Parametrik Denklemlerin Türevi

Önce değişkenlerin parametreye göre türevini alalım.

\( \dfrac{dx}{ds} = 3\sin^2{s}\cos{s} \)

\( \dfrac{dy}{ds} = -3\cos^2{s}\sin{s} \)

Değişkenlerin birbirine göre türevini bulalım.

\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/ds}{dx/ds} \)

\( = \dfrac{-3\cos^2{s}\sin{s}}{3\sin^2{s}\cos{s}} \)

\( = -\cot{s} \) bulunur.

Denklemleri düzenleyelim.

\( x(t) = \dfrac{t^{-2}}{2} + t^{-3} \)

\( y(t) = \dfrac{t^{-2}}{2} - t^{-3} \)

Değişkenlerin parametreye göre türevini alalım.

\( \dfrac{dx}{dt} = \dfrac{(-2) \cdot t^{-3}}{2} + (-3) \cdot t^{-4} \)

\( = -t^{-3} - 3t^{-4} \)

\( \dfrac{dy}{dt} = \dfrac{(-2) \cdot t^{-3}}{2} - (-3) \cdot t^{-4} \)

\( = -t^{-3} + 3t^{-4} \)

Değişkenlerin birbirine göre türevini bulalım.

\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt} \)

\( = \dfrac{-t^{-3} + 3t^{-4}}{-t^{-3} - 3t^{-4}} \)

\( = \dfrac{-t^{-4}(t - 3)}{-t^{-4}(t + 3)} \)

\( = \dfrac{t - 3}{t + 3} \) bulunur.

\( x \) parametresine bağlı iki fonksiyondan \( u \)'nun \( v \)'ye göre türevi, bu fonksiyonların \( x \)'e göre türevlerinin oranına eşittir.

\( \dfrac{du}{dv} = \dfrac{du/dx}{dv/dx} \)

\( u \)'nın \( x \)'e göre türevini bulalım.

\( \dfrac{du}{dx} = \dfrac{(\tan{x})'}{\tan{x}} \)

\( = \dfrac{\frac{1}{\cos^2{x}}}{\frac{\sin{x}}{\cos{x}}} \)

\( = \dfrac{1}{\sin{x}\cos{x}} \)

\( v \)'nin \( x \)'e göre türevini bulalım.

\( \dfrac{dv}{dx} = \dfrac{(\cos{x})'}{2\sqrt{\cos{x}}} \)

\( = -\dfrac{\sin{x}}{2\sqrt{\cos{x}}} \)

Değişkenlerin birbirine göre türevini bulalım.

\( \dfrac{du}{dv} = \dfrac{du/dx}{dv/dx} \)

\( = \dfrac{\frac{1}{\sin{x}\cos{x}}}{-\frac{\sin{x}}{2\sqrt{\cos{x}}}} \)

\( = -\dfrac{2}{\sin^2{x}\sqrt{\cos{x}}} \)

\( = -\dfrac{2\csc^2{x}}{\sqrt{\cos{x}}} \) bulunur.

\( x \) değişkenine bağlı iki değişken tanımlayalım.

\( u = x^5, \quad v = x^2 \)

Elde ettiğimiz denklem \( x \) değişkenine bağlı \( u \) ve \( v \) değişkenlerinden oluşan bir parametrik denklemdir.

Soruda parametrik denklemin \( u \) değişkeninin \( v \) değişkenine göre türevi istenmektedir. Bu türev \( \frac{du}{dv} \) şeklinde ifade edilir.

Parametrik denklemlerin türev formülü aşağıdaki gibidir.

\( \dfrac{du}{dv} = \dfrac{du/dx}{dv/dx} \)

Değişkenlerin \( x \)'e göre türevini alalım.

\( \dfrac{du}{dx} = 5x^4 \)

\( \dfrac{dv}{dx} = 2x \)

Buna göre istenen türevi aşağıdaki şekilde buluruz.

\( \dfrac{du}{dv} = \dfrac{5x^4}{2x} = \dfrac{5x^3}{2} \)

\( y^2 \) ve \( x^2 \) ifadelerini parametrik denklem şeklinde tanımlayalım.

\( y^2 = u, \quad x^2 = v \)

\( \dfrac{d(y^2)}{d(x^2)} = \dfrac{du}{dv} \)

\( x \) parametresine bağlı iki fonksiyondan \( u \)'nun \( v \)'ye göre türevi, bu fonksiyonların \( x \)'e göre türevlerinin oranına eşittir.

\( = \dfrac{du/dx}{dv/dx} \)

\( \dfrac{du}{dx} = \dfrac{d(y^2)}{dx} \)

\( = \dfrac{d(y^2)}{dy} \cdot \dfrac{dy}{dx} \)

\( = 2y \cdot (3^{x^3} \cdot 3x^2 \cdot \ln{3}) \)

\( y = 3^{x^3} \) yazalım.

\( = 2 \cdot 3^{x^3} \cdot 3^{x^3} \cdot 3x^2 \cdot \ln{3} \)

\( = 6x^2 \cdot 3^{2x^3} \cdot \ln{3} \)

\( \dfrac{dv}{dx} = \dfrac{d(x^2)}{dx} \)

\( = 2x \)

\( \dfrac{d(y^2)}{d(x^2)} = \dfrac{du/dx}{dv/dx} \)

\( = \dfrac{6x^2 \cdot 3^{2x^3} \cdot \ln{3}}{2x} \)

\( = 3x \cdot 3^{2x^3} \cdot \ln{3} \) bulunur.

\( \frac{dy}{dx} \) ifadesi \( y \) değişkeninin \( x \) değişkenine göre birinci türevi, \( \frac{d^2y}{dx^2} \) ifadesi ise ikinci türevidir.

Bir parametrik denklemin birinci türevi aşağıdaki formülle alınır.

\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt} \)

\( = \dfrac{\frac{d}{dt} (t^2 + 2t)}{\frac{d}{dt} (3t + 2)} \)

\( = \dfrac{2t + 2}{3} = \dfrac{2t}{3} + \dfrac{2}{3} \)

Bir parametrik denklemin ikinci türevi aşağıdaki formülle alınır.

\( \dfrac{d^2y}{dx^2} = \dfrac{\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx})}{\frac{dx}{dt}} \)

\( = \dfrac{\frac{d}{dt}(\frac{2t}{3} + \frac{2}{3})}{\frac{d}{dt} (3t + 2)} \)

\( = \dfrac{\frac{2}{3}}{3} = \dfrac{2}{9} \) bulunur.

Değişkenlerin parametreye göre türevini alalım.

\( \dfrac{dx}{dt} = \dfrac{1}{t} \)

\( \dfrac{dy}{dt} = 18t^2 \)

Değişkenlerin birbirine göre birinci türevini bulalım.

\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt} \)

\( = \dfrac{18t^2}{\frac{1}{t}} = 18t^3 \)

Değişkenlerin birbirine göre ikinci türevini bulalım.

\( \dfrac{d^2y}{dx^2} = \dfrac{\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx})}{\frac{dx}{dt}} \)

\( = \dfrac{\frac{d}{dt} (18t^3)}{\frac{d}{dt} (\ln{t})} = \dfrac{54t^2}{\frac{1}{t}} = 54t^3 \)

\( \dfrac{d^2y}{dx^2} = 432 \) eşitliğini sağlayan \( t \) değerini bulalım.

\( 54t^3 = 432 \)

\( t^3 = 8 \)

\( t = 2 \)

Eğri üzerinde \( t = 2 \) değerindeki noktanın kartezyen koordinatlarını bulalım.

\( x(2) = \ln{2} \)

\( y(2) = 6(2)^3 = 48 \)

\( A \) noktasının koordinatları \( A(\ln{2}, 48) \) olarak bulunur.

Verilen \( x(t) \) ve \( y(t) \) denklemleri cismin \( t \) anındaki \( x \) ve \( y \) koordinatlarını vermektedir.

Bu denklemlerin türevi cismin \( x \) ve \( y \) eksenleri boyunca olan hızlarını verir.

Cismin tamamen durması demek yatay ve dikey hızlarının ikisinin birlikte sıfıra eşit olması demektir.

\( \dfrac{dx}{dt} = \dfrac{dy}{dt} = 0 \)

Her iki eksen boyunca hız denklemlerini bulalım.

\( x'(t) = v_x(t) = 4t^3 - 4t \)

\( y'(t) = v_y(t) = 2t - 2 \)

Bu denklemleri ayrı ayrı sıfıra eşitleyelim.

\( v_x(t) = 4t^3 - 4t = 0 \)

\( t(t + 1)(t - 1) = 0 \)

Buna göre cismin \( t = -1 \), \( t = 0 \) ve \( t = 1 \) anlarında \( x \) ekseni boyunca (yatay) hızı sıfır olur.

\( v_y(t) = 2t - 2 = 0 \)

\( t - 1 = 0 \)

Buna göre cismin \( t = 1 \) anında \( y \) ekseni boyunca (dikey) hızı sıfır olur.

Hem yatay hem dikey hızların sıfır olduğu, yani cismin tamamen durduğu zaman \( t = 1 \) anıdır.

Cismin \( t = 1 \) anındaki konumunu bulalım.

\( x(1) = 1^4 - 2(1)^2 = -1 \)

\( y(1) = 1^2 - 2(1) = -1 \)

Buna göre cisim \( (-1, -1) \) noktasında tamamen durur.

Bir parametrik eğriye bir noktada çizilen teğetin \( y \) eksenine paralel olması için o noktada \( x \) değişkeninin \( y \) değişkenine göre türevi sıfır olmalıdır.

\( \dfrac{dx}{dy} = \dfrac{dx/dt}{dy/dt} = 0 \)

Bu türev formülünün sıfır olabilmesi için \( \frac{dx}{dt} = 0 \) ve \( \frac{dy}{dt} \ne 0 \) olmalıdır.

\( \dfrac{dx}{dt} = 0 \)

\( -2t + 2 = 0 \)

\( t = 1 \)

Bu değerin \( \frac{dy}{dt} \) ifadesin sıfır yapıp yapmadığını kontrol edelim.

\( \dfrac{dy}{dt} = -3t^2 + 8 \)

\( \dfrac{dy}{dt}|_{t=1} = -3(1)^2 + 8 = 5 \)

Buna göre \( t = 1 \) değerindeki noktada eğriye çizilen teğet \( y \) eksenine paralel olur.

\( t = 1 \) için \( (x, y) \) koordinatlarını bulalım.

\( x(1) = -1^2 + 2(1) + 3 = 4 \)

\( y(1) = -1^3 + 8(1) = 7 \)

Eğriye çizilen teğetin \( y \) eksenine paralel olduğu nokta \( t = 1 \) değerindeki \( (4, 7) \) noktasıdır.

Parametrik eğrinin grafiği ve bu noktada çizilen teğet aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

Değişkenlerin parametreye göre türevini alalım.

\( \dfrac{dx}{dt} = \dfrac{(1 + 2t)'}{1 + 2t} = \dfrac{2}{2t + 1} \)

\( \dfrac{dy}{dt} = \dfrac{(1 - 2t)'}{1 - 2t} = \dfrac{2}{2t - 1} \)

Değişkenlerin birbirine göre türevini bulalım.

\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt} \)

\( = \dfrac{\frac{2}{2t - 1}}{\frac{2}{2t + 1}} = \dfrac{2t + 1}{2t - 1} \)

Bulduğumuz türev ifadesini eğim değeri olan -3'e eşitleyelim.

\( \dfrac{2t + 1}{2t - 1} = -3 \)

\( 2t + 1 = -6t + 3 \)

\( 8t = 2 \)

\( t = \dfrac{1}{4} \)

Buna göre eğri üzerinde \( t = \frac{1}{4} \) değerindeki noktada eğim -3 olur.

Bu \( t \) değerini parametrik denklemde yerine koyarak eğimin -3 olduğu noktanın kartezyen koordinatlarını bulalım.

\( x(\frac{1}{4}) = \ln(1 + 2(\frac{1}{4})) = \ln{\frac{3}{2}} \)

\( y(\frac{1}{4}) = \ln(1 - 2(\frac{1}{4})) = \ln{\frac{1}{2}} \)

İstenen noktanın koordinatları \( (\ln{\frac{3}{2}}, \ln{\frac{1}{2}}) \) olarak bulunur.

Eğriye \( \theta = \frac{\pi}{8} \) değerindeki noktada çizilen teğet doğrunun eğimine \( m_t \), aynı noktadaki normal doğrunun eğimine \( m_n \) diyelim.

Değişkenlerin parametreye göre türevini alalım.

\( \dfrac{dx}{d\theta} = -2\sin(2\theta) \)

\( \dfrac{dy}{d\theta} = -2\cos(2\theta) \)

Değişkenlerin birbirine göre türevini bulalım.

\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta} \)

\( = \dfrac{-2\cos(2\theta)}{-2\sin(2\theta)} = \dfrac{\cos(2\theta)}{\sin(2\theta)} \)

Değişkenlerin birbirine göre türevinde \( \theta = \frac{\pi}{8} \) yazarak eğriye bu noktada çizilen teğet doğrunun eğimini bulalım.

\( \dfrac{dy}{dx}|_{\theta = \frac{\pi}{8}} = \dfrac{\cos{\frac{2\pi}{8}}}{\sin{\frac{2\pi}{8}}} \)

\( = \dfrac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1 = m_t \)

Eğri üzerinde \( \theta = \frac{\pi}{8} \) değerindeki noktanın kartezyen koordinatlarını bulalım.

\( x(\dfrac{\pi}{8}) = \cos{\dfrac{2\pi}{8}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \)

\( y(\dfrac{\pi}{8}) = 1 - \sin{\dfrac{2\pi}{8}} = 1 - \dfrac{\sqrt{2}}{2} \)

Buna göre eğri üzerinde \( \theta = \frac{\pi}{8} \) değerindeki noktanın kartezyen koordinatları \( (\frac{\sqrt{2}}{2}, 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}) \) olur ve eğriye bu noktada çizilen teğet doğrunun eğimi \( m_t = 1 \) olur.

Bir noktadaki teğet ve normal doğrular birbirine dik olduğu için eğimlerinin çarpımı -1 olur.

\( m_t \cdot m_n = -1 \)

\( 1 \cdot m_n = -1 \Longrightarrow m_n = -1 \)

\( (\frac{\sqrt{2}}{2}, 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}) \) noktasından geçen ve eğimi \( -1 \) olan doğrunun denklemini bulalım.

\( y - y_1 = m_n(x - x_1) \)

\( y - (1 - \dfrac{\sqrt{2}}{2}) = -1(x - \dfrac{\sqrt{2}}{2}) \)

\( y - 1 + \dfrac{\sqrt{2}}{2} = -x + \dfrac{\sqrt{2}}{2} \)

\( y = -x + 1 \) bulunur.

Bir parametrik denklemin durağan noktaları kartezyen denklemlerinde olduğu gibi \( y \) değişkeninin \( x \) değişkenine göre türevinin sıfır olduğu noktalarda oluşur.

\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = 0 \)

Parametrik denklemin türev formülü düşünüldüğünde, durağan noktalar \( y \) değişkeninin parametreye göre türevinin sıfır olduğu, ama \( x \) değişkeninin parametreye göre türevinin sıfırdan farklı olduğu noktalardır.

\( \dfrac{dy}{d\theta} = 0, \quad \dfrac{dx}{d\theta} \ne 0 \)

Değişkenlerin parametreye göre türevini alalım.

\( \dfrac{dx}{d\theta} = 2 + \sin{\theta} \)

\( \dfrac{dy}{d\theta} = \cos{\theta} \)

Değişkenlerin birbirine göre türevini bulalım.

\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta} \)

\( = \dfrac{\cos{\theta}}{2 + \sin{\theta}} \)

Bulduğumuz birinci türev ifadesini sıfıra eşitleyelim.

\( \dfrac{\cos{\theta}}{2 + \sin{\theta}} = 0 \)

\( \cos{\theta} = 0 \)

\( 2 + \sin{\theta} \ne 0 \)

\( \cos{\theta} \) ifadesi \( [0, 2\pi] \) aralığında \( \theta \in \{\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\} \) değerlerinde sıfır olur. Her iki değerde de paydadaki \( 2 + \sin{\theta} \) ifadesi sıfırdan farklı olur.

Buna göre eğrinin \( \theta \in \{\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\} \) değerlerinde durağan noktaları vardır.

Bu \( \theta \) değerlerindeki \( (x(\theta), y(\theta)) \) noktalarını bulalım.

\( \theta = \dfrac{\pi}{2} \) için:

\( x(\frac{\pi}{2}) = 2 \cdot \frac{\pi}{2} - \cos{\frac{\pi}{2}} = \pi \)

\( y(\frac{\pi}{2}) = 1 + \sin{\frac{\pi}{2}} = 2 \)

\( \theta = \dfrac{3\pi}{2} \) için:

\( x(\frac{3\pi}{2}) = 2 \cdot \frac{3\pi}{2} - \cos{\frac{3\pi}{2}} = 3\pi \)

\( y(\frac{3\pi}{2}) = 1 + \sin{\frac{3\pi}{2}} = 0 \)

Buna göre eğrinin durağan noktalarının kartezyen koordinatları aşağıdaki gibi bulunur.

\( (x, y) = \{(\pi, 2), (3\pi, 0)\} \)

Önce eğriye \( A \) noktasında teğet olan doğrunun denklemini bulalım.

Eğrinin hangi \( t \) değerinde \( (4, -3) \) noktasından geçtiğini bulalım.

\( x(t) = t^2 = 4 \Longrightarrow t = \pm 2 \)

\( y(t) = \dfrac{6}{t} = -3 \Longrightarrow t = -2 \)

Ortak değer \( t = -2 \) olduğu için eğri bu \( t \) değerinde \( A \) noktasından geçer.

Teğet doğrunun eğimini bulmak için parametrik denklemin türevini bulalım.

Değişkenlerin parametreye göre türevini alalım.

\( \dfrac{dx}{dt} = 2t \)

\( \dfrac{dy}{dt} = -\dfrac{6}{t^2} \)

Değişkenlerin birbirine göre türevini bulalım.

\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt} \)

\( = \dfrac{-\frac{6}{t^2}}{2t} = -\dfrac{3}{t^3} \)

\( t = -2 \) değerindeki türev değerini bulalım.

\( \dfrac{dy}{dx}|_{t = -2} = -\dfrac{3}{(-2)^3} = \dfrac{3}{8} \)

Buna göre parametrik eğriye \( A \) noktasındaki teğet doğrunun eğimi \( \frac{3}{8} \) olarak bulunur.

\( A(4, -3) \) noktasından geçen ve eğimi \( \frac{3}{8} \) olan doğrunun denklemini bulalım.

\( y - y_1 = m(x - x_1) \)

\( y - (-3)) = \dfrac{3}{8}(x - 4) \)

\( 8y + 24 = 3x - 12 \)

\( 3x - 8y - 36 = 0 \)

İkinci adımda teğet doğru ile eğrinin tüm kesişim noktalarını bulalım.

Teğet doğrunun \( C \) eğrisi ile \( t \)'nin hangi değerlerinde kesiştiğini bulmak için parametrik eğri üzerindeki tüm noktaları temsil eden \( (t^2, \frac{6}{t}) \) sıralı ikilisini doğru denkleminde yerine koyalım.

\( 3x - 8y - 36 = 0 \)

\( 3t^2 - 8 \cdot \dfrac{6}{t} - 36 = 0 \)

\( 3t^3 - 48 - 36t = 0 \)

\( t^3 - 12t - 16 = 0 \)

İfadeyi çarpanlarına ayıralım.

\( (t + 2)^2(t - 4) = 0 \)

Doğrunun parametrik eğriye \( t = -2 \) değerinde teğet olduğunu biliyoruz.

Buna göre doğru eğriyi tekrar \( t = 4 \) değerinde keser.

Eğri üzerinde \( t = 4 \) değerindeki noktanın kartezyen koordinatlarını bulalım.

\( x(4) = 4^2 = 16 \)

\( y(4) = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2} \)

Teğet doğrunun eğriyi tekrar kestiği noktanın kartezyen koordinatları \( (16, \frac{3}{2}) \) olarak bulunur.

Aşağıdaki şekilde \( C \) eğrisiyle \( 3x - 8y - 36 = 0 \) doğrusunun kesişim noktaları gösterilmiştir.

Bir fonksiyonun birinci türevinin tanımlı ve sıfır olduğu noktalara durağan nokta denir.

Bir parametrik denklemin durağan noktaları kartezyen denklemlerinde olduğu gibi \( y \) değişkeninin \( x \) değişkenine göre türevinin sıfır olduğu noktalarda oluşur.

\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt} = 0 \)

Parametrik denklemin türev formülü düşünüldüğünde, durağan noktalar \( y \) değişkeninin parametreye göre türevinin sıfır olduğu, ama \( x \) değişkeninin parametreye göre türevinin sıfırdan farklı olduğu noktalardır.

\( \dfrac{dy}{dt} = 0, \quad \dfrac{dx}{dt} \ne 0 \)

Değişkenlerin parametreye göre türevini alalım.

\( \dfrac{dx}{dt} = 3t^2 \)

\( \dfrac{dy}{dt} = 6t + 3 \)

Değişkenlerin birbirine göre türevini bulalım.

\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt} \)

\( = \dfrac{6t + 3}{3t^2} = \dfrac{2t + 1}{t^2} \)

\( = \dfrac{2}{t} + \dfrac{1}{t^2} \)

Bulduğumuz birinci türev ifadesini sıfıra eşitleyelim.

\( \dfrac{2t + 1}{t^2} = 0 \)

\( t = -\dfrac{1}{2} \)

Bulduğumuz \( t \) değerinda payda sıfırdan farklı olduğu için eğrinin \( t = -\frac{1}{2} \) değerinde durağan noktası vardır.

Parametrik denklemin ikinci türevini bulalım.

\( \dfrac{d^2y}{dx^2} = \dfrac{\frac{d}{dt} (\frac{dy}{dx})}{\frac{dx}{dt}} \)

\( = \dfrac{\frac{d}{dt}(\frac{2}{t} + \frac{1}{t^2})}{\frac{d}{dt} (t^3 - 5)} \)

\( = \dfrac{-\frac{2}{t^2} - \frac{2}{t^3}}{3t^2} \)

\( = -\dfrac{2}{3t^4} - \dfrac{2}{3t^5} \)

Durağan noktadaki ikinci türev değerini bulalım.

\( \dfrac{d^2y}{dx^2}|_{t = -\frac{1}{2}} = -\dfrac{2}{3(-\frac{1}{2})^4} - \dfrac{2}{3(-\frac{1}{2})^5} \)

\( = \dfrac{32}{3} \) bulunur.

Bir fonksiyonun birinci türevinin tanımlı ve sıfır olduğu noktalara durağan nokta denir.

İlk olarak eğrinin yatay durağan noktalarını bulalım.

Bir parametrik denklemin yatay durağan noktaları kartezyen denklemlerinde olduğu gibi \( y \) değişkeninin \( x \) değişkenine göre türevinin sıfır olduğu noktalarda oluşur.

\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt} = 0 \)

Parametrik denklemin türev formülü düşünüldüğünde, yatay durağan noktalar \( y \) değişkeninin parametreye göre türevinin sıfır olduğu, ama \( x \) değişkeninin parametreye göre türevinin sıfırdan farklı olduğu noktalardır.

\( \dfrac{dy}{dt} = 0, \quad \dfrac{dx}{dt} \ne 0 \)

Değişkenlerin parametreye göre türevini alalım.

\( \dfrac{dx}{dt} = \cos(t + \frac{\pi}{6}) \)

\( \dfrac{dy}{dt} = -2\sin(2t) \)

Değişkenlerin birbirine göre türevini bulalım.

\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt} \)

\( = \dfrac{-2\sin(2t)}{\cos(t + \frac{\pi}{6})} \)

Bulduğumuz birinci türev ifadesini sıfıra eşitleyelim.

\( \dfrac{-2\sin(2t)}{\cos(t + \frac{\pi}{6})} = 0 \)

\( -2\sin(2t) = 0, \quad \cos(t + \frac{\pi}{6}) \ne 0 \)

\( \sin(2t) \) ifadesi \( [0, 2\pi) \) aralığında \( t \in \{0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}\} \) değerlerinde sıfır olur. 4 değerde de paydadaki \( \cos(t + \frac{\pi}{6}) \) ifadesi sıfırdan farklı olur.

Buna göre eğrinin \( t \in \{0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}\} \) değerlerinde yatay durağan noktaları vardır.

Bu \( t \) değerlerindeki \( (x(t), y(t)) \) noktalarını bulalım.

\( t = 0 \) için:

\( x(0) = \sin(0 + \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} \)

\( y(0) = 1 + \cos{0} = 2 \)

\( (\frac{1}{2}, 2) \) noktası I. bölgede olduğu için bu nokta \( D \) noktasıdır.

\( t = \frac{\pi}{2} \) için:

\( x(\frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

\( y(\frac{\pi}{2}) = 1 + \cos{\pi} = 0 \)

\( (\frac{\sqrt{3}}{2}, 0) \) noktası \( x \) ekseni üzerinde ve pozitif tarafta olduğu için bu nokta \( B \) noktasıdır.

\( t = \pi \) için:

\( x(\pi) = \sin(\pi + \frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2} \)

\( y(\pi) = 1 + \cos(2\pi) = 2 \)

\( (-\frac{1}{2}, 2) \) noktası II. bölgede olduğu için bu nokta \( C \) noktasıdır.

\( t = \frac{3\pi}{2} \) için:

\( x(\frac{3\pi}{2}) = \sin(\frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)

\( y(\frac{3\pi}{2}) = 1 + \cos(3\pi) = 0 \)

\( (-\frac{\sqrt{3}}{2}, 0) \) noktası \( x \) ekseni üzerinde ve negatif tarafta olduğu için bu nokta \( A \) noktasıdır.

İkinci adımda eğrinin dikey durağan noktalarını bulalım.

Bir parametrik denklemin dikey durağan noktaları \( x \) değişkeninin \( y \) değişkenine göre türevinin sıfır olduğu noktalarda oluşur.

\( \dfrac{dx}{dy} = 0 \)

Parametrik denklemin türev formülü düşünüldüğünde, dikey durağan noktalar \( x \) değişkeninin parametreye göre türevinin sıfır olduğu, ama \( y \) değişkeninin parametreye göre türevinin sıfırdan farklı olduğu noktalardır.

\( \dfrac{dx}{dt} = 0, \quad \dfrac{dy}{dt} \ne 0 \)

\( \cos(t + \frac{\pi}{6}) = 0 \)

\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,

\( t + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2} + \pi k \)

\( t = \dfrac{\pi}{3} + \pi k \)

\( \cos(t + \frac{\pi}{6}) \) ifadesi \( [0, 2\pi) \) aralığında \( t \in \{\frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}\} \) değerlerinde sıfır olur.

Bu \( t \) değerlerindeki \( (x(t), y(t)) \) noktalarını bulalım.

\( t = \dfrac{\pi}{3} \) için:

\( x(\frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6}) = 1 \)

\( y(\frac{\pi}{3}) = 1 + \cos{\frac{2\pi}{3}} = \frac{1}{2} \)

\( (1, \frac{1}{2}) \) noktası I. bölgede olduğu için bu nokta \( F \) noktasıdır.

\( t = \dfrac{4\pi}{3} \) için:

\( x(\frac{4\pi}{3}) = \sin(\frac{4\pi}{3} + \frac{\pi}{6}) = -1 \)

\( y(\frac{4\pi}{3}) = 1 + \cos{\frac{8\pi}{3}} = \frac{1}{2} \)

\( (-1, \frac{1}{2}) \) noktası II. bölgede olduğu için bu nokta \( E \) noktasıdır.

Üçüncü adımda \( G \) noktasının koordinatlarını bulmak için apsisi sıfır olan noktaları bulalım.

\( x(t) = \sin(t + \frac{\pi}{6}) = 0 \)

\( t + \dfrac{\pi}{6} = \pi k \)

\( t = -\dfrac{\pi}{6} + \pi k \)

\( \sin(t + \frac{\pi}{6}) \) ifadesi \( [0, 2\pi) \) aralığında \( t \in \{\frac{5\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}\} \) değerlerinde sıfır olur.

Bu \( t \) değerlerindeki \( (x(t), y(t)) \) noktalarını bulalım.

\( t = \dfrac{5\pi}{6} \) için:

\( x(\frac{5\pi}{6}) = \sin(\frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{6}) = 0 \)

\( y(\frac{5\pi}{6}) = 1 + \cos{\frac{5\pi}{3}} = \frac{3}{2} \)

\( (0, \frac{3}{2}) \) noktası \( y \) ekseni üzerinde ve pozitif tarafta olduğu için bu nokta \( G \) noktasıdır.

Bulduğumuz tüm noktaların kartezyen koordinatları \( t \) değerleri ile birlikte aşağıdaki grafikte işaretlenmiştir.