Parabolün x Eksenine Göre Durumu

Bir parabolün grafiğinin \( x \) eksenine göre durumu üç farklı şekilde olabilir:

  • \( x \) eksenini iki noktada keser.
  • \( x \) eksenini tek bir noktada (teğet) keser.
  • \( x \) eksenini kesmez.

Denklemi verilen bir parabolün \( x \) eksenine göre bu üç durumdan hangisinde olduğunu anlamak için denklemin deltasını (diskriminantını) hesaplarız:

Aşağıda bu üç durumu daha detaylı inceleyeceğiz.

Parabol x Eksenini İki Noktada Keser

x eksenini iki noktada kesen parabol
x eksenini iki noktada kesen parabol

Bir parabol \( x \) eksenini iki noktada kesiyorsa aşağıdaki çıkarımları yapabiliriz:

  • Parabolün deltası sıfırdan büyüktür.
  • Parabolün denklemi \( y = a(x - x_1)(x - x_2) \) şeklinde yazılabilir.
  • Parabolün bir kısmı \( x \) ekseninin üstünde, bir kısmı altında kalır, yani \( y \) hem pozitif hem negatif değer alır.
  • \( y = 0 \) denkleminin iki kökü vardır, bu kökler parabol grafiğinin \( x \) eksenini kestiği iki noktanın apsisleridir.
  • Parabolün tepe noktasının apsisi parabolün \( x \) eksenini kestiği iki noktanın apsislerinin orta noktasıdır.

Parabol x Eksenini Tek Bir Noktada (Teğet) Keser

x eksenini bir noktada (teğet) kesen parabol
x eksenini bir noktada (teğet) kesen parabol

Bir parabol \( x \) eksenini tek bir noktada kesiyorsa aşağıdaki çıkarımları yapabiliriz:

  • Parabolün deltası sıfıra eşittir.
  • Parabolün denklemi \( y = a(x - x_1)^2 \) şeklinde yazılabilir.
  • \( a \gt 0 \) ise parabol değeri hiçbir zaman negatif olamaz (\( y \ge 0 \)).
  • \( a \lt 0 \) ise parabolün değeri hiçbir zaman pozitif olamaz (\( y \le 0 \)).
  • \( y = 0 \) denkleminin tek bir kökü vardır, bu kök parabol grafiğinin \( x \) eksenini kestiği noktanın apsisidir.
  • Parabolün tepe noktası parabolün \( x \) eksenini kestiği noktadır.

Parabol x Eksenini Kesmez

x eksenini kesmeyen parabol
x eksenini kesmeyen parabol

Bir parabol \( x \) eksenini kesmiyorsa aşağıdaki çıkarımları yapabiliriz:

  • Parabolün deltası sıfırdan küçüktür.
  • Parabol denklemi kökleri reel sayı olacak şekilde çarpanlarına ayrılamaz.
  • \( a \gt 0 \) ise parabolün değeri her zaman pozitiftir (\( y \gt 0 \)).
  • \( a \lt 0 \) ise parabolün değeri her zaman negatiftir (\( y \lt 0 \)).
  • \( y = 0 \) denkleminin birbirinin eşleniği iki karmaşık kökü vardır.

Parabolün Kökleri ve Katsayıları

Bir parabolün kökleri ile denkleminin katsayıları arasında aşağıdaki ilişkiler vardır. Bu formüllerin nasıl türetildiği ile ilgili detaylı bilgi için İkinci Dereceden Denklemlerin Kökleri sayfasını inceleyebilirsiniz.

İfade Formül
Kökler toplamı \( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} \)
Kökler çarpımı \( x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} \)
Köklerin çarpmaya göre terslerinin toplamı \( \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = -\dfrac{b}{c} \)
Kökler farkının mutlak değeri \( \abs{x_1 - x_2} = \dfrac{\sqrt{\Delta}}{\abs{a}} \)
Simetrik köklerde kökler toplamı \( x_1 + x_2 = 0 \)

Bunlara ek olarak, özdeşlikleri kullanarak bir parabol denkleminin kökleri arasında aşağıdaki ilişkileri kurabiliriz.

SORU:

\( f(x) = 3x^2 - 4x + 2m + 1 \) fonksiyonunun grafiği \( x \) eksenine teğet ise \( m \) kaçtır?

Çözümü Göster


SORU:

\( f(x) = x^2 - 4x + m - 2 \) fonksiyonunun grafiği \( x \) eksenini iki noktada kesiyorsa \( m \) için geçerli değer aralığı nedir?

Çözümü Göster


SORU:

\( f(x) = x^2 - mx + 3m \) fonksiyonunun grafiği \( x \) eksenini kesmediğine göre \( m \) için geçerli değer aralığı nedir?

Çözümü Göster


SORU:
Parabol soru

Yukarıda grafiği verilen parabolün tepe noktası \( T(4, k) \) noktasıdır.

\( \abs{OB} = 5 \cdot \abs{OA} \) olduğuna göre, \( A \) ve \( B \) noktalarının apsisi kaçtır?

Çözümü Göster


SORU:

\( y = x^2 - (4m + 3)x + 16 \) parabolünün tepe noktasının \( x \) ekseni üzerinde olması için \( m \)'nin alabileceği değerler nelerdir?

Çözümü Göster


SORU:
Parabol soru

Yukarıdaki şekilde \( f(x) = x^2 + 5x + c \) parabolünün grafiği verilmiştir.

Parabolün \( x \) eksenini kestiği noktalar \( A \) ve \( B \) ve \( \abs{AB} = 1 \text{ br} \) olduğuna göre, parabolün \( y \) eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?

Çözümü Göster


« Önceki
Parabolün Denkleminin Bulunması
Sonraki »
Parabolün Grafik Yorumu


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır