Rasyonel Fonksiyonların Grafiği
Bir fonksiyonun grafiğini en detaylı şekilde çizebilmek için farklı türev uygulamalarına ihtiyaç duyulur. Bununla birlikte, polinom fonksiyonlarının grafiği bölümünde bahsettiğimize benzer şekilde, aşağıdaki bilgiler kullanılarak bir rasyonel fonksiyonun grafiği genel hatlarıyla çizilebilir.
- Grafiğin \( x \) eksenini kestiği noktalar
- Dikey asimptotlar
- Boş noktalar
- Sonsuzdaki davranış
- Grafiğin \( y \) eksenini kestiği nokta
Bu başlıkların her birini incelerken ilgili yöntemi aşağıdaki fonksiyonun grafiği üzerinde göstereceğiz.
\( f(x) = \dfrac{(x + 4)(x - 2)(x - 7)(x - 10)}{(x + 8)(x - 3)(x - 10)} \)
Fonksiyonun payını sıfır yapan noktalar:
\( x \in \{ -4, 2, 7, 10 \} \)
Fonksiyonun paydasını sıfır yapan noktalar:
\( x \in \{ -8, 3, 10 \} \)
İlk üç başlıkta bahsi geçen noktaların detayları için önceki rasyonel fonksiyonların tanım kümesi bölümünü inceleyebilirsiniz.
\( x \) Ekseni Kesim Noktaları
Bir rasyonel fonksiyon \( x \) eksenini payını sıfır yapan ama paydasını sıfır yapmayan noktalarda keser.
Fonksiyon \( x \) eksenini payını sıfır yapan ama paydasını sıfır yapmayan aşağıdaki noktalarda keser.
\( x \in \{ -4, 2, 7 \} \)
Fonksiyonun \( x \) eksenini kestiği bu noktaları grafik üzerinde gösterelim.
Dikey Asimptotlar
Bir rasyonel fonksiyon paydasını sıfır yapan ama payını sıfır yapmayan noktalarda tanımsızdır ve bu noktalarda birer dikey asimptot oluşur.
Fonksiyonun paydasını sıfır yapan ama payını sıfır yapmayan aşağıdaki noktalarda birer dikey asimptot oluşur.
\( x \in \{ -8, 3 \} \)
Fonksiyonun dikey asimptotlarını grafiğe ekleyelim.
Sonsuz limit konusunda gördüğümüz yöntemleri kullanarak her dikey asimptotun iki tarafında grafiğin hangi yönde sonsuza gittiğini bulalım.
Fonksiyonun \( x = -8 \) noktası civarındaki davranışını bulalım.
\( \lim\limits_{x \to -8^-} {f(x)} = \dfrac{(-8 + 4)(-8 - 2)(-8 - 7)(-8 - 10)}{(-8^- + 8)(-8 - 3)(-8 - 10)} \)
\( = \dfrac{(-4)(-10)(-15)(-18)}{(0^-)(-11)(-18)} \)
Payın işareti pozitif, paydanın işareti negatiftir.
\( = -\infty \)
\( \lim\limits_{x \to -8^+} {f(x)} = \dfrac{(-8 + 4)(-8 - 2)(-8 - 7)(-8 - 10)}{(-8^+ + 8)(-8 - 3)(-8 - 10)} \)
\( = \dfrac{(-4)(-10)(-15)(-18)}{(0^+)(-11)(-18)} \)
Payın ve paydanın işareti pozitiftir.
\( = \infty \)
Fonksiyonun \( x = 3 \) noktası civarındaki davranışını bulalım.
\( \lim\limits_{x \to 3^-} {f(x)} = \dfrac{(3 + 4)(3 - 2)(3 - 7)(3 - 10)}{(3 + 8)(3^- - 3)(3 - 10)} \)
\( = \dfrac{(7)(1)(-4)(-7)}{(11)(0^-)(-7)} \)
Payın ve paydanın işareti pozitiftir.
\( = \infty \)
\( \lim\limits_{x \to 3^+} {f(x)} = \dfrac{(3 + 4)(3 - 2)(3 - 7)(3 - 10)}{(3 + 8)(3^+ - 3)(3 - 10)} \)
\( = \dfrac{(7)(1)(-4)(-7)}{(11)(0^+)(-7)} \)
Payın işareti pozitif, paydanın işareti negatiftir.
\( = -\infty \)
Fonksiyonun dikey asimptotları civarındaki davranışını grafiğe ekleyelim.
Bir rasyonel fonksiyon dikey asimptotun oluştuğu noktada tanımsız olduğu için grafiği hiçbir zaman dikey asimptotu kesmez.
Boş Noktalar
Bir rasyonel fonksiyon hem payını hem de paydasını sıfır yapan noktalarda tanımsızdır ve bu noktalarda grafiğinde birer boş nokta oluşur.
Fonksiyonun hem payını hem de paydasını sıfır yapan noktalarda grafiğinde birer boş nokta oluşur.
\( x \in \{ 10 \} \)
Sonsuzdaki Davranış
Tüm fonksiyonlarda olduğu gibi, bir fonksiyonun sonsuzdaki davranışı pozitif ve negatif sonsuzdaki limiti alınarak bulunur. Rasyonel fonksiyonlar sonsuzda pozitif/negatif sonsuza gidebilir ya da bir yatay/eğik/eğri asimptota yaklaşabilir.
Bir rasyonel fonksiyonun sonsuzdaki limitini (ve davranışını) pay ve paydadaki en yüksek dereceli terimler belirler. Payın derecesi \( m \), paydanın derecesi \( n \) olmak üzere, \( m \gt n \), \( m = n \) ve \( m \lt n \) durumları için sonsuzdaki davranışların nasıl oluştuğu sonsuzda limit konusunda detaylı şekilde incelenmiştir.
Fonksiyonun pay ve paydasındaki en yüksek dereceli terimleri bulalım.
\( f(x) = \dfrac{x^4 + \ldots}{x^3 + \ldots} \)
Pay ve paydadaki tüm terimleri paydanın en yüksek dereceli terimine bölelim.
\( = \dfrac{x + \ldots}{1 + \ldots} \)
Fonksiyonun negatif sonsuzdaki davranışını bulalım.
\( \lim\limits_{x \to -\infty} {\dfrac{x + \ldots}{1 + \ldots}} = -\infty \)
Fonksiyonun pozitif sonsuzdaki davranışını bulalım.
\( \lim\limits_{x \to \infty} {\dfrac{x + \ldots}{1 + \ldots}} = \infty \)
Fonksiyonun sonsuzdaki davranışını grafiğe ekleyelim.
\( y \) Ekseni Kesim Noktası
Tüm fonksiyonlarda olduğu gibi, rasyonel fonksiyonların \( y \) eksenini kestiği noktayı bulmak için fonksiyon tanımında \( x = 0 \) yazılır.
Fonksiyon tanımında \( x = 0 \) yazalım.
\( f(0) = \dfrac{(0 + 4)(0 - 2)(0 - 7)(0 + 10)}{(0 + 8)(0 - 3)(0 + 10)} = -\dfrac{1}{21} \)
Yukarıdaki tüm bilgileri kullandığımızda fonksiyonun yaklaşık grafiği aşağıdaki gibi bulunur.
Aşağıdaki grafikte \( x = 10 \) noktasında oluşan boş nokta da işaretlenmiştir.
Rasyonel Fonksiyon Dönüşümleri
Fonksiyonların dönüşümü konusunda gördüğümüz tüm dönüşümler rasyonel fonksiyonlara uygulanarak fonksiyonun denkleminde, grafiğinin konumunda ve şeklinde değişiklikler meydana getirilebilir.