Grafik Aralıklarının Türev Yorumu

Sabit Aralık

Aşağıda \( (a, b) \) aralığında sabit bir fonksiyonun ve türevlerinin grafikleri verilmiştir.

Sabit fonksiyon
Sabit fonksiyon

Bu grafikle ilgili aşağıdaki yorumları yapabiliriz.

  • Ana fonksiyonun değeri bu aralıkta sabittir.
  • Sabit fonksiyonların eğimi sıfır olduğu için birinci türev de sabit ve sıfırdır (\( f'(x) = 0 \)).
  • Birinci türevin eğimi sıfır olduğu için ikinci türev de sıfırdır (\( f''(x) = 0 \)).

Sabit Oranda Artan Aralık

Aşağıda \( (a, b) \) aralığında sabit bir oranda artan bir fonksiyonun ve türevlerinin grafikleri verilmiştir.

Sabit oranda artan fonksiyon
Sabit oranda artan fonksiyon

Bu grafikle ilgili aşağıdaki yorumları yapabiliriz.

  • Ana fonksiyonun değeri bu aralıkta doğrusal bir şekilde artar.
  • Ana fonksiyonun eğimi (değişim oranı) pozitif ve sabit olduğu için birinci türev de sabit ve pozitiftir.
  • Birinci türevin eğimi sabit olduğu için ikinci türev sıfırdır (\( f''(x) = 0 \)).

Konveks (Artış Hızı Artarak) Artan Aralık

Aşağıda \( (a, b) \) aralığında konveks (artış hızı artarak) artan bir fonksiyonun ve türevlerinin grafikleri verilmiştir.

Artış hızı artarak artan fonksiyon
Artış hızı artarak artan fonksiyon

Bu grafikle ilgili aşağıdaki yorumları yapabiliriz.

  • Ana fonksiyonun değeri bu aralıkta artış hızı artarak artar.
  • Ana fonksiyonun eğimi pozitiftir ve artmaktadır, dolayısıyla birinci türev de pozitif ve artandır.
  • Birinci türev artan olduğu için ikinci türev pozitiftir (\( f''(x) \gt 0 \)).
  • Ana fonksiyonun denklemine göre birinci türevin grafiği pozitif ve artan olmak koşuluyla doğrusal ya da eğrisel olabilir. Buna bağlı olarak ikinci türevin grafiği pozitif tarafta kalmak koşuluyla artan ya da azalan, doğrusal ya da eğrisel olabilir.

Konkav (Artış Hızı Azalarak) Artan Aralık

Aşağıda \( (a, b) \) aralığında konkav (artış hızı azalarak) artan bir fonksiyonun ve türevlerinin grafikleri verilmiştir.

Artış hızı azalarak artan fonksiyon
Artış hızı azalarak artan fonksiyon

Bu grafikle ilgili aşağıdaki yorumları yapabiliriz.

  • Ana fonksiyonun değeri bu aralıkta artış hızı azalarak artar.
  • Ana fonksiyonun eğimi pozitiftir ve azalmaktadır, dolayısıyla birinci türev de pozitif ve azalandır.
  • Birinci türev azalan olduğu için ikinci türev negatiftir (\( f''(x) \lt 0 \)).
  • Ana fonksiyonun denklemine göre birinci türevin grafiği pozitif ve azalan olmak koşuluyla doğrusal ya da eğrisel olabilir. Buna bağlı olarak ikinci türevin grafiği negatif tarafta kalmak koşuluyla artan ya da azalan, doğrusal ya da eğrisel olabilir.

Sabit Oranda Azalan Aralık

Aşağıda \( (a, b) \) aralığında sabit bir oranda azalan bir fonksiyonun ve türevlerinin grafikleri verilmiştir.

Sabit oranda azalan fonksiyon
Sabit oranda azalan fonksiyon

Bu grafikle ilgili aşağıdaki yorumları yapabiliriz.

  • Ana fonksiyonun değeri bu aralıkta doğrusal bir şekilde azalır.
  • Ana fonksiyonun eğimi (değişim oranı) negatif ve sabit olduğu için birinci türev de sabit ve negatiftir.
  • Birinci türevin eğimi sabit olduğu için ikinci türev sıfırdır (\( f''(x) = 0 \)).

Konkav (Azalış Hızı Artarak) Azalan Aralık

Aşağıda \( (a, b) \) aralığında konkav (azalış hızı artarak) azalan bir fonksiyonun ve türevlerinin grafikleri verilmiştir.

Azalış hızı artarak azalan fonksiyon
Azalış hızı artarak azalan fonksiyon

Bu grafikle ilgili aşağıdaki yorumları yapabiliriz.

  • Ana fonksiyonun değeri bu aralıkta azalış hızı mutlak değer olarak artarak azalır.
  • Ana fonksiyonun eğimi negatiftir ve azalmaktadır, dolayısıyla birinci türev de negatif ve azalandır.
  • Birinci türev azalan olduğu için ikinci türev negatiftir (\( f''(x) \lt 0 \)).
  • Ana fonksiyonun denklemine göre birinci türevin grafiği negatif ve azalan olmak koşuluyla doğrusal ya da eğrisel olabilir. Buna bağlı olarak ikinci türevin grafiği negatif tarafta kalmak koşuluyla artan ya da azalan, doğrusal ya da eğrisel olabilir.

Konveks (Azalış Hızı Azalarak) Azalan Aralık

Aşağıda \( (a, b) \) aralığında konveks (azalış hızı azalarak) azalan bir fonksiyonun ve türevlerinin grafikleri verilmiştir.

Azalış hızı azalarak azalan fonksiyon
Azalış hızı azalarak azalan fonksiyon

Bu grafikle ilgili aşağıdaki yorumları yapabiliriz.

  • Ana fonksiyonun değeri bu aralıkta azalış hızı mutlak değer olarak azalarak azalır.
  • Ana fonksiyonun eğimi negatiftir ve artmaktadır, dolayısıyla birinci türev de negatif ve artandır.
  • Birinci türev artan olduğu için ikinci türev pozitiftir (\( f''(x) \gt 0 \)).
  • Ana fonksiyonun denklemine göre birinci türevin grafiği negatif ve artan olmak koşuluyla doğrusal ya da eğrisel olabilir. Buna bağlı olarak ikinci türevin grafiği pozitif tarafta kalmak koşuluyla artan ya da azalan, doğrusal ya da eğrisel olabilir.

Önce Azalan Sonra Artan Aralık

Aşağıda \( (a, b) \) aralığında önce azalan sonra artan bir fonksiyonun ve türevlerinin grafikleri verilmiştir.

Önce azalan sonra artan fonksiyon
Önce azalan sonra artan fonksiyon

Bu grafikle ilgili aşağıdaki yorumları yapabiliriz.

  • Ana fonksiyonun değeri \( (a, c) \) aralığında azalış hızı mutlak değer olarak azalarak azalır, \( (c, b) \) aralığında ise artış hızı artarak artar.
  • Ana fonksiyonun eğimi \( (a, c) \) aralığında negatif, \( c \) noktasında sıfır, \( (c, b) \) aralığında pozitiftir ve tüm aralıkta artandır.
  • Birinci türev tüm aralıkta artan olduğu için ikinci türev pozitiftir.
  • Ana fonksiyonun denklemine göre birinci türevin grafiği artan olmak koşuluyla doğrusal ya da eğrisel olabilir. Buna bağlı olarak ikinci türevin grafiği pozitif tarafta kalmak koşuluyla artan ya da azalan, doğrusal ya da eğrisel olabilir.

Önce Artan Sonra Azalan Aralık

Aşağıda \( (a, b) \) aralığında önce artan sonra azalan bir fonksiyonun ve türevlerinin grafikleri verilmiştir.

Önce artan sonra azalan fonksiyon
Önce artan sonra azalan fonksiyon

Bu grafikle ilgili aşağıdaki yorumları yapabiliriz.

  • Ana fonksiyonun değeri \( (a, c) \) aralığında artış hızı azalarak artar, \( (c, b) \) aralığında ise azalış hızı mutlak değer olarak artarak azalır.
  • Ana fonksiyonun eğimi \( (a, c) \) aralığında pozitif, \( c \) noktasında sıfır, \( (c, b) \) aralığında negatiftir ve tüm aralıkta azalandır.
  • Birinci türev tüm aralıkta azalan olduğu için ikinci türev negatiftir.
  • Ana fonksiyonun denklemine göre birinci türevin grafiği azalan olmak koşuluyla doğrusal ya da eğrisel olabilir. Buna bağlı olarak ikinci türevin grafiği negatif tarafta kalmak koşuluyla artan ya da azalan, doğrusal ya da eğrisel olabilir.

« Önceki
Fonksiyon Grafikleri
Sonraki »
Minimum ve Maksimum Noktaları


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır