Bir İfadenin En Küçük/En Büyük Değeri

Tam sayılar konusunda karşımıza sıklıkla çıkabilecek soru tiplerinden biri, bir grup sayının toplamı ya da çarpımının alabileceği en küçük ya da en büyük değeri hesaplama sorularıdır. Bu tip soruları aşağıdaki gibi gruplayarak örnekler üzerinden anlatmaya çalışacağız.

Bu tip sorularda dikkat etmemiz gereken iki önemli nokta vardır:

• Sayılar farklı sorularda farklı sayı kümelerinde tanımlanmış olabilir (doğal sayılar, tam sayılar, pozitif tam sayılar ya da sadece rakamlar).
• Verilen sayıların birbirinden farklı sayılar olması sorularda ek bir koşul olarak verilebilir.

Bu soru tipleri ile ilgili daha farklı çözüm yöntemleri ayrıca parabol ve türev konularında işlenecektir.

Toplamları Verilen Sayıların Çarpımının En Küçük/En Büyük Değeri

Toplamları verilen iki ya da daha fazla sayının çarpımlarının en büyük değerini bulmak için sayıları birbirine eşit ya da en yakın seçeriz.

Toplamları verilen iki ya da daha fazla sayının çarpımlarının en küçük değerini bulmak için sayıları birbirinden en uzak seçeriz.

Aşağıdaki grafikte bu tip bir problemin grafiksel çözümü gösterilmiştir. Toplamları 11 olan iki doğal sayının çarpımının en büyük ve en küçük değerlerini bulmak istiyor olalım.

Alabileceği en büyük ve en küçük değeri bulmak istediğimiz bu ifadeyi bir fonksiyon gibi düşünerek grafiğini çizdiğimizde aşağıdaki grafiği elde ederiz.

Bu grafikte \( x \) ekseni, soruda verilen \( x \) değişkeninin değerini, \( y \) ekseni de herhangi bir \( x \) değeri için iki değişkenin çarpımının aldığı değeri göstermektedir. Buna göre, ifade en büyük değerini \( x = 5,5 \) değerinde almaktadır. Ancak soruda \( x \) ve \( y \) değişkenlerinin birer doğal sayı olduğu belirtildiği için, buna en yakın tam sayı değerleri \( x = 5 \) ve \( x = 6 \) olmaktadır. \( x \)'in belirli bir değeri için \( y = 11 - x \) değerini aldığı için, ifade en büyük değerini \( (x, y) = (5, 6) \) ve \( (x, y) = (6, 5) \) değerlerinde almaktadır, bu durumda iki sayının çarpımı 30 olmaktadır. Bu şekilde yukarıda verdiğimiz "en büyük değer için birbirine en yakın değerleri seçme" kuralını teyit etmiş oluruz.

İfadenin en küçük değerini de \( x \)'in \( 0 \) ve \( 11 \) değerlerinde aldığını görüyoruz, bu durumda iki değişkenin çarpımı \( x \cdot y = 0 \cdot 11 = 0 \) olmaktadır. Bu şekilde yukarıda verdiğimiz "en küçük değer için birbirinden en uzak değerleri seçme" kuralını teyit etmiş oluruz. Grafiğin \( x \) ekseninin altındaki kısmını dikkate almamamızın sebebi, bu bölgelerde \( x \) ya da \( y \)'nin doğal sayı olmayan değerler almasıdır.

Çarpımları Verilen Sayıların Toplamının En Küçük/En Büyük Değeri

Çarpımları verilen iki ya da daha fazla sayının toplamlarının en büyük değerini bulmak için sayıları birbirinden en uzak seçeriz.

Çarpımları verilen iki ya da daha fazla sayının toplamlarının en küçük değerini bulmak için sayıları birbirine eşit ya da en yakın seçeriz.

Aşağıdaki grafikte bu tip bir problemin grafiksel çözümü gösterilmiştir. Çarpımları 36 olan iki pozitif tam sayının toplamının en büyük ve en küçük değerlerini bulmak istiyor olalım.

Alabileceği en büyük ve en küçük değeri bulmak istediğimiz bu ifadeyi bir fonksiyon gibi düşünerek grafiğini çizdiğimizde aşağıdaki grafiği elde ederiz.

Bu grafikte \( x \) ekseni, soruda verilen \( x \) değişkeninin değerini, \( y \) ekseni de herhangi bir \( x \) değeri için iki değişkenin toplamının aldığı değeri göstermektedir. Buna göre, ifade en büyük değerini \( x = 1 \) ve \( x = 36 \) değerlerinde almaktadır (\( (x, y) = (1, 36) \) ve \( (x, y) = (36, 1) \)). İfade en küçük değerini de \( x = 6 \) değerinde almaktadır (\( (x, y) = (6, 6) \)). Bu şekilde yukarıda verdiğimiz "en büyük değer için birbirine en uzak değerleri seçme" ve "en küçük değer için birbirine eşit ya da en yakın değerleri seçme" kurallarını teyit etmiş oluruz.