Tam sayılar konusunda sıklıkla karşılaşacağımız soru tiplerinden biri, bir ifadenin ya da bir ifadedeki bir değişkenin alabileceği en küçük, en büyük ya da tüm değerlerin bulunmasıdır.
SORU 1:
\( a, b \) birer pozitif tam sayı olmak üzere,
\( a + b = 12 \) ise, \( a \cdot b \)'nin en küçük ve en büyük değerleri nedir?
Çözümü Göster
Yukarıda paylaştığımız kurallara göre, iki sayının çarpımının en büyük değerini bulmak için sayıları birbirine eşit ya da en yakın seçeriz, dolayısıyla sayılar bu durumda 6 ve 6 (sayıların farklı olma koşulu verilmemiş) ve çarpımları \( 6 \cdot 6 = 36 \) olacaktır.
İki sayının çarpımının en küçük değerini bulmak içinse sayıları birbirinden en uzak seçeriz, dolayısıyla sayılar bu durumda 1 ve 11 ve çarpımları \( 1 \cdot 11 = 11 \) olacaktır.
Aşağıdaki tabloda bu iki sayının tüm olası değerlerini listeleyerek çarpımlarının hangi durumda en küçük ve en büyük olduğunu teyit edebiliriz.
\( a \) |
\( b \) |
\( a + b \) |
\( a \cdot b \) |
1 |
11 |
12 |
11 |
2 |
10 |
12 |
20 |
3 |
9 |
12 |
27 |
4 |
8 |
12 |
32 |
5 |
7 |
12 |
35 |
6 |
6 |
12 |
36 |
7 |
5 |
12 |
35 |
8 |
4 |
12 |
32 |
9 |
3 |
12 |
27 |
10 |
2 |
12 |
20 |
11 |
1 |
12 |
11 |
SORU 2:
\( a, b \) birer pozitif tam sayı olmak üzere,
\( a \cdot b = 12 \) ise, \( a + b \)'nin en küçük ve en büyük değerleri nedir?
Çözümü Göster
Yukarıda paylaştığımız kurallara göre, iki sayının toplamının en büyük değerini bulmak için sayıları birbirinden en uzak seçeriz, dolayısıyla sayılar bu durumda 1 ve 12 ve toplamları \( 1 + 12 = 13 \) olacaktır.
İki sayının toplamının en küçük değerini bulmak içinse sayıları birbirine eşit ya da en yakın seçeriz, dolayısıyla sayılar bu durumda 3 ve 4 ve toplamları \( 3 + 4 = 7 \) olacaktır.
Aşağıdaki tabloda bu iki sayının tüm olası değerlerini listeleyerek toplamlarının hangi durumda en küçük ve en büyük olduğunu teyit edebiliriz.
\( a \) |
\( b \) |
\( a \cdot b \) |
\( a + b \) |
1 |
12 |
12 |
13 |
2 |
6 |
12 |
8 |
3 |
4 |
12 |
7 |
4 |
3 |
12 |
7 |
6 |
2 |
12 |
8 |
12 |
1 |
12 |
13 |
SORU 3:
\( x, y \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( x = 34 - a \)
\( y = a - 9 \)
olduğuna göre, \( x \cdot y \) çarpımının alabileceği en büyük değer nedir?
Çözümü Göster
İki sayının çarpımının en büyük değerini bulmak için sayılar birbirine eşit ya da sayılar birer tam sayı ise en yakın seçilir.
\( x = y \) diyelim.
\( 34 - a = a - 9 \)
\( 2a = 43 \)
\( a = \dfrac{43}{2} \)
\( a \) ifadesini yerine yazarak \( x \) ve \( y \) değerlerini bulalım.
\( x = 34 - \dfrac{43}{2} = \dfrac{25}{2} \)
\( y = 21,5 - 9 = \dfrac{25}{2} \)
Sayıların çarpımının alabileceği en büyük değeri bulalım.
\( x \cdot y = \dfrac{25}{2} \cdot \dfrac{25}{2} = \dfrac{625}{4} \) bulunur.
SORU 4:
\( a \in \mathbb{N} \) olmak üzere,
\( \dfrac{a^2 - 20}{a - 4} \) ifadesi bir tam sayı olduğuna göre, \( a \)'nın alabileceği kaç farklı değer vardır?
Çözümü Göster
İfadeyi düzenleyelim.
\( \dfrac{a^2 - 20}{a - 4} = \dfrac{a^2 - 16}{a - 4} - \dfrac{4}{a - 4} \)
\( = \dfrac{(a - 4)(a + 4)}{a - 4} - \dfrac{4}{a - 4} \)
\( = a + 4 - \dfrac{4}{a - 4} \)
\( a + 4 \) ifadesi tam sayıdır.
\( \frac{4}{a - 4} \) ifadesini tam sayı yapan doğal sayı \( a \) değerleri aşağıdaki gibidir.
\( a \in \{0, 2, 3, 5, 6, 8\} \)
Buna göre \( a \)'nın alabileceği 6 farklı değer vardır.
SORU 5:
\( a \in \mathbb{N}, x \in \mathbb{Z^-} \) olmak üzere,
\( \dfrac{-4}{7} \cdot x = a \) eşitliği veriliyor.
Buna göre, \( x \)'in alabileceği en büyük değer kaçtır?
Çözümü Göster
\( \frac{-4}{7} \cdot x \) çarpımının sonucunun doğal sayı olabilmesi için \( x \) sıfır ya da 7'nin katı negatif bir sayı olmalıdır.
\( x \) negatif tam sayı olduğuna göre, işlem sonucunu doğal sayı yapacak en büyük \( x \) değeri \( -7 \) olur.
SORU 6:
\( x , y, z \) birer rakam olmak üzere,
\( 2x + 7y - 6z \) ifadesinin sonucu en çok kaçtır?
Çözümü Göster
\( 2x + 7y - 6z \) ifadesinin en büyük değerini alması için pozitif işaretli \( x \) ve \( y \) en büyük değerlerini, negatif işaretli \( z \) de en küçük değerini almalıdır.
Sayılar birbirinden farklı olmadığı için aynı değerleri alabilirler.
\( x = 9, \quad y = 9, \quad z = 0 \)
Buna göre ifadenin en büyük değeri aşağıdaki gibi olur.
\( 2 \cdot 9 + 7 \cdot 9 - 6 \cdot 0 \)
\( = 18 + 63 - 0 = 81 \) bulunur.
SORU 7:
\( x, y, z \) sıfırdan ve birbirinden farklı rakamlar olmak üzere,
\( 5x - 3y + 11z \) ifadesinin sonucu en çok kaçtır?
Çözümü Göster
\( 5x - 3y + 11z \) ifadesinin en büyük değerini alması için pozitif işaretli \( x \) ve \( z \) en büyük değerlerini, negatif işaretli \( y \) de en küçük değerini almalıdır.
Ayrıca \( z \)'nin katsayısı \( x \)'in katsayısından büyük olduğu için \( z \) \( x \)'ten büyük olmalıdır.
Buna göre değerler aşağıdaki gibi olur.
\( x = 8, \quad y = 1, \quad z = 9 \)
Bu değerlere göre ifadenin değeri aşağıdaki gibi olur.
\( 5 \cdot 8 - 3 \cdot 1 + 11 \cdot 9 \)
\( = 136 \) bulunur.
SORU 8:
\( x, y, z \) sıfırdan ve birbirinden farklı rakamlar olmak üzere,
\( x \cdot y = y \) ve \( y = z^2 + x \) eşitlikleri veriliyor.
Buna göre \( x + y + z \) toplamı en çok kaçtır?
Çözümü Göster
\( x \cdot y = y \) ve \( y \ne 0 \) olduğuna göre \( x = 1 \) olur.
\( y = z^2 + 1 \) eşitliğinde \( z = 3 \) olması durumunda eşitliğin sağ tarafı 10 olacağı \( z = 2 \) olur ( \( x = 1 \) olduğu için \( z = 1 \) olamaz).
\( y = 2^2 + 1 = 5 \)
Buna göre değerler aşağıdaki gibi olur.
\( x = 1, \quad y = 5, \quad z = 2 \)
\( x + y + z = 1 + 5 + 2 = 8 \) bulunur.
SORU 9:
\( a, b, c \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( 1 \lt a \lt b \lt c \lt 17 \) verildiğine göre,
\( 5a + 2b - 4c \) ifadesinin alabileceği en büyük ve en küçük değerleri bulun.
Çözümü Göster
\( 5a + 2b - 4c \) ifadesinin en büyük değerini alması için pozitif işaretli \( a \) ve \( b \) en büyük değerlerini, negatif işaretli \( c \) de en küçük değerini almalıdır.
Ancak sayılar arasındaki büyüklük ilişkisinden dolayı bir sayıya verdiğimiz değer diğer sayılara verdiğimiz değerleri etkilemektedir.
Pozitif işaretli \( a \) ve \( b \) sayılarının katsayıları toplamı negatif işaretli \( c \) sayısının katsayısından büyük olduğu için (\( 5 + 2 \gt 4 \)) ifadenin en büyük değeri için öncelikli olarak \( a \) ve \( b \)'ye büyük değer vermeliyiz.
\( a = 14, \quad b = 15, \quad c = 16 \)
\( 5 \cdot 14 + 2 \cdot 15 - 4 \cdot 16 = 36 \)
Buna göre ifadenin en büyük değeri 36 olarak bulunur.
\( 5a + 2b - 4c \) ifadesinin en küçük değeri için \( a \) ve \( b \) en küçük, \( c \) en büyük değerini almalıdır.
\( a = 2, \quad b = 3, \quad c = 16 \)
\( 5 \cdot 2 + 2 \cdot 3 - 4 \cdot 16 = -48 \)
Buna göre ifadenin en küçük değeri -48 olarak bulunur.
SORU 10:
\( x, y, z \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( x \lt y \lt z \)
\( x \cdot (y + 8) = 32 \)
olduğuna göre, \( x + y + z \) toplamı en az kaçtır?
Çözümü Göster
Verilen eşitliği inceleyelim.
32 sayısının pozitif tam sayı bölenleri: \( \{1, 2, 4, 8, 16, 32\} \)
\( x = 1 \) için \( y = 24 \) olur.
\( x = 2 \) için \( y = 8 \) olur.
\( x = 4 \) için \( y = 0 \) olur, ancak \( x \lt y \) olması gerektiği için bu geçerli bir çözüm değildir.
Daha büyük \( x \) değerleri için de aynı durum söz konusu olacağı için başka geçerli çözüm yoktur.
Buna göre \( x, y, z \) sayılarının alabileceği değerler aşağıdaki gibidir.
\( x = 1, \quad y = 24, \quad 24 \lt z \)
\( x = 2, \quad y = 8, \quad 8 \lt z \)
Bu olasılıklar içinde sayıların toplamı en küçük değerini aşağıdaki değerlerde alır.
\( x = 2, \quad y = 8, \quad z = 9 \)
Buna göre \( x + y + z \) toplamı en az \( 2 + 8 + 9 = 19 \) olur.
SORU 11:
\( x, y \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( x \lt 0 \lt y \)
\( 7x + 95 + x \cdot y = 0 \)
olduğuna göre, \( x \cdot y \) çarpımının en büyük değeri kaçtır?
Çözümü Göster
Verilen eşitliği düzenleyelim.
\( 7x + x \cdot y = -95 \)
\( x \cdot (7 + y) = -95 \)
95 sayısının tam sayı bölenleri: \( \{\pm 1, \pm 5, \pm 19, \pm 95\} \)
\( y \) pozitif olduğu için \( 7 + y \) toplamı sadece 19 ya da 95 olabilir.
\( 7 + y = 19 \) ise:
\( y = 12, \quad x = -5 \)
\( 7 + y = 95 \) ise:
\( y = 88, \quad x = -1 \)
Buna göre \( x \cdot y \) çarpımının en büyük değeri \( -5 \cdot 12 = -60 \) olur.
SORU 12:
\( x, y \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( x^2 \cdot y = 147 \)
olduğuna göre, \( x + y \) toplamı en az kaçtır?
Çözümü Göster
\( x^2 \) pozitif olduğu için \( y \) de pozitif olmalıdır.
147 sayısının pozitif tam sayı bölenleri: \( \{1, 3, 7, 21, 49, 147\} \)
\( x \) tam sayı olduğu için karesi 1 ya da 49 olabilir.
\( x^2 = 1 \) için:
\( x = \pm 1, \quad y = 147 \)
\( x^2 = 49 \) için:
\( x = \pm 7, \quad y = 3 \)
Buna göre \( x + y \) toplamı en az \( -7 + 3 = -4 \) olur.
SORU 13:
\( a, b, c \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( a - b = 42 \)
\( b \cdot c = 23 \)
olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?
I. \( a + b + c \) toplamı en çok 89 olur.
II. \( a + b + c \) toplamı en az 17 olur.
III. \( a + c \) toplamı en az 18 olur.
Çözümü Göster
\( b \cdot c = 23 \) eşitliği için \( b \) ve \( c \) tam sayılarının alabileceği değerleri bulalım.
\( b = 1, c = 23 \Longrightarrow a = 43 \)
\( b = -1, c = -23 \Longrightarrow a = 41 \)
\( b = 23, c = 1 \Longrightarrow a = 65 \)
\( b = -23, c = -1 \Longrightarrow a = 19 \)
Buna göre verilen ifadeleri inceleyelim.
I. ifade: \( a + b + c \) toplamı en çok \( 65 + 23 + 1 = 89 \) olur. Bu ifade doğrudur.
II. ifade: \( a + b + c \) toplamı en az \( 19 + (-23) + (-1) = -5 \) olur. Bu ifade yanlıştır.
III. ifade: \( a + c \) toplamı en az \( 19 + (-1) = 41 + (-23) = 18 \) olur. Bu ifade doğrudur.
Buna göre I. ve III. ifadeler doğrudur.
SORU 14:
\( a, b, c \) birbirinden farklı pozitif tam sayılar olmak üzere,
\( \dfrac{a}{3} + 4b + c = 34 \)
olduğuna göre, \( b \) en büyük değerini aldığında \( c - 2a + b \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
\( b \)'nin en büyük değerini alması için pozitif işaretli \( a \) ve \( c \) sayıları en küçük değerlerini almalıdır.
\( a = 3 \) ve \( c = 1 \) için \( b = 8 \) olur.
\( \dfrac{3}{3} + 4 \cdot 8 + 1 = 34 \)
Bu değerler için \( c - 2a + b \) ifadesinin değerini bulalım.
\( 1 - 2 \cdot 3 + 8 = 3 \) bulunur.
SORU 15:
\( a, b \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( 7a + 3b = 59 \)
olduğuna göre, \( a \)'nın alabileceği değerlerin çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster
\( a \) ve \( b \)'nin alabileceği değerleri bulalım.
\( a \in \{1, 3, 4, 6, 7\} \) değerleri için \( b \) tam sayı değer almaz.
\( a = 2, \quad b = 15 \) için:
\( 7 \cdot 2 + 3 \cdot 15 = 59 \)
\( a = 5, \quad b = 8 \) için:
\( 7 \cdot 5 + 3 \cdot 8 = 59 \)
\( a = 8, \quad b = 1 \) için:
\( 7 \cdot 8 + 3 \cdot 1 = 59 \)
Buna göre \( a \)'nın alabileceği değerler çarpımı \( 2 \cdot 5 \cdot 8 = 80 \) olur.
SORU 16:
\( x, y \in \mathbb{N} \) olmak üzere,
\( 5x + 6y = 215 \) olduğuna göre, \( x \)'in alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Verilen eşitlikte her terimi 5'e bölelim.
\( x + \dfrac{6y}{5} = 43 \)
\( x \)'in doğal sayı olabilmesi için \( y \) 5'in bir katı olmalıdır.
\( y = 0 \Longrightarrow x = 43 \)
\( y = 5 \Longrightarrow x = 37 \)
\( y = 10 \Longrightarrow x = 31 \)
Bu şekilde \( x \)'in alabileceği değerler 6 azalarak devam eder.
\( y = 35 \Longrightarrow x = 1 \)
\( x \)'in alabileceği değerler toplamını bulalım.
\( \text{Terimler toplamı} = (\text{İlk terim} + \text{Son terim}) \) \( \cdot \dfrac{\text{Terim sayısı}}{2} \)
\( \text{Terim sayısı} = \dfrac{\text{Son terim} - \text{İlk terim}}{\text{Ortak fark}} + 1 \)
\( = (43 + 1) \cdot \dfrac{\frac{43 - 1}{6} + 1}{2} \)
\( = 44 \cdot \dfrac{8}{2} = 176 \) bulunur.
SORU 17:
\( n \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( n^2 + 63 \) ifadesini tam kare yapan \( n \) değerlerinin toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
\( m \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( n^2 + 63 = m^2 \) diyelim.
\( 63 = m^2 - n^2 \)
\( 63 = (m - n)(m + n) \)
63'ün pozitif çarpanları 1, 3, 7, 9, 21, 63 sayılarından oluşur.
Buna göre istenen durum üç şekilde oluşur.
Durum 1: \( 63 = 1 \cdot 63 \)
\( m - n = 1 \)
\( m + n = 63 \)
Buradan \( m = 32 \) ve \( n = 31 \) bulunur.
Durum 2: \( 63 = 3 \cdot 21 \)
\( m - n = 3 \)
\( m + n = 21 \)
Buradan \( m = 12 \) ve \( n = 9 \) bulunur.
Durum 3: \( 63 = 7 \cdot 9 \)
\( m - n = 7 \)
\( m + n = 9 \)
Buradan \( m = 8 \) ve \( n = 1 \) bulunur.
Verilen ifadeyi tam sayı yapan \( n \) değerlerinin toplamı \( 31 + 9 + 1 = 41 \) olarak bulunur.
SORU 18:
Bir fabrikada üretilen levhaların genişliği \( 29 \pm 1 \) cm ve yüksekliği \( 32 \pm 2 \) cm'dir.
Buna göre, bu levhaların alanının en büyük ve en küçük değeri arasındaki fark nedir?
Çözümü Göster
Levhanın alanı en büyük değerini genişlik ve yükseklik en büyük olduğunda alır.
\( A_{maks} = (29 + 1)(32 + 2) = 1020 \) cm\( ^2\)
Levhanın alanı en küçük değerini genişlik ve yükseklik en küçük olduğunda alır.
\( A_{min} = (29 - 1)(32 - 2) = 840 \) cm\( ^2\)
Buna göre levhaların alanının en büyük ve en küçük değeri arasındaki fark \( 1020 - 840 = 180 \) cm\( ^2\) olarak bulunur.
SORU 19:
\( x, y \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( (2xy - 1)^2 + (x + 2y)^2 \) ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?
Çözümü Göster
İfadenin açılımını yazalım.
\( 4x^2y^2 - 4xy + 1 + x^2 + 4xy + 4y^2 \) \( = 4x^2y^2 + x^2 + 4y^2 + 1 \)
Bir reel sayının karesinin alabileceği en küçük değer 0'dır.
Elde ettiğimiz ifadede \( x^2 \) ve \( y^2 \)'li terimlerin işareti pozitif olduğu için, ifadenin en küçük değerini alması için \(x = y = 0 \) olmalıdır.
\( 0 + 0 + 0 + 1 = 1\) bulunur.