Asimptot Kavramı
Bir fonksiyonda \( x \) ve \( y \) değerleri ayrı ayrı ya da birlikte pozitif ya da negatif sonsuza doğru giderken, fonksiyon grafiği gittikçe bir doğru ya da eğriye grafik ve doğru/eğri arasındaki mesafe sıfıra yaklaşacak şekilde yaklaşıyorsa, bu doğruya/eğriye fonksiyonun bir asimptotu denir.
Asimptotlar dört farklı tipte olabilir.
Dikey Asimptot
Bir fonksiyonda \( x \) belirli bir \( a \) değerine soldan ya da sağdan yaklaştıkça \( y \) değeri pozitif ya da negatif sonsuza gidiyorsa, bu \( a \) değerinde fonksiyonun bir dikey asimptotu vardır ve denklemi \( x = a \)'dır.
\( \lim_{x \to a^-} f(x) = \pm \infty \)
veya
\( \lim_{x \to a^+} f(x) = \pm \infty \) ise,
\( x = a \) doğrusu \( f(x) \) fonksiyonunun bir dikey asimptotudur.
Bir fonksiyonun bir ya da daha fazla sayıda dikey asimptotu olabilir ya da bir dikey asimptotu olmayabilir.
Dikey asimptota ilk örnek olarak aşağıdaki rasyonel fonksiyonu verebiliriz.
\( f(x) = \dfrac{x + 1}{x^2 - 4} \)
Grafikte görebileceğimiz gibi, bu fonksiyonun \( x = -2 \) ve \( x = 2 \) olmak üzere iki dikey asimptotu vardır. \( x \) -2 ve 2 değerlerine soldan yaklaşırken \( y \) negatif sonsuza, \( x \) bu değerlere sağdan yaklaşırken \( y \) pozitif sonsuza gitmektedir.
Dikey asimptota ikinci bir örnek olarak aşağıdaki rasyonel fonksiyonu verebiliriz.
\( f(x) = \dfrac{1}{x} \)
Bu örnekte \( x = 0 \) doğrusu, yani \( y \) ekseni fonksiyonun bir dikey asimptotu olmaktadır. \( x \) \( 0 \) değerine soldan yaklaşırken \( y \) negatif sonsuza, \( x \) \( 0 \) değerine sağdan yaklaşırken \( y \) pozitif sonsuza gitmektedir.
Rasyonel fonksiyonlar dışında dikey asimptota sahip fonksiyonlara örnek olarak aşağıdakileri sayabiliriz.
- Tanjant fonksiyonunun tanımsız olduğu değerlerde (\( \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \ldots \)) birer dikey asimptotu vardır.
- Kotanjant fonksiyonunun tanımsız olduğu değerlerde (\( 0, \pi, 2\pi, \ldots \)) birer dikey asimptotu vardır.
- Logaritma fonksiyonunun \( x = 0 \) olmak üzere bir dikey asimptotu vardır.
Yatay Asimptot
Bir fonksiyonda \( x \) pozitif ya da negatif sonsuza giderken \( y \) değeri belirli bir \( a \) değerine yaklaşıyorsa, bu \( a \) değerinde fonksiyonun bir yatay asimptotu vardır ve denklemi \( y = a \)'dır.
\( \lim_{x \to -\infty} f(x) = a \)
veya
\( \lim_{x \to +\infty} f(x) = a \) ise,
\( y = a \) doğrusu \( f(x) \) fonksiyonunun bir yatay asimptotudur.
Bir fonksiyonun en fazla iki yatay asimptotu olabilir ya da bir yatay asimptotu olmayabilir.
Yatay asimptota örnek olarak aşağıdaki rasyonel fonksiyonu verebiliriz.
\( f(x) = \dfrac{2x + 3}{x + 1} \)
Grafikte görebileceğimiz gibi, bu fonksiyonun \( y = 2 \) doğrusu olmak üzere bir yatay asimptotu vardır. \( x \) negatif sonsuza giderken \( y \) 2 değerine aşağıdan, \( x \) pozitif sonsuza giderken \( y \) aynı değere yukarıdan yaklaşmaktadır.
Yukarıda dikey asimptota örnek olarak verdiğimiz \( f(x) = \dfrac{1}{x} \) fonksiyonunun aynı zamanda \( y = 0 \)'da (yani \( y \) ekseni olmak üzere) bir de yatay asimptotu olduğunu görebiliriz.
Rasyonel fonksiyonlar dışında yatay asimptota sahip fonksiyonlara örnek olarak aşağıdakileri sayabiliriz.
- Ters tanjant fonksiyonunun \( y = -\dfrac{\pi}{2} \) ve \( y = \dfrac{\pi}{2} \) olmak üzere iki yatay asimptotu vardır.
- Ters kotanjant fonksiyonunun \( y = 0 \) ve \( y = \pi \) olmak üzere iki yatay asimptotu vardır.
- Üstel fonksiyonların \( y = 0 \) olmak üzere bir yatay asimptotu vardır.
Eğik Asimptot
Yukarıda gördüğümüz yatay asimptotu, \( x \) pozitif ya da negatif sonsuza giderken \( y \) değerinin yaklaştığı sabit bir fonksiyon (\( y = f(x) = a \)) olarak düşünebiliriz. Bazı durumlarda fonksiyon grafiğinin yaklaştığı bu doğru yatay değil, eğimi sıfırdan farklı bir doğru da olabilmektedir. Bu tip asimptotlara eğik asimptot ya da eğimli asimptot denir. Buna göre yatay asimptotları eğimi sıfır olan birer eğik asimptot olarak da düşünebiliriz.
Eğik asimptotların denklemi standart doğru denklemi şeklindedir.
\( m \ne 0 \) olmak üzere,
\( y = mx + b \)
Eğik asimptota örnek olarak aşağıdaki rasyonel fonksiyonu verebiliriz. Bu fonksiyonun \( y = x + 2 \) doğrusu olmak üzere bir eğik asimptotu bulunmaktadır.
\( f(x) = \dfrac{x^2 - 9}{x - 2} \)
Asimptot denklemi: \( y = x + 2 \)
Grafikte görebileceğimiz gibi, bu fonksiyonun \( y = x + 2 \) doğrusu olmak üzere bir eğik asimptotu vardır. \( x \) negatif sonsuza giderken \( y \) doğruya yukarıdan, \( x \) pozitif sonsuza giderken \( y \) doğruya aşağıdan yaklaşmaktadır.
Eğri Asimptot
Asimptotlar sadece doğrusal değil, ikinci ya da daha yüksek dereceden birer polinom fonksiyonu da olabilir. Bu tip doğrusal olmayan asimptotlara eğri asimptot denir.
Yatay, eğik ve eğri asimptotları (dikey asimptotlardan farklı olarak) birbirlerinden dereceleri ile ayrılan asimptot tipleri olarak düşünebiliriz.
Eğri asimptota örnek olarak aşağıdaki rasyonel fonksiyonu verebiliriz. Bu fonksiyonun \( y = x^2 - 2x + 1 \) eğrisi olmak üzere bir eğik asimptotu bulunmaktadır.
\( f(x) = \dfrac{x^3 - 2x^2 + x - 1}{x} \)
Asimptot denklemi: \( y = x^2 - 2x + 1 \)
Grafikte görebileceğimiz gibi, bu fonksiyonun \( y = x^2 - 2x + 1 \) eğrisi olmak üzere bir eğri asimptotu vardır. \( x \) negatif sonsuza giderken \( y \) eğrinin sol koluna içten, \( x \) pozitif sonsuza giderken \( y \) eğrinin sağ koluna dıştan yaklaşmaktadır.