlerinde \( x \)'lerin üssünü eşitlemek için birinci işlemin indislerini düzenleyelim.
\( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {(n + 2)(n + 1)a_{n+2}x^n} - \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {n(n - 1)a_nx^n} - \displaystyle\sum_{n=1}^\infty {na_nx^n} + \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {a_nx^n} = 0 \)
Tüm toplam işlemlerinde başlangıç indis değerlerini eşitlemek için birinci, üçüncü ve dördüncü işlemde fazla terimleri işlemin dışına alalım ve tüm indisleri 2 yapalım.
\( [2a_2x^0 + 6a_3x^1 + \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {(n + 2)(n + 1)a_{n+2}x^n}] - \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {n(n - 1)a_nx^n} - [a_1x^1 + \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {na_nx^n}] + [a_0x^0 + a_1x^1 + \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {a_nx^n}] = 0 \)
Toplam işlemlerinin dışına aldığımız terimleri \( x \) üssüne göre ortak paranteze alalım.
\( a_0 + 2a_2 + 6a_3x + \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {(n + 2)(n + 1)a_{n+2}x^n} - \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {n(n - 1)a_nx^n} - \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {na_nx^n} + \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {a_nx^n} = 0 \)
Toplam işlemlerinin tümünde \( x \)'lerin üsleri ve başlangıç indis değerleri eşit olduğu için işlemleri birleştirebiliriz.
\( a_0 + 2a_2 + 6a_3x + \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {[(n + 2)(n + 1)a_{n+2}x^n - n(n - 1)a_nx^n - na_nx^n + a_nx^n]} = 0 \)
Toplam işlemi içindeki terimleri \( x^n \) parantezine alalım.
\( a_0 + 2a_2 + 6a_3x + \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {[(n + 2)(n + 1)a_{n+2} - n(n - 1)a_n - na_n + a_n]x^n} = 0 \)
Toplam işlemi içindeki terimleri ortak katsayı parantezine alalım.
\( a_0 + 2a_2 + 6a_3x + \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {[(n + 2)(n + 1)a_{n+2} - (n^2 - 1)a_n]x^n} = 0 \)
Bir kuvvet serisi sıfıra eşitse her \( x^n \) teriminin katsayısı ayrı ayrı sıfıra eşittir.
Sabit terimin katsayısı sıfıra eşittir.
\( a_0 + 2a_2 = 0 \)
\( a_2 = -\dfrac{a_0}{2} \)
\( x \) teriminin katsayısı sıfıra eşittir.
\( 6a_3 = 0 \Longrightarrow a_3 = 0 \)
\( n \ge 2 \) olmak üzere, \( x^n \) terimlerinin katsayısı sıfıra eşittir.
\( (n + 2)(n + 1)a_{n+2} - (n^2 - 1)a_n = 0 \)
\( a_{n+2} = \dfrac{(n^2 - 1)a_n}{(n + 1)(n + 2)} \)
\( = \dfrac{(n - 1)a_n}{n + 2} \)
Bu formülü kullanarak ilk birkaç \( n \) değeri için \( a_n \) değerlerini hesaplayalım (ikinci sütun) ve bu değerleri yazabildiğimiz en küçük indis değerli katsayılar cinsinden ifade edelim.
| \( \) | \( a_2 = -\dfrac{a_0}{2} \) |
| \( \) | \( a_3 = 0 \) |
| \( n = 2 \) | \( a_4 = \dfrac{a_2}{4} = \dfrac{-\frac{a_0}{2}}{4} = -\dfrac{a_0}{8} \) |
| \( n = 3 \) | \( a_5 = \dfrac{2a_3}{5} = \dfrac{2(0)}{5} = 0 \) |
| \( n = 4 \) | \( a_6 = \dfrac{3a_4}{6} = \dfrac{-\frac{a_0}{8}}{3} = -\dfrac{a_0}{24} \) |
| \( n = 5 \) | \( a_7 = \dfrac{4a_5}{7} = \dfrac{4(0)}{7} = 0 \) |
Buna göre denklemin çözümünün ilk 8 terimi aşağıdaki gibi bulunur.
\( y = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + a_4x^4 + a_5x^5 + a_6x^6 + a_7x_7 + \ldots \)
\( = a_0 + a_1x + (-\dfrac{a_0}{2})x^2 + 0x^3 + (-\dfrac{a_0}{8})x^4 + 0x^5 + (-\dfrac{a_0}{24})x^6 + 0x_7 + \ldots \)
\( = a_0 + a_1x - \dfrac{a_0x^2}{2} - \dfrac{a_0x^4}{8} - \dfrac{a_0x^6}{24} + \ldots \)
Aşağıdaki Airy’s denkleminin genel çözümünü bulunuz.
\( y'' - xy = 0 \)
Çözümü GösterVerilen denklemin katsayıları birer polinom olduğu için her biri tüm reel sayılarda analitiktir, dolayısıyla denklemin aşağıdaki formda bir kuvvet serisi çözümü olduğunu varsayabiliriz.
\( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {a_n(x - x_0)^n} \)
Çözümün analitik olduğu noktalar arasından \( x_0 = 0 \) seçerek çözümü aşağıdaki şekilde belirleyelim.
\( y = \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {a_nx^n} \)
Çözümün birinci ve ikinci türevlerini alalım.
\( y' = \displaystyle\sum_{n=1}^\infty {na_nx^{n-1}} \)
\( y'' = \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {n(n - 1)a_nx^{n-2}} \)
Çözümü ve türevlerini denklemde yerine koyalım.
\( y'' - xy = 0 \)
\( \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {n(n - 1)a_nx^{n-2}} - x\displaystyle\sum_{n=0}^\infty {a_nx^n} = 0 \)
Toplam işlemi dışındaki katsayıları içeri alalım.
\( \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {n(n - 1)a_nx^{n-2}} - \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {a_nx^{n+1}} = 0 \)
Toplam işlemlerinde \( x \)'lerin üssünü eşitlemek için birinci ve ikinci işlemin indislerini düzenleyelim.
\( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {(n + 2)(n + 1)a_{n+2}x^n} - \displaystyle\sum_{n=1}^\infty {a_{n-1}x^n} = 0 \)
Tüm toplam işlemlerinde başlangıç indis değerlerini eşitlemek için birinci işlemde fazla terimleri işlemin dışına alalım ve tüm indisleri 1 yapalım.
\( 2a_2x^0 + \displaystyle\sum_{n=1}^\infty {(n + 2)(n + 1)a_{n+2}x^n} - \displaystyle\sum_{n=1}^\infty {a_{n-1}x^n} = 0 \)
Toplam işlemlerinin tümünde \( x \)'lerin üsleri ve başlangıç indis değerleri eşit olduğu için işlemleri birleştirebiliriz.
\( 2a_2 + \displaystyle\sum_{n=1}^\infty {[(n + 2)(n + 1)a_{n+2}x^n - a_{n-1}x^n]} = 0 \)
Toplam işlemi içindeki terimleri \( x^n \) ve ortak katsayı parantezine alalım.
\( 2a_2 + \displaystyle\sum_{n=1}^\infty {[(n + 2)(n + 1)a_{n+2} - a_{n-1}]x^n} = 0 \)
Bir kuvvet serisi sıfıra eşitse her \( x^n \) teriminin katsayısı ayrı ayrı sıfıra eşittir.
Sabit terimin katsayısı sıfıra eşittir.
\( 2a_2 = 0 \Longrightarrow a_2 = 0 \)
\( n \ge 1 \) olmak üzere, \( x^n \) terimlerinin katsayısı sıfıra eşittir.
\( (n + 2)(n + 1)a_{n+2} - a_{n-1} = 0 \)
\( a_{n+2} = \dfrac{a_{n-1}}{(n + 1)(n + 2)} \)
Bu formülü kullanarak ilk birkaç \( n \) değeri için \( a_n \) değerlerini hesaplayalım (ikinci sütun) ve bu değerleri yazabildiğimiz en küçük indis değerli katsayılar cinsinden ifade edelim.
| \( \) | \( a_2 = 0 \) | \( \) |
| \( n = 1 \) | \( a_3 = \dfrac{a_0}{2 \cdot 3} \) | \( \) |
| \( n = 2 \) | \( a_4 = \dfrac{a_1}{3 \cdot 4} \) | \( \) |
| \( n = 3 \) | \( a_5 = \dfrac{a_2}{4 \cdot 5} = \dfrac{0}{4 \cdot 5} \) | \( = 0 \) |
| \( n = 4 \) | \( a_6 = \dfrac{a_3}{5 \cdot 6} = \dfrac{\frac{a_0}{2 \cdot 3}}{5 \cdot 6} \) | \( = \dfrac{a_0}{2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 6} \) |
| \( n = 5 \) | \( a_7 = \dfrac{a_4}{6 \cdot 7} = \dfrac{\frac{a_1}{3 \cdot 4}}{6 \cdot 7} \) | \( = \dfrac{a_1}{3 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 7} \) |
| \( n = 6 \) | \( a_8 = \dfrac{a_5}{7 \cdot 8} = \dfrac{0}{7 \cdot 8} \) | \( = 0 \) |
İkinci sütundaki \( a_n \) değerlerini bir örüntü şeklinde üçüncü sütundaki şekilde ifade edebiliriz.
Bu örüntüyü farklı \( n \) değerleri için ayrı ayrı aşağıdaki şekilde bir formüle çevirebiliriz.
\( n \ge 1 \) olmak üzere,
\( a_{3n} = \dfrac{a_0}{2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 6 \ldots \cdot (3n - 1)(3n)} \)
\( a_{3n+1} = \dfrac{a_1}{3 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 7 \ldots \cdot (3n)(3n + 1)} \)
\( a_{3n+2} = 0 \)
\( n = 0 \) yazdığımızda sırasıyla \( a_0 \), \( a_1 \) ve \( a_2 \) değerlerini elde ettiğimiz için yukarıdaki iki formülü \( n = 0 \) değerini kapsayacak şekilde kullanabiliriz.
Bu durumda denklemin kuvvet serisi çözümü, her biri 3'e bölündüğünde 0, 1, 2 kalanını veren indisli terimleri temsil etmek üzere, aşağıdaki üç serinin toplamından oluşur.
\( y = \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {a_{3n}x^{3n}} + \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {a_{3n+1}x^{3n+1}} + \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {a_{3n+2}x^{3n+2}} \)
\( = \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {\dfrac{a_0}{2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 6 \ldots \cdot (3n - 1)(3n)}x^{3n}} + \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {\dfrac{a_1}{3 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 7 \ldots \cdot (3n)(3n + 1)}x^{3n+1}} + \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {0x^{3n+2}} \)
İfadeyi düzenleyelim.
\( = a_0\displaystyle\sum_{n=0}^\infty {\dfrac{x^{3n}}{2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 6 \ldots \cdot (3n - 1)(3n)}} + a_1\displaystyle\sum_{n=0}^\infty {\dfrac{x^{3n+1}}{3 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 7 \ldots \cdot (3n)(3n + 1)}} \)
\( y'' - 4ty' - 4y = 0 \)
denkleminin genel çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterVerilen denklemin katsayıları birer polinom olduğu için her biri tüm reel sayılarda analitiktir, dolayısıyla denklemin aşağıdaki formda bir kuvvet serisi çözümü olduğunu varsayabiliriz.
\( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {a_n(t - t_0)^n} \)
Çözümün analitik olduğu noktalar arasından \( t_0 = 0 \) seçerek çözümü aşağıdaki şekilde belirleyelim.
\( y = \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {a_nt^n} \)
Çözümün birinci ve ikinci türevlerini alalım.
\( y' = \displaystyle\sum_{n=1}^\infty {na_nt^{n-1}} \)
\( y'' = \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {n(n - 1)a_nt^{n-2}} \)
Çözümü ve türevlerini denklemde yerine koyalım.
\( y'' - 4ty' - 4y = 0 \)
\( \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {n(n - 1)a_nt^{n-2}} - 4t\displaystyle\sum_{n=1}^\infty {na_nt^{n-1}} - 4\displaystyle\sum_{n=0}^\infty {a_nt^n} = 0 \)
Toplam işlemi dışındaki katsayıları içeri alalım.
\( \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {n(n - 1)a_nt^{n-2}} - \displaystyle\sum_{n=1}^\infty {4na_nt^n} - \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {4a_nt^n} = 0 \)
Toplam işlemlerinde \( t \)'lerin üssünü eşitlemek için birinci işlemin indislerini düzenleyelim.
\( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {(n + 2)(n + 1)a_{n+2}t^n} - \displaystyle\sum_{n=1}^\infty {4na_nt^n} - \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {4a_nt^n} = 0 \)
Tüm toplam işlemlerinde başlangıç indis değerlerini eşitlemek için birinci ve üçüncü işlemde fazla terimleri işlemin dışına alalım ve tüm indisleri 1 yapalım.
\( [2a_2t^0 + \displaystyle\sum_{n=1}^\infty {(n + 2)(n + 1)a_{n+2}t^n}] - \displaystyle\sum_{n=1}^\infty {4na_nt^n} - [4a_0t^0 + \displaystyle\sum_{n=1}^\infty {4a_nt^n}] = 0 \)
Toplam işlemlerinin dışına aldığımız terimleri \( t \) üssüne göre ortak paranteze alalım.
\( (2a_2 - 4a_0)t + \displaystyle\sum_{n=1}^\infty {(n + 2)(n + 1)a_{n+2}t^n} - \displaystyle\sum_{n=1}^\infty {4na_nt^n} - \displaystyle\sum_{n=1}^\infty {4a_nt^n} = 0 \)
Toplam işlemlerinin tümünde \( t \)'lerin üsleri ve başlangıç indis değerleri eşit olduğu için işlemleri birleştirebiliriz.
\( (2a_2 - 4a_0)t + \displaystyle\sum_{n=1}^\infty {[(n + 2)(n + 1)a_{n+2}t^n - 4na_nt^n - 4a_nt^n]} = 0 \)
Toplam işlemi içindeki terimleri \( t^n \) parantezine alalım.
\( (2a_2 - 4a_0)t + \displaystyle\sum_{n=1}^\infty {[(n + 2)(n + 1)a_{n+2} - 4na_n - 4a_n]t^n} = 0 \)
Toplam işlemi içindeki terimleri ortak katsayı parantezine alalım.
\( (2a_2 - 4a_0)t + \displaystyle\sum_{n=1}^\infty {[(n + 2)(n + 1)a_{n+2} - 4(n + 1)a_n]t^n} = 0 \)
Bir kuvvet serisi sıfıra eşitse her \( t^n \) teriminin katsayısı ayrı ayrı sıfıra eşittir.
Sabit terimin katsayısı sıfıra eşittir.
\( 2a_2 - 4a_0 = 0 \)
\( a_2 = 2a_0 \)
\( n \ge 1 \) olmak üzere, \( t^n \) terimlerinin katsayısı sıfıra eşittir.
\( (n + 2)(n + 1)a_{n+2} - 4(n + 1)a_n = 0 \)
\( a_{n+2} = \dfrac{4a_n}{n + 2} \)
Bu formülü kullanarak ilk birkaç \( n \) değeri için \( a_n \) değerlerini hesaplayalım (ikinci sütun) ve bu değerleri yazabildiğimiz en küçük indis değerli katsayılar cinsinden ifade edelim.
| \( \) | \( a_2 = 2a_0 \) | \( = \dfrac{2^1a_0}{1!} \) |
| \( n = 1 \) | \( a_3 = \dfrac{4a_1}{3} \) | \( = \dfrac{2^2a_1}{3} \) |
| \( n = 2 \) | \( a_4 = \dfrac{4a_2}{4} = \dfrac{4(2a_0)}{4} = 2a_0 \) | \( = \dfrac{2^2a_0}{2!} \) |
| \( n = 3 \) | \( a_5 = \dfrac{4a_3}{5} = \dfrac{4(\frac{4a_1}{3})}{5} = \dfrac{16a_1}{15} \) | \( = \dfrac{2^4a_1}{3 \cdot 5} \) |
| \( n = 4 \) | \( a_6 = \dfrac{4a_4}{6} = \dfrac{4(2a_0)}{6} = \dfrac{4a_0}{3} \) | \( = \dfrac{2^3a_0}{3!} \) |
| \( n = 5 \) | \( a_7 = \dfrac{4a_5}{7} = \dfrac{4(\frac{16a_1}{15})}{7} = \dfrac{64a_1}{105} \) | \( = \dfrac{2^6a_1}{3 \cdot 5 \cdot 7} \) |
| \( n = 6 \) | \( a_8 = \dfrac{4a_6}{8} = \dfrac{4(\frac{4a_0}{3})}{8} = \dfrac{2a_0}{3} \) | \( = \dfrac{2^4a_0}{4!} \) |
| \( n = 7 \) | \( a_9 = \dfrac{4a_7}{9} = \dfrac{4(\frac{64a_1}{105})}{9} = \dfrac{256a_1}{945} \) | \( = \dfrac{2^8a_1}{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9} \) |
İkinci sütundaki \( a_n \) değerlerini bir örüntü şeklinde üçüncü sütundaki şekilde ifade edebiliriz.
Bu örüntüyü tek ve çift \( n \) değerleri için ayrı ayrı aşağıdaki şekilde bir formüle çevirebiliriz.
\( n \ge 1 \) olmak üzere,
\( a_{2n} = \dfrac{2^na_0}{n!} \)
\( a_{2n+1} = \dfrac{2^{2n}a_1}{3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n + 1)} \)
\( n = 0 \) yazdığımızda sırasıyla \( a_0 \) ve \( a_1 \) değerlerini elde ettiğimiz için yukarıdaki iki formülü \( n = 0 \) değerini kapsayacak şekilde kullanabiliriz.
Bu durumda denklemin kuvvet serisi çözümü, her biri tek ve çift indisli terimleri temsil etmek üzere, aşağıdaki iki serinin toplamından oluşur.
\( y = \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {a_{2n}t^{2n}} + \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {a_{2n+1}t^{2n+1}} \)
\( = \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {\dfrac{2^na_0}{n!}t^{2n}} + \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {\dfrac{2^{2n}a_1}{3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n + 1)}t^{2n+1}} \)
İfadeyi düzenleyelim.
\( = a_0\displaystyle\sum_{n=0}^\infty {\dfrac{2^nt^{2n}}{n!}} + a_1\displaystyle\sum_{n=0}^\infty {\dfrac{2^{2n}t^{2n+1}}{3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n + 1)}} \)
\( = a_0\displaystyle\sum_{n=0}^\infty {\dfrac{(2t^2)^n}{n!}} + a_1\displaystyle\sum_{n=0}^\infty {\dfrac{2^{2n}t^{2n+1}}{3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n + 1)}} \)
Birinci toplam işlemi \( e^{2t^2} \) ifadesinin kuvvet serisi açılımıdır.
\( = a_0e^{2t^2} + a_1\displaystyle\sum_{n=0}^\infty {\dfrac{2^{2n}}{3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n + 1)}t^{2n+1}} \)
\( y'' - y = 4x \)
denkleminin genel çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterVerilen denklemin katsayıları sabit olduğu için her biri tüm reel sayılarda analitiktir, dolayısıyla denklemin aşağıdaki formda bir kuvvet serisi çözümü olduğunu varsayabiliriz.
\( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {a_n(x - x_0)^n} \)
Çözümün analitik olduğu noktalar arasından \( x_0 = 0 \) seçerek çözümü aşağıdaki şekilde belirleyelim.
\( y = \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {a_nx^n} \)
Çözümün birinci ve ikinci türevlerini alalım.
\( y' = \displaystyle\sum_{n=1}^\infty {na_nx^{n-1}} \)
\( y'' = \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {n(n - 1)a_nx^{n-2}} \)
Çözümü ve türevlerini denklemde yerine koyalım.
\( y'' - y = 4x \)
\( \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {n(n - 1)a_nx^{n-2}} - \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {a_nx^n} = 4x \)
Toplam işlemlerinde \( x \)'lerin üssünü eşitlemek için birinci işlemin indislerini düzenleyelim.
\( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {(n + 2)(n + 1)a_{n+2}x^n} - \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {a_nx^n} = 4x \)
Toplam işlemlerinin tümünde \( x \)'lerin üsleri ve başlangıç indis değerleri eşit olduğu için işlemleri birleştirebiliriz.
\( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {[(n + 2)(n + 1)a_{n+2}x^n - a_nx^n]} = 4x \)
Toplam işlemi içindeki terimleri \( x^n \) ve ortak katsayı parantezine alalım.
\( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {[(n + 2)(n + 1)a_{n+2} - a_n]x^n} = 4x \)
Eşitliğin sağ tarafındaki \( x \) terimi ile eşitleyebilmek için toplam işleminin ilk iki terimini işlemin dışına alalım.
\( (2a_2 - a_0)x^0 + (6a_3 - a_1)x^1 + \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {[(n + 2)(n + 1)a_{n+2} - a_n]x^n} = 4x^1 \)
\( 2a_2 - a_0 + (6a_3 - a_1)x + \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {[(n + 2)(n + 1)a_{n+2} - a_n]x^n} = 4x^1 \)
\( n \ne 1 \) olmak üzere, her \( x^n \) teriminin katsayısı ayrı ayrı sıfıra eşittir.
Sabit terimin katsayısı sıfıra eşittir.
\( 2a_2 - a_0 = 0 \)
\( a_2 = \dfrac{a_0}{2} \)
\( x \) teriminin katsayısı dörde eşittir.
\( 6a_3 - a_1 = 4 \)
\( a_3 = \dfrac{4 + a_1}{6} \)
\( n \ge 2 \) olmak üzere, \( x^n \) terimlerinin katsayısı sıfıra eşittir.
\( (n + 2)(n + 1)a_{n+2} - a_n = 0 \)
\( a_{n+2} = \dfrac{a_n}{(n + 1)(n + 2)} \)
Bu formülü kullanarak ilk birkaç \( n \) değeri için \( a_n \) değerlerini hesaplayalım (ikinci sütun) ve bu değerleri yazabildiğimiz en küçük indis değerli katsayılar cinsinden ifade edelim.
| \( \) | \( a_2 = \dfrac{a_0}{2} \) | \( = \dfrac{a_0}{2!} \) |
| \( \) | \( a_3 = \dfrac{4 + a_1}{6} \) | \( = \dfrac{4 + a_1}{3!} \) |
| \( n = 2 \) | \( a_4 = \dfrac{a_2}{3 \cdot 4} = \dfrac{\frac{a_0}{2}}{12} = \dfrac{a_0}{24} \) | \( = \dfrac{a_0}{4!} \) |
| \( n = 3 \) | \( a_5 = \dfrac{a_3}{4 \cdot 5} = \dfrac{\frac{4 + a_1}{6}}{20} = \dfrac{4 + a_1}{120} \) | \( = \dfrac{4 + a_1}{5!} \) |
| \( n = 4 \) | \( a_6 = \dfrac{a_4}{5 \cdot 6} = \dfrac{\frac{a_0}{24}}{30} = \dfrac{a_0}{720} \) | \( = \dfrac{a_0}{6!} \) |
| \( n = 5 \) | \( a_7 = \dfrac{a_5}{6 \cdot 7} = \dfrac{\frac{4 + a_1}{120}}{42} = \dfrac{4 + a_1}{5040} \) | \( = \dfrac{4 + a_1}{7!} \) |
İkinci sütundaki \( a_n \) değerlerini bir örüntü şeklinde üçüncü sütundaki şekilde ifade edebiliriz.
Bu örüntüyü tek ve çift \( n \) değerleri için ayrı ayrı aşağıdaki şekilde bir formüle çevirebiliriz.
\( n \ge 1 \) olmak üzere,
\( a_{2n} = \dfrac{a_0}{(2n)!} \)
\( a_{2n+1} = \dfrac{4 + a_1}{(2n + 1)!} \)
Bu durumda denklemin kuvvet serisi çözümü, her biri tek ve çift indisli terimleri temsil etmek üzere, aşağıdaki iki serinin toplamından oluşur.
\( y = a_0 + a_1x + \displaystyle\sum_{n=1}^\infty {a_{2n}x^{2n}} + \displaystyle\sum_{n=1}^\infty {a_{2n+1}x^{2n+1}} \)
\( = a_0 + a_1x + \displaystyle\sum_{n=1}^\infty {\dfrac{a_0}{(2n)!}x^{2n}} + \displaystyle\sum_{n=1}^\infty {\dfrac{4 + a_1}{(2n + 1)!}x^{2n+1}} \)
\( a_0 \) terimini birinci toplam içine alabiliriz.
\( = a_1x + \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {\dfrac{a_0}{(2n)!}x^{2n}} + \displaystyle\sum_{n=1}^\infty {\dfrac{4 + a_1}{(2n + 1)!}x^{2n+1}} \)
Bilinmeyen katsayıları toplam işlemlerinin dışına alalım.
\( = a_1x + a_0\displaystyle\sum_{n=0}^\infty {\dfrac{x^{2n}}{(2n)!}} + (4 + a_1)\displaystyle\sum_{n=1}^\infty {\dfrac{x^{2n+1}}{(2n + 1)!}} \)
Yukarıdaki ifadeyi denklemin çözümü olarak kabul edebiliriz, alternatif olarak aşağıdaki düzenlemeleri de yapabiliriz.
İkinci toplam işlemini başlangıç indis değeri sıfır olacak şekilde düzenleyelim.
\( = a_1x + a_0\displaystyle\sum_{n=0}^\infty {\dfrac{x^{2n}}{(2n)!}} - (4 + a_1)x + (4 + a_1)\displaystyle\sum_{n=0}^\infty {\dfrac{x^{2n+1}}{(2n + 1)!}} \)
\( = a_0\displaystyle\sum_{n=0}^\infty {\dfrac{x^{2n}}{(2n)!}} + (4 + a_1)\displaystyle\sum_{n=0}^\infty {\dfrac{x^{2n+1}}{(2n + 1)!}} - 4x \)
Bu iki toplam işlemi sırasıyla \( \cosh{x} \) ve \( \sinh{x} \) ifadelerinin kuvvet serisi açılımıdır.
\( = a_0\cosh{x} + (4 + a_1)\sinh{x} - 4x \)
\( y^{(4)} - 4xy'' + 3y = 0 \)
denkleminin genel çözümününün ilk 8 terimini bulunuz.
Çözümü GösterVerilen denklemin katsayıları sabit olduğu için her biri tüm reel sayılarda analitiktir, dolayısıyla denklemin aşağıdaki formda bir kuvvet serisi çözümü olduğunu varsayabiliriz.
\( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {a_n(x - x_0)^n} \)
Çözümün analitik olduğu noktalar arasından \( x_0 = 0 \) seçerek çözümü aşağıdaki şekilde belirleyelim.
\( y = \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {a_nx^n} \)
Çözümün türevlerini alalım.
\( y' = \displaystyle\sum_{n=1}^\infty {na_nx^{n-1}} \)
\( y'' = \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {n(n - 1)a_nx^{n-2}} \)
\( y''' = \displaystyle\sum_{n=3}^\infty {n(n - 1)(n - 2)a_nx^{n-3}} \)
\( y^{(4)} = \displaystyle\sum_{n=4}^\infty {n(n - 1)(n - 2)(n - 3)a_nx^{n-4}} \)
Çözümü ve türevlerini denklemde yerine koyalım.
\( y^{(4)} - 4xy'' + 3y = 0 \)
\( \displaystyle\sum_{n=4}^\infty {n(n - 1)(n - 2)(n - 3)a_nx^{n-4}} - 4x\displaystyle\sum_{n=2}^\infty {n(n - 1)a_nx^{n-2}} + 3\displaystyle\sum_{n=0}^\infty {a_nx^n} = 0 \)
Toplam işlemi dışındaki katsayıları içeri alalım.
\( \displaystyle\sum_{n=4}^\infty {n(n - 1)(n - 2)(n - 3)a_nx^{n-4}} - \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {4n(n - 1)a_nx^{n-1}} + \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {3a_nx^n} = 0 \)
Toplam işlemlerinde \( x \)'lerin üssünü eşitlemek için birinci ve ikinci işlemin indislerini düzenleyelim.
\( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {(n + 4)(n + 3)(n + 2)(n + 1)a_{n+4}x^n} - \displaystyle\sum_{n=1}^\infty {4n(n + 1)a_{n+1}x^n} + \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {3a_nx^n} = 0 \)
Tüm toplam işlemlerinde başlangıç indis değerlerini eşitlemek için birinci ve üçüncü işlemde fazla terimleri işlemin dışına alalım ve tüm indisleri 1 yapalım.
\( [24a_4x^0 + \displaystyle\sum_{n=1}^\infty {(n + 4)(n + 3)(n + 2)(n + 1)a_{n+4}x^n}] - \displaystyle\sum_{n=1}^\infty {4n(n + 1)a_{n+1}x^n} + [3a_0x^0 + \displaystyle\sum_{n=1}^\infty {3a_nx^n}] = 0 \)
Toplam işlemlerinin dışına aldığımız terimleri \( x \) üssüne göre ortak paranteze alalım.
\( 3a_0 + 24a_4 + \displaystyle\sum_{n=1}^\infty {(n + 4)(n + 3)(n + 2)(n + 1)a_{n+4}x^n} - \displaystyle\sum_{n=1}^\infty {4n(n + 1)a_{n+1}x^n} + \displaystyle\sum_{n=1}^\infty {3a_nx^n} = 0 \)
Toplam işlemlerinin tümünde \( x \)'lerin üsleri ve başlangıç indis değerleri eşit olduğu için işlemleri birleştirebiliriz.
\( 3a_0 + 24a_4 + \displaystyle\sum_{n=1}^\infty {[(n + 4)(n + 3)(n + 2)(n + 1)a_{n+4}x^n - 4n(n + 1)a_{n+1}x^n + 3a_nx^n]} = 0 \)
Toplam işlemi içindeki terimleri \( x^n \) parantezine alalım.
\( 3a_0 + 24a_4 + \displaystyle\sum_{n=1}^\infty {[(n + 4)(n + 3)(n + 2)(n + 1)a_{n+4} - 4n(n + 1)a_{n+1} + 3a_n]x^n} = 0 \)
Bir kuvvet serisi sıfıra eşitse her \( x^n \) teriminin katsayısı ayrı ayrı sıfıra eşittir.
Sabit terimin katsayısı sıfıra eşittir.
\( 3a_0 + 24a_4 = 0 \)
\( a_4 = -\dfrac{a_0}{8} \)
\( n \ge 1 \) olmak üzere, \( x^n \) terimlerinin katsayısı sıfıra eşittir.
\( (n + 4)(n + 3)(n + 2)(n + 1)a_{n+4} - 4n(n + 1)a_{n+1} + 3a_n = 0 \)
\( a_{n+4} = \dfrac{4n(n + 1)a_{n+1} - 3a_n}{(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4)} \)
Bu formülü kullanarak ilk birkaç \( n \) değeri için \( a_n \) değerlerini hesaplayalım (ikinci sütun) ve bu değerleri yazabildiğimiz en küçük indis değerli katsayılar cinsinden ifade edelim.
| \( \) | \( a_4 = -\dfrac{a_0}{8} \) |
| \( n = 1 \) | \( a_5 = \dfrac{4(1)(2)a_2 - 3a_1}{(2)(3)(4)(5)} = \dfrac{8a_2 - 3a_1}{120} \) |
| \( n = 2 \) | \( a_6 = \dfrac{4(2)(3)a_3 - 3a_2}{(3)(4)(5)(6)} = \dfrac{24a_3 - 3a_2}{360} \) |
| \( n = 3 \) | \( a_7 = \dfrac{4(3)(4)a_4 - 3a_3}{(4)(5)(6)(7)} = \dfrac{48(-\frac{a_0}{8}) - 3a_3}{840} = -\dfrac{6a_0 + 3a_3}{840} \) |
Buna göre denklemin çözümünün ilk 8 terimi aşağıdaki gibi bulunur.
\( y = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 - \dfrac{a_0}{8}x^4 + \left( \dfrac{8a_2 - 3a_1}{120} \right)x^5 + \left( \dfrac{24a_3 - 3a_2}{360} \right)x^6 - \left( \dfrac{6a_0 + 3a_3}{840} \right)x^7 + \ldots \)
\( y'' - \left( \dfrac{x^2}{4} + 1 \right)y = 0 \)
\( y(0) = -1, \quad y'(0) = 7 \)
denkleminin verilen başlangıç değerleri için çözümünü bulunuz.
Çözümü GösterVerilen denklemin katsayıları birer polinom olduğu için her biri tüm reel sayılarda analitiktir, dolayısıyla denklemin aşağıdaki formda bir kuvvet serisi çözümü olduğunu varsayabiliriz.
\( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {a_n(x - x_0)^n} \)
Çözümün analitik olduğu noktalar arasından \( x_0 = 0 \) seçerek çözümü aşağıdaki şekilde belirleyelim.
\( y = \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {a_nx^n} \)
Çözümün birinci ve ikinci türevlerini alalım.
\( y' = \displaystyle\sum_{n=1}^\infty {na_nx^{n-1}} \)
\( y'' = \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {n(n - 1)a_nx^{n-2}} \)
Çözümü ve türevlerini denklemde yerine koyalım.
\( y'' - \left( \dfrac{x^2}{4} + 1 \right)y = 0 \)
\( \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {n(n - 1)a_nx^{n-2}} - \left( \dfrac{x^2}{4} + 1 \right)\displaystyle\sum_{n=0}^\infty {a_nx^n} = 0 \)
Birinci toplam işlemini \( \frac{x^2}{4} + 1 \) parantezine dağıtalım.
\( \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {n(n - 1)a_nx^{n-2}} - \dfrac{x^2}{4}\displaystyle\sum_{n=0}^\infty {a_nx^n} - \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {a_nx^n} = 0 \)
Toplam işlemi dışındaki katsayıları içeri alalım.
\( \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {n(n - 1)a_nx^{n-2}} - \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {\dfrac{1}{4}a_nx^{n+2}} - \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {a_nx^n} = 0 \)
Toplam işlemlerinde \( x \)'lerin üssünü eşitlemek için birinci ve ikinci işlemin indislerini düzenleyelim.
\( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {(n + 2)(n + 1)a_{n+2}x^n} - \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {\dfrac{1}{4}a_{n-2}x^n} - \displaystyle\sum_{n=0}^\infty {a_nx^n} = 0 \)
Tüm toplam işlemlerinde başlangıç indis değerlerini eşitlemek için birinci ve üçüncü işlemde fazla terimleri işlemin dışına alalım ve tüm indisleri 2 yapalım.
\( [2a_2x^0 + 6a_3x^1 + \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {(n + 2)(n + 1)a_{n+2}x^n}] - \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {\dfrac{1}{4}a_{n-2}x^n} - [a_0x^0 + a_1x^1 + \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {a_nx^n}] = 0 \)
Toplam işlemlerinin dışına aldığımız terimleri \( x \) üssüne göre ortak paranteze alalım.
\( 2a_2 - a_0 + (6a_3 - a_1)x + \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {(n + 2)(n + 1)a_{n+2}x^n} - \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {\dfrac{1}{4}a_{n-2}x^n} - \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {a_nx^n} = 0 \)
Toplam işlemlerinin tümünde \( x \)'lerin üsleri ve başlangıç indis değerleri eşit olduğu için işlemleri birleştirebiliriz.
\( 2a_2 - a_0 + (6a_3 - a_1)x + \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {[(n + 2)(n + 1)a_{n+2}x^n - \dfrac{1}{4}a_{n-2}x^n - a_nx^n]} = 0 \)
Toplam işlemi içindeki terimleri \( x^n \) ve ortak katsayı parantezine alalım.
\( 2a_2 - a_0 + (6a_3 - a_1)x + \displaystyle\sum_{n=2}^\infty {[(n + 2)(n + 1)a_{n+2} - \dfrac{1}{4}a_{n-2} - a_n]x^n} = 0 \)
Bir kuvvet serisi sıfıra eşitse her \( x^n \) teriminin katsayısı ayrı ayrı sıfıra eşittir.
Sabit terimin katsayısı sıfıra eşittir.
\( 2a_2 - a_0 = 0 \)
\( a_2 = \dfrac{a_0}{2} \)
\( x \) teriminin katsayısı sıfıra eşittir.
\( 6a_3 - a_1 = 0 \)
\( a_3 = \dfrac{a_1}{6} \)
\( n \ge 2 \) olmak üzere, \( x^n \) terimlerinin katsayısı sıfıra eşittir.
\( (n + 2)(n + 1)a_{n+2} - \dfrac{1}{4}a_{n-2} - a_n = 0 \)
\( a_{n+2} = \dfrac{a_{n-2} + 4a_n}{4(n + 1)(n + 2)} \)
Bu formülü kullanarak ilk birkaç \( n \) değeri için \( a_n \) değerlerini hesaplayalım (ikinci sütun) ve bu değerleri yazabildiğimiz en küçük indis değerli katsayılar cinsinden ifade edelim.
| \( \) | \( a_2 = \dfrac{a_0}{2} \) | \( \) |
| \( \) | \( a_3 = \dfrac{a_1}{6} \) | \( \) |
| \( n = 2 \) | \( a_4 = \dfrac{a_0 + 4a_2}{4 \cdot 3 \cdot 4} = \dfrac{a_0 + 4(\frac{a_0}{2})}{48} \) | \( = \dfrac{a_0}{16} \) |
| \( n = 3 \) | \( a_5 = \dfrac{a_1 + 4a_3}{4 \cdot 4 \cdot 5} = \dfrac{a_1 + 4(\frac{a_1}{6})}{80} \) | \( = \dfrac{a_1}{48} \) |
| \( n = 4 \) | \( a_6 = \dfrac{a_2 + 4a_4}{4 \cdot 5 \cdot 6} = \dfrac{\frac{a_0}{2} + 4(\frac{a_0}{16})}{120} \) | \( = \dfrac{a_0}{160} \) |
| \( n = 5 \) | \( a_7 = \dfrac{a_3 + 4a_5}{4 \cdot 6 \cdot 7} = \dfrac{\frac{a_1}{6} + 4(\frac{a_1}{48})}{168} \) | \( = \dfrac{a_1}{672} \) |
Buna göre denklemin çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + a_4x^4 + a_5x^5 + a_6x^6 + a_7x_7 + \ldots \)
\( = a_0 + a_1x + \dfrac{a_0x^2}{2} + \dfrac{a_1x^3}{6} + \dfrac{a_0x^4}{16} + \dfrac{a_1x^5}{48} + \dfrac{a_0x^6}{160} + \dfrac{a_1x^7}{672} + \ldots \)
Terimleri bilinmeyen katsayı parantezine alalım.
\( = a_0\left( 1 + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{16} + \dfrac{x^6}{160} + \ldots \right) + a_1\left( x + \dfrac{x^3}{6} + \dfrac{x^5}{48} + \dfrac{x^7}{672} + \ldots \right) \)
\( y(0) = -1, y'(0) = 7 \) başlangıç değerlerini denklemlerde yerine koyalım.
\( y' = a_0\left( x + \dfrac{x^3}{4} + \dfrac{3x^5}{80} + \ldots \right) + a_1\left( 1 + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{5x^4}{48} + \dfrac{x^6}{96} + \ldots \right) \)
\( \begin{cases} -1 = a_0\left( 1 + \dfrac{0^2}{2} + \dfrac{0^4}{16} + \dfrac{0^6}{160} + \ldots \right) + a_1\left( 0 + \dfrac{0^3}{6} + \dfrac{0^5}{48} + \dfrac{0^7}{672} + \ldots \right) \\ 7 = a_0\left( 0 + \dfrac{0^3}{4} + \dfrac{3(0)^5}{80} + \ldots \right) + a_1\left( 1 + \dfrac{0^2}{2} + \dfrac{5(0)^4}{48} + \dfrac{0^6}{96} + \ldots \right) \end{cases} \)
\( a_0 = -1, \quad a_1 = 7 \)
Denklemin verilen başlangıç değerleri için çözümü aşağıdaki gibi bulunur.
\( y = -\left( 1 + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{16} + \dfrac{x^6}{160} + \ldots \right) + 7\left( x + \dfrac{x^3}{6} + \dfrac{x^5}{48} + \dfrac{x^7}{672} + \ldots \right) \)