Cramer Kuralı
Cramer kuralı lineer denklem sistemlerini determinant yardımıyla sadece belirli bir bilinmeyen için çözmemizi sağlayan bir formül sunar.
\( AX = B \) şeklindeki bir matris denkleminde,
\( X \): \( n \times 1 \) boyutlarında bilinmeyenler matrisi
\( A \): \( m \times n \) boyutlarında katsayılar matrisi
\( B \): \( m \times 1 \) boyutlarında sabit terimler matrisi
\( A_i \): Katsayı matrisinde \( i \). sütununun \( B \) matrisi ile yer değiştirdiği matris olmak üzere,
\( x_i \) bilinmeyeninin çözümü aşağıdaki formülle bulunur.
\( x_i = \dfrac{det(A_i)}{det(A)} \)
Aşağıdaki denklem sistemini Cramer kuralını kullanarak çözelim.
\( 4x - y = 5 \)
\( x + 2y = 8 \)
Verilen denklem sistemi için katsayı (\( A \)) ve sabit terim (\( B \)) matrislerini yazalım.
\( A = \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \)
\( B = \begin{bmatrix} \textcolor{red}{5} \\ \textcolor{red}{8} \end{bmatrix} \)
Katsayı matrisinde birinci sütuna karşılık gelen \( x \) bilinmeyeni için \( A_x \) matrisinde birinci sütun \( B \) matrisi ile yer değiştirir.
\( A_x = \begin{bmatrix} \textcolor{red}{5} & -1 \\ \textcolor{red}{8} & 2 \end{bmatrix} \)
Cramer kuralını kullanarak \( x \) bilinmeyeninin değerini bulalım.
\( x = \dfrac{det(A_x)}{det(A)} \)
\( = \dfrac{det\begin{bmatrix} 5 & -1 \\ 8 & 2 \end{bmatrix}}{det\begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}} \)
\( = \dfrac{5 \cdot 2 - 8 \cdot (-1)}{4 \cdot 2 - 1 \cdot (-1)} \)
\( = \dfrac{18}{9} = 2 \)
Katsayı matrisinde ikinci sütuna karşılık gelen \( y \) bilinmeyeni için \( A_y \) matrisinde ikinci sütun \( B \) matrisi ile yer değiştirir.
\( A_y = \begin{bmatrix} 4 & \textcolor{red}{5} \\ 1 & \textcolor{red}{8} \end{bmatrix} \)
Cramer kuralını kullanarak \( y \) bilinmeyeninin değerini bulalım.
\( y = \dfrac{det(A_y)}{det(A)} \)
\( = \dfrac{det\begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 1 & 8 \end{bmatrix}}{det\begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}} \)
\( = \dfrac{4 \cdot 8 - 1 \cdot 5}{4 \cdot 2 - 1 \cdot (-1)} \)
\( = \dfrac{27}{9} = 3 \)
Buna göre denklem sisteminin çözüm kümesi aşağıdaki gibi bulunur.
Çözüm kümesi: \( (x, y) = (2, 3) \)
Aşağıdaki denklem sistemini Cramer kuralını kullanarak çözünüz.
\( 2x - 5y = 3 \)
\( x + 3y = 1 \)
Çözümü GösterVerilen denklem sistemi için katsayı (\( A \)) ve sabit terim (\( B \)) matrislerini yazalım.
\( A = \begin{bmatrix} 2 & -5 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \)
\( B = \begin{bmatrix} \textcolor{red}{3} \\ \textcolor{red}{1} \end{bmatrix} \)
Katsayı matrisinde birinci sütuna karşılık gelen \( x \) bilinmeyeni için \( A_x \) matrisinde birinci sütun \( B \) matrisi ile yer değiştirir.
\( A_x = \begin{bmatrix} \textcolor{red}{3} & -5 \\ \textcolor{red}{1} & 3 \end{bmatrix} \)
Cramer kuralını kullanarak \( x \) bilinmeyeninin değerini bulalım.
\( x = \dfrac{det(A_x)}{det(A)} \)
\( = \dfrac{det\begin{bmatrix} 3 & -5 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}}{det\begin{bmatrix} 2 & -5 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}} \)
\( 2 \times 2 \) matris determinant formülünü kullanalım.
\( = \dfrac{3 \cdot 3 - 1 \cdot (-5)}{2 \cdot 3 - 1 \cdot (-5)} \)
\( = \dfrac{14}{11} \)
Katsayı matrisinde ikinci sütuna karşılık gelen \( y \) bilinmeyeni için \( A_y \) matrisinde ikinci sütun \( B \) matrisi ile yer değiştirir.
\( A_y = \begin{bmatrix} 2 & \textcolor{red}{3} \\ 1 & \textcolor{red}{1} \end{bmatrix} \)
Cramer kuralını kullanarak \( y \) bilinmeyeninin değerini bulalım.
\( y = \dfrac{det(A_y)}{det(A)} \)
\( = \dfrac{det\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}}{det\begin{bmatrix} 2 & -5 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}} \)
\( 2 \times 2 \) matris determinant formülünü kullanalım.
\( = \dfrac{2 \cdot 1 - 1 \cdot 3}{2 \cdot 3 - 1 \cdot (-5)} \)
\( = -\dfrac{1}{11} \)
Buna göre denklem sisteminin çözüm kümesi aşağıdaki gibi bulunur.
Çözüm kümesi: \( (x, y) = \left( \dfrac{14}{11}, -\dfrac{1}{11} \right) \)
Aşağıdaki denklem sistemini Cramer kuralını kullanarak çözünüz.
\( 3x + y = 1 \)
\( x + 2y + z = 0 \)
\( y + 3z = 0 \)
Çözümü GösterVerilen denklem sistemi için katsayı (\( A \)) ve sabit terim (\( B \)) matrislerini yazalım.
\( A = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \end{bmatrix} \)
\( B = \begin{bmatrix} \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{red}{0} \\ \textcolor{red}{0} \end{bmatrix} \)
Katsayı matrisinde birinci sütuna karşılık gelen \( x \) bilinmeyeni için \( A_x \) matrisinde birinci sütun \( B \) matrisi ile yer değiştirir.
\( A_x = \begin{bmatrix} \textcolor{red}{1} & 1 & 0 \\ \textcolor{red}{0} & 2 & 1 \\ \textcolor{red}{0} & 1 & 3 \end{bmatrix} \)
Cramer kuralını kullanarak \( x \) bilinmeyeninin değerini bulalım.
\( x = \dfrac{det(A_x)}{det(A)} \)
\( = \dfrac{det\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \end{bmatrix}}{det\begin{bmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \end{bmatrix}} \)
\( 3 \times 3 \) matris determinant formülünü (Sarrus kuralını) kullanalım.
\( = \dfrac{1 \cdot 2 \cdot 3 + 1 \cdot 1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 \cdot 1 - (0 \cdot 2 \cdot 0 + 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 0 \cdot 1)}{3 \cdot 2 \cdot 3 + 1 \cdot 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 \cdot 1 - (0 \cdot 2 \cdot 0 + 1 \cdot 1 \cdot 3 + 3 \cdot 1 \cdot 1)} \)
\( = \dfrac{5}{12} \)
Katsayı matrisinde ikinci sütuna karşılık gelen \( y \) bilinmeyeni için \( A_y \) matrisinde ikinci sütun \( B \) matrisi ile yer değiştirir.
\( A_y = \begin{bmatrix} 3 & \textcolor{red}{1} & 0 \\ 1 & \textcolor{red}{0} & 1 \\ 0 & \textcolor{red}{0} & 3 \end{bmatrix} \)
Cramer kuralını kullanarak \( y \) bilinmeyeninin değerini bulalım.
\( y = \dfrac{det(A_y)}{det(A)} \)
\( = \dfrac{det\begin{bmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}}{det\begin{bmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \end{bmatrix}} \)
\( 3 \times 3 \) matris determinant formülünü (Sarrus kuralını) kullanalım.
\( = \dfrac{3 \cdot 0 \cdot 3 + 1 \cdot 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 \cdot 0 - (0 \cdot 0 \cdot 0 + 0 \cdot 1 \cdot 3 + 3 \cdot 1 \cdot 1)}{12} \)
\( = -\dfrac{3}{12} = -\dfrac{1}{4} \)
Katsayı matrisinde üçüncü sütuna karşılık gelen \( z \) bilinmeyeni için \( A_z \) matrisinde ikinci sütun \( B \) matrisi ile yer değiştirir.
\( A_z = \begin{bmatrix} 3 & 1 & \textcolor{red}{1} \\ 1 & 2 & \textcolor{red}{0} \\ 0 & 1 & \textcolor{red}{0} \end{bmatrix} \)
Cramer kuralını kullanarak \( z \) bilinmeyeninin değerini bulalım.
\( z = \dfrac{det(A_z)}{det(A)} \)
\( = \dfrac{det\begin{bmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}}{det\begin{bmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \end{bmatrix}} \)
\( 3 \times 3 \) matris determinant formülünü (Sarrus kuralını) kullanalım.
\( = \dfrac{3 \cdot 2 \cdot 0 + 1 \cdot 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 \cdot 1 - (0 \cdot 2 \cdot 1 + 1 \cdot 0 \cdot 3 + 0 \cdot 1 \cdot 1)}{12} \)
\( = \dfrac{1}{12} \)
Buna göre denklem sisteminin çözüm kümesi aşağıdaki gibi bulunur.
Çözüm kümesi: \( (x, y, z) = \left( \dfrac{5}{12}, -\dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{12} \right) \)
Aşağıdaki denklem sistemini Cramer kuralını kullanarak çözünüz.
\( x + 2y - z = -4 \)
\( 2x + y - z = -1 \)
\( -3x - 2y + z = 0 \)
Çözümü GösterVerilen denklem sistemi için katsayı (\( A \)) ve sabit terim (\( B \)) matrislerini yazalım.
\( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & -1 \\ -3 & -2 & 1 \end{bmatrix} \)
\( B = \begin{bmatrix} \textcolor{red}{-4} \\ \textcolor{red}{-1} \\ \textcolor{red}{0} \end{bmatrix} \)
Katsayı matrisinde birinci sütuna karşılık gelen \( x \) bilinmeyeni için \( A_x \) matrisinde birinci sütun \( B \) matrisi ile yer değiştirir.
\( A_x = \begin{bmatrix} \textcolor{red}{-4} & 2 & -1 \\ \textcolor{red}{-1} & 1 & -1 \\ \textcolor{red}{0} & -2 & 1 \end{bmatrix} \)
Cramer kuralını kullanarak \( x \) bilinmeyeninin değerini bulalım.
\( x = \dfrac{det(A_x)}{det(A)} \)
\( = \dfrac{det\begin{bmatrix} -4 & 2 & -1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 1 \end{bmatrix}}{det\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & -1 \\ -3 & -2 & 1 \end{bmatrix}} \)
\( 3 \times 3 \) matris determinant formülünü (Sarrus kuralını) kullanalım.
\( = \dfrac{(-4) \cdot 1 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) \cdot 0 + (-1) \cdot (-1) \cdot (-2) - (0 \cdot 1 \cdot (-1) + (-2) \cdot (-1) \cdot (-4) + 1 \cdot (-1) \cdot 2)}{1 \cdot 1 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) \cdot (-3) + (-1) \cdot 2 \cdot (-2) - ((-3) \cdot 1 \cdot (-1) + (-2) \cdot (-1) \cdot 1 + 1 \cdot 2 \cdot 2)} \)
\( = \dfrac{4}{2} = 2 \)
Katsayı matrisinde ikinci sütuna karşılık gelen \( y \) bilinmeyeni için \( A_y \) matrisinde ikinci sütun \( B \) matrisi ile yer değiştirir.
\( A_y = \begin{bmatrix} 1 & \textcolor{red}{-4} & -1 \\ 2 & \textcolor{red}{-1} & -1 \\ -3 & \textcolor{red}{0} & 1 \end{bmatrix} \)
Cramer kuralını kullanarak \( y \) bilinmeyeninin değerini bulalım.
\( y = \dfrac{det(A_y)}{det(A)} \)
\( = \dfrac{det\begin{bmatrix} 1 & -4 & -1 \\ 2 & -1 & -1 \\ -3 & 0 & 1 \end{bmatrix}}{det\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & -1 \\ -3 & -2 & 1 \end{bmatrix}} \)
\( 3 \times 3 \) matris determinant formülünü (Sarrus kuralını) kullanalım.
\( = \dfrac{1 \cdot (-1) \cdot 1 + (-4) \cdot (-1) \cdot (-3) + (-1) \cdot 2 \cdot 0 - ((-3) \cdot (-1) \cdot (-1) + 0 \cdot (-1) \cdot 1 + 1 \cdot 2 \cdot (-4))}{2} \)
\( = \dfrac{-2}{2} = -1 \)
Katsayı matrisinde üçüncü sütuna karşılık gelen \( z \) bilinmeyeni için \( A_z \) matrisinde ikinci sütun \( B \) matrisi ile yer değiştirir.
\( A_z = \begin{bmatrix} 1 & 2 & \textcolor{red}{-4} \\ 2 & 1 & \textcolor{red}{-1} \\ -3 & -2 & \textcolor{red}{0} \end{bmatrix} \)
Cramer kuralını kullanarak \( z \) bilinmeyeninin değerini bulalım.
\( z = \dfrac{det(A_z)}{det(A)} \)
\( = \dfrac{det\begin{bmatrix} 1 & 2 & -4 \\ 2 & 1 & -1 \\ -3 & -2 & 0 \end{bmatrix}}{det\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & -1 \\ -3 & -2 & 1 \end{bmatrix}} \)
\( 3 \times 3 \) matris determinant formülünü (Sarrus kuralını) kullanalım.
\( = \dfrac{1 \cdot 1 \cdot 0 + 2 \cdot (-1) \cdot (-3) + (-4) \cdot 2 \cdot (-2) - ((-3) \cdot 1 \cdot (-4) + (-2) \cdot (-1) \cdot 1 + 0 \cdot 2 \cdot 2)}{2} \)
\( = \dfrac{8}{2} = 4 \)
Buna göre denklem sisteminin çözüm kümesi aşağıdaki gibi bulunur.
Çözüm kümesi: \( (x, y, z) = (2, -1, 4) \)