Rasyonel Fonksiyonların Tanım Kümesi
Polinom fonksiyonları tüm reel sayılarda tanımlı fonksiyonlardır, bununla birlikte payı ve paydası birer polinom olan rasyonel fonksiyonlarda payda sıfır olamayacağı için belirli \( x \) değerlerinde tanımsız (dolayısıyla tanım kümesinin dışında tutulması gereken) noktalar oluşabilir.
Rasyonel fonksiyonların tanım kümesini tanımlamadan önce, üç farklı durumun ve fonksiyon grafiği üzerindeki etkilerinin anlaşılması önemlidir.
Payı ve/veya Paydayı Sıfır Yapan Noktalar
Bir rasyonel fonksiyonun payının ve/veya paydasının bir \( x = a \) noktasında sıfır olmasına göre fonksiyon grafiğinde üç farklı davranış oluşur.
Sadece Pay Sıfır
Bir rasyonel fonksiyonun payı \( x = a \) noktasında sıfır iken paydası sıfırdan farklı oluyorsa fonksiyonun bu noktadaki değeri sıfır olur, dolayısıyla fonksiyon grafiği bu noktada \( x \) eksenini keser.
\( a, c \in \mathbb{R} \) ve \( c \ne 0 \) olmak üzere,
\( f(a) = \dfrac{P(a)}{Q(a)} = \dfrac{0}{c} = 0 \) ise,
\( x = a \) fonksiyonun bir köküdür (fonksiyon grafiği bu noktada \( x \) eksenini keser).
\( f(x) = \dfrac{(x + 2)(x - 1)(x - 5)}{(x - 1)(x - 4)} \)
Fonksiyonun payı \( x = -2 \) ve \( x = 5 \) noktalarında sıfır iken paydası sıfırdan farklı olduğu için fonksiyon bu iki noktada tanımlıdır ve grafiği bu noktalarda \( x \) eksenini keser.
Payda sıfırdan farklı olduğu sürece payın sıfır olması bir tanımsızlığa yol açmadığı için fonksiyon bu tip noktalarda tanımlıdır.
Sadece Payda Sıfır
Bir rasyonel fonksiyonun paydası \( x = a \) noktasında sıfır iken payı sıfırdan farklı oluyorsa fonksiyon bu noktada tanımsız olur ve fonksiyon grafiğinde bu noktada bir dikey asimptot oluşur.
\( a, c \in \mathbb{R} \) ve \( c \ne 0 \) olmak üzere,
\( f(a) = \dfrac{P(a)}{Q(a)} = \dfrac{c}{0} \) ise,
\( x = a \) noktasında fonksiyon tanımsız olur ve fonksiyon grafiğinde bu noktada bir dikey asimptot oluşur.
\( f(x) = \dfrac{(x + 2)(x - 1)(x - 5)}{(x - 1)(x - 4)} \)
Fonksiyonun paydası \( x = 4 \) noktasında sıfır iken payı sıfırdan farklı olduğu için fonksiyon bu noktada tanımsızdır ve grafiğinde bu noktada bir dikey asimptot oluşur.
Bir noktada pay sıfırdan farklı iken payda sıfır ise, \( x \) bu noktaya soldan ve sağdan yaklaşırken payda gitgide sıfıra yaklaşan çok küçük değerler alır, dolayısıyla fonksiyonun soldan ve sağdan limitleri (pozitif ya da negatif) sonsuz olur ve birer dikey asimptot oluşur. Fonksiyon grafiğinde bu şekilde oluşan süreksizliğe sonsuz süreksizlik denir.
Pay ve Payda Sıfır
Bir rasyonel fonksiyonun hem payı hem de paydası \( x = a \) noktasında sıfır oluyorsa fonksiyon bu noktada tanımsız olur ve grafiğinde bir boş nokta oluşur.
\( a \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(a) = \dfrac{P(a)}{Q(a)} = \dfrac{0}{0} \) ise,
\( x = a \) noktasında fonksiyon tanımsız olur ve grafiğinde bu noktada bir boşluk oluşur.
\( f(x) = \dfrac{(x + 2)(x - 1)(x - 5)}{(x - 1)(x - 4)} \)
Fonksiyonun payı ve paydası \( x = 1 \) noktasında sıfır olduğu için fonksiyon bu noktada tanımsızdır ve grafiğinde bu noktada bir boşluk oluşur.
Hem payın hem de paydanın \( x = a \) noktasında sıfır olması iki polinomun da \( x - a \) çarpanı içermesi anlamına gelir. Bu ortak çarpan paydada da bulunduğu için \( x = a \) noktasında tanımsızlığa yol açar, ancak diğer noktalarda sadeleşir ve fonksiyon bu ortak çarpan yokmuş gibi davranır. Fonksiyon grafiğinde bu şekilde oluşan süreksizliğe kaldırılabilir süreksizlik denir.
Buna göre yukarıdaki örnekteki \( f \) fonksiyonu ve grafiği \( x = 1 \) dışındaki noktalarda aşağıdaki \( g \) fonksiyonu ile özdeş olur, bir diğer ifadeyle aynı \( x \) değerleri için aynı fonksiyon değerlerini üretir.
\( f(x) = \dfrac{(x + 2)(x - 1)(x - 5)}{(x - 1)(x - 4)} \)
\( g(x) = \dfrac{(x + 2)(x - 5)}{x - 4} \)
\( x \ne 1 \) olmak üzere,
\( f(x) = g(x) \)
Belirli bir \( x - a \) çarpanı payda \( m \) katlı, paydada \( n \) katlı bulunuyorsa grafiğin bu noktadaki davranışı aşağıdaki gibi olur.
\( f(x) = \dfrac{\ldots(x - a)^m\ldots}{\ldots(x - a)^n\ldots} \) olmak üzere,
\( m \ge n \) ise,
Fonksiyon bu noktada tanımsızdır, grafikte bu noktada bir boşluk oluşur.
\( m \lt n \) ise,
Fonksiyon bu noktada tanımsızdır, grafikte bu noktada bir dikey asimptot oluşur.
Rasyonel Fonksiyonların Tanım Kümesi
Bu bilgiler doğrultusunda, bir rasyonel fonksiyon paydasındaki polinomu sıfır yapan noktalarda tanımsızdır ve bu noktalar fonksiyonun tanım kümesinin dışında tutulmalıdır. Bu noktalar hariç rasyonel fonksiyonlar tüm reel sayılarda tanımlıdır.
\( f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)} \) olmak üzere,
\( f \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi, \( Q(x) = 0 \) denklemini sağlayan \( x \) değerleri hariç tüm reel sayılardır.
\( f(x) = \dfrac{(x - 2)(x + 3)(x - 5)}{(x + 1)(x - 5)} \)
\( f \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi, paydasını sıfır yapan \( x = -1 \) ve \( x = 5 \) noktaları hariç tüm reel sayılardır.
\( f: \mathbb{R} - \{-1, 5\} \to \mathbb{R} \)
\( Q(x) = 0 \) denkleminin çözüm kümesini bulmak için, \( Q(x) \) polinomu tüm çarpanlarına ayrılır ve her çarpanı sıfır yapan reel sayı \( x \) değerleri bulunur. Bu \( x \) değerleri \( f \) fonksiyonunun tanım kümesinin dışında tutulması gereken değerlerdir.
\( f(x) = \dfrac{x^3 - 4x^2 - x + 4}{x^2 - x - 12} \) fonksiyonunu sıfır yapan \( x \) değerleri nelerdir?
Çözümü GösterPay ve paydadaki ifadeleri tüm çarpanlarına ayıralım.
\( f(x) = \dfrac{(x + 1)(x - 1)(x - 4)}{(x + 3)(x - 4)} \)
Paydaki ifadeyi sıfır yapan üç değer olduğunu görüyoruz (-1, 1 ve 4), ancak bu değerlerden 4 paydayı da sıfır yapmaktadır, dolayısıyla \( x \)'e 4 vermemiz durumunda fonksiyon değeri sıfır değil tanımsız olacaktır.
Bu yüzden fonksiyonu sıfır yapan değerler -1 ve 1'dir.
\( f(-1) = 0 \)
\( f(1) = 0 \)
\( f(4) = \) Tanımsız
\( f(-3) = \) Tanımsız
\( f(x) = \dfrac{x^3 - 4x^2 - x + 4}{x^2 - x - 12} \) fonksiyonunu tanımsız yapan \( x \) değerleri nelerdir?
Çözümü GösterPaydadaki ifadeyi sıfır yapan değerleri bulalım.
\( x^2 - x - 12 = 0 \)
Bu ikinci dereceden ifadeyi aşağıdaki gibi çarpanlarına ayırabiliriz.
\( (x + 3)(x - 4) = 0 \)
Bu ifadeyi sıfır yapan değerler -3 ve 4 olduğu için \( f \) fonksiyonunu tanımsız yapan değerler de bu değerlerdir. Dolayısıyla bu rasyonel fonksiyonun en geniş tanım kümesi aşağıdaki gibidir.
Tanım kümesi: \( x \in \mathbb{R} - \{ -3, 4 \} \)