Büküm Noktalarının Bulunması

İki tip büküm noktası olduğundan bahsetmiştik.

• Yatay (durağan) büküm noktaları
• Durağan olmayan büküm noktaları

Büküm noktalarını dört farklı şekilde tanımlayabiliriz.

• Bir büküm noktasında fonksiyon grafiği konvekslikten konkavlığa ya da konkavlıktan konveksliğe geçer.
• Bir büküm noktasında fonksiyonun eğimi (yani birinci türevi) artarken azalmaya ya da azalırken artmaya başlar.
• Bir büküm noktasında fonksiyonun birinci türevi bir yerel minimum ya da yerel maksimum noktasıdır.
• Bir büküm noktasında fonksiyonun ikinci türevi işaret değiştirir.

Bir \( a \) noktasının bir büküm noktası olabilmesi için, birinci koşul olarak o noktada ikinci türevin sıfıra eşit olması gerekir.

Buna ek olarak, bu noktada ikinci türevin işaret değiştirmesi gerekir, bu da fonksiyonun birinci türevinin (yani ana fonksiyonun eğiminin) artarken azalmaya ya da azalırken artmaya başladığına işaret eder.

Bir grafiğin belirli bir noktada ikinci türevinin işaret değiştirdiğini iki şekilde kontrol edebiliriz.

Birinci yöntemde, bu noktanın hemen solunda ve sağında iki nokta aldığımızda, eğer bu iki noktanın ikinci türevlerinin işaretleri farklı ise (yani çarpımları negatif ise), ikinci türev bu noktada işaret değiştiriyor demektir.

İkinci yöntemde, bu noktadaki üçüncü türeve bakarız. Eğer bu noktada üçüncü türev sıfırdan farklı ise ikinci türev bu noktada işaret değiştiriyordur, dolayısıyla bu nokta bir büküm noktasıdır.

Yukarıdaki koşulları sağlayan bir büküm noktasının yatay (durağan) bir büküm noktası olması için, ek olarak fonksiyonun birinci türevinin sıfıra eşit olması gerekir. Bu koşul sağlanmıyorsa, bu büküm noktası durağan olmayan bir büküm noktasıdır.