Parabolün Kökleri

Parabol \( x \) eksenine teğet ise denklemin çakışık iki reel kökü vardır ve deltası sıfırdır.

\( \Delta = b^2 - 4ac = 0 \)

\( a = 3, \quad b = -4, \quad c = 2m + 1 \)

\( (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (2m + 1) = 0 \)

\( 16 - 24m - 12 = 0 \)

\( m = \dfrac{1}{6} \) bulunur.

Parabol \( x \) eksenini iki noktada kesiyorsa deltası sıfırdan büyük olmalıdır.

\( \Delta = b^2 - 4ac \gt 0 \)

\( a = 1, \quad b = -4, \quad c = m - 2 \)

\( (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m - 2) \gt 0 \)

\( 16 - 4m + 8 \gt 0 \)

\( m \lt 6 \) bulunur.

Parabol \( x \) eksenini kesmiyorsa deltası sıfırdan küçük olmalıdır.

\( \Delta = b^2 - 4ac \lt 0 \)

\( a = 1, \quad b = -m, \quad c = 3m \)

\( (-m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3m \lt 0 \)

\( m^2 - 12m \lt 0 \)

\( m(m - 12) \lt 0 \)

Bu eşitsizliğin çözüm kümesi \( (0, 12) \) açık aralığıdır.

\( 0 \lt m \lt 12 \) bulunur.

Parabolün tepe noktasının \( x \) ekseni üzerinde olması parabolün \( x \) eksenine teğet olması, yani deltasının sıfır olması anlamına gelir.

\( \Delta = b^2 - 4ac = 0 \)

\( a = 1, \quad b = -(4m + 3), \quad c = 16 \)

\( (-(4m + 3))^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 0 \)

\( (4m + 3)^2 - 8^2 = 0 \)

Kare farkı özdeşliğini uygulayalım.

\( (4m + 3 - 8)(4m + 3 + 8) = 0 \)

\( (4m - 5)(4m + 11) = 0 \)

\( m \) için geçerli değerler bu denklemdeki çarpanları sıfır yapan değerlerden oluşur.

\( m \in \{-\frac{11}{4}, \frac{5}{4}\} \) bulunur.

Parabolün katsayılarını yazalım.

\( a = 1, \quad b = -(m - 4), \quad c = -2m - 1 \)

Parabolün tepe noktası \( y \) ekseni üzerinde ise tepe noktasının apsis değeri 0, dolayısıyla parabolün \( b \) katsayısı 0 olur.

Parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) olmak üzere,

\( r = -\dfrac{b}{2a} \)

\( r = 0 \Longrightarrow b = 0 \)

Buna göre \( m = 4 \) olur ve parabolün denklemi aşağıdaki gibi olur.

\( y = x^2 - (4 - 4)x - 2(4) - 1 \)

\( y = x^2 - 9 \)

Parabolün \( x \) eksenini kestiği noktaları bulmak için denklemde \( y = 0 \) yazalım.

\( y = x^2 - 9 = 0 \)

\( (x + 3)(x - 3) = 0 \)

Buna göre parabol \( x \) eksenini \( x = -3 \) ve \( x = 3 \) noktalarında keser.

Bu iki nokta arasındaki uzaklık \( \abs{x_2 - x_1} = \abs{3 - (-3)} = 6 \) olarak bulunur.

Yöntem 1:

Parabolün \( x \) eksenini kestiği noktaları bulmak için denklemde \( y = 0 \) yazalım.

\( f(x) = x^2 + 4x - 21 = 0 \)

\( (x + 7)(x - 3) = 0 \)

Buna göre parabol \( x \) eksenini \( x = -7 \) ve \( x = 3 \) noktalarında keser.

Bu iki nokta arasındaki uzaklık \( \abs{x_2 - x_1} = \abs{3 - (-7)} = 10 \) olarak bulunur.

Yöntem 2:

Parabolün katsayılarını yazalım.

\( a = 1, \quad b = 4, \quad c = -21 \)

İkinci dereceden bir denklemin kökler farkının mutlak değeri bu iki nokta arasındaki uzaklığı verir.

Kökler farkının mutlak değeri formülü:

\( = \dfrac{\sqrt{\Delta}}{\abs{a}} = \dfrac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{\abs{a}} \)

\( = \dfrac{\sqrt{4^2 - 4(1)(-21)}}{\abs{1}} \)

\( = 10 \) bulunur.

\( A(m, 0) \) noktası parabolün üzerinde bir nokta olduğu için denklemde yerine koyduğumuzda denklemi sağlar.

\( f(m) = m^2 - 2m - 16 = 0 \)

\( m^2 - 2m = 16 \)

Değeri sorulan ifadenin açılımını yazalım.

\( (m + 1)(m - 3) = m^2 - 2m - 3 \)

\( = 16 - 3 = 13 \) bulunur.

Denklemin katsayılarını yazalım.

\( a = 1, \quad b = -m, \quad c = n \)

Reel katsayılı ikinci dereceden bir denklemin bir kökü karmaşık sayı ise diğer kökü de karmaşıktır ve kökler birbirinin eşleniğidir.

\( x_1 = 1 + i, \quad x_2 = 1 - i \)

Parabolün kökler toplamını bulalım.

\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} \)

\( (1 + i) + (1 - i) = -\dfrac{-m}{1} \)

\( 2 = m \)

Parabolün kökler çarpımını bulalım.

\( x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} \)

\( (1 + i)(1 - i) = \dfrac{n}{1} \)

\( 1 - i^2 = n \)

\( n = 2 \)

\( m \cdot n = 2 \cdot 2 = 4 \) bulunur.

Verilen fonksiyonun grafiği bir paraboldür. Tüm reel sayılarda \( f(x) \le 0 \) ise parabolün kolları aşağı yönlüdür, dolayısıyla başkatsayısı negatiftir.

\( f(3) = 0 \) olduğuna göre parabol \( x \) eksenini kesmektedir, parabol pozitif değer almadığı için \( x \) eksenini teğet keser, dolayısıyla fonksiyonun \( x = 3 \) noktasında çift katlı bir kökü vardır.

Buna göre fonksiyonun denklemi aşağıdaki gibi olur.

\( f(x) = a(x - 3)^2 \)

\( a \) değerini bulmak için \( x = 8 \) verelim.

\( f(8) = a(8 - 3)^2 = -20 \)

\( a = \dfrac{-20}{25} = -\dfrac{4}{5} \)

Bu durumda fonksiyon denklemi aşağıdaki gibi olur.

\( f(x) = -\dfrac{4}{5}(x - 3)^2 \)

\( f(-7) \) değerini bulmak için \( x = -7 \) yazalım.

\( f(-7) = -\dfrac{4}{5}(-7 - 3)^2 \)

\( = -80 \) bulunur.

\( a, b, c \in \mathbb{R} - \{0\} \)

\( f(x) = ax^2 + bx + c \)

Katsayılar toplamı, kökler toplamı ve kökler çarpımı birbirine eşittir.

\( a + b + c = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{c}{a} \)

İlk önce kökler toplamı ve çarpımını birbiriyle karşılaştıralım.

\( -\dfrac{b}{a} = \dfrac{c}{a} \)

\( -b = c \)

Şimdi katsayılar toplamı ile kökler çarpımını karşılaştıralım.

\( a + b + c = \dfrac{c}{a} \)

\( a + b - b = \dfrac{c}{a} \)

\( a^2 = c \)

\( -b = c \) eşitliğini kullanalım.

\( -a^2 = b \)

Fonksiyon tanımındaki katsayıları \( a \) cinsinden yazalım.

\( f(x) = ax^2 - a^2x + a^2 \)

\( f(2) \) değerini kullanarak \( a \) değerini bulalım.

\( f(2) = a(2)^2 - a^2(2) + a^2 = 4 \)

\( a^2 - 4a + 4 = 0 \)

\( (a - 2)^2 = 0 \)

\( a = 2 \)

\( f(x) \) fonksiyonunu yazalım.

\( f(x) = 2x^2 - 4x + 4 \)

\( f(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 4 \)

\( = 2 \) bulunur.

\( \abs{AO} = m \) diyelim.

\( \abs{OB} = 5 \cdot \abs{AO} = 5m \) olur.

\( \abs{AB} = m + 5m = 6m \)

Parabolün simetri ekseninin parabol üzerinde ordinatı aynı olan noktalara yatay uzaklığı eşittir.

\( \abs{AC} = \abs{CB} = \dfrac{6m}{2} = 3m \)

\( \abs{OC} = 3m - m = 2m = 4 \)

\( m = 2 \) bulunur.

Buradan \( A \) ve \( B \) noktalarının apsis değerlerini aşağıdaki gibi buluruz.

\( A(-m, 0) = A(-2, 0) \)

\( B(5m, 0) = B(10, 0) \)

Parabolün kökler toplamını bulalım.

\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{5}{1} = -5 \)

\( A \) ve \( B \) noktaları arasındaki uzaklığı aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.

\( \abs{AB} = \abs{x_1 - x_2} = 1 \)

\( x_1 \)'i büyük kök olarak kabul edelim.

\( x_1 - x_2 = 1 \)

İki bilinmeyenli iki denklemi çözersek aşağıdaki kök değerlerini buluruz.

\( x_1 = -2, \quad x_2 = -3 \)

Kökler çarpımı formülünü kullanarak \( c \) değerini bulalım.

\( x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} \)

\( -3 \cdot (-2) = c \)

\( c = 6 \) bulunur.

Parabolün katsayılarını yazalım.

\( a = -1, \quad b = m, \quad c = n \)

Kökler toplamı formülünü yazalım.

\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = m \)

Kökler çarpımı formülünü yazalım.

\( x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} = -n \)

\( x_1 + x_2 = 3x_1 \cdot x_2 \) olarak veriliyor.

\( m = -3n \)

Parabolün \( y \) eksenini kestiği noktanın ordinat değeri aynı zamanda parabolün sabit terimine eşittir.

\( n = -4 \)

\( m = -3n = 12 \)

Buna göre parabolün denklemi aşağıdaki gibi olur.

\( f(x) = -x^2 + 12x - 4 \)

Negatif başkatsayılı parabol en büyük değerini tepe noktasında alır.

Parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) olmak üzere,

\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{12}{2 \cdot (-1)} = 6 \)

\( k = f(r) = -6^2 + 12(6) - 4 \)

\( = 32 \) bulunur.

Parabolün katsayılarını yazalım.

\( a = -1, \quad b = 14, \quad c = 4m + 8 \)

Parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) olmak üzere,

\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{14}{1 \cdot (-2)} = 7 \)

\( A \) noktasının koordinatlarına \( A(2a, 0) \) diyelim.

\( 5\abs{AO} = 2\abs{OB} \) olduğuna göre, \( B \) noktasının koordinatları \( B(5a, 0) \) olur.

Bu iki noktanın apsis değerlerinin ortalaması tepe noktasının apsis değerini verir.

\( \dfrac{2a + 5a}{2} = 7 \)

\( a = 2 \)

\( A(2a, 0) = A(4, 0) \)

\( A \) noktasının koordinatlarını parabol denkleminde yerine koyalım.

\( f(4) = -4^2 + 14(4) + 4m + 8 = 0 \)

\( 4m = -48 \)

\( m = -12 \) bulunur.

Parabolün katsayılarını yazalım.

\( a = 1, \quad b = -m, \quad c = 8 \)

Parabolün köklerine \( x_1 \) ve \( x_2 \) diyelim.

Kökler toplamı formülünü yazalım.

\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = m \)

\( \abs{AB} = 2 \) olduğu için:

\( x_2 = x_1 + 2 \)

\( x_1 + x_1 + 2 = m \)

\( 2x_1 + 2 = m \)

Kökler çarpımı formülünü yazalım.

\( x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} = 8 \)

\( x_1 \cdot (x_1 + 2) = 8 \)

\( x_1^2 + 2x_1 - 8 = 0 \)

\( (x_1 + 4)(x_1 - 2) = 0 \)

Kökler \( x \) ekseninin pozitif tarafında olduğu için işaretleri pozitiftir, dolayısıyla \( x_1 = 2 \) olur.

\( x_2 = x_1 + 2 = 4 \)

\( m = x_1 + x_2 = 6 \)

Buna göre parabolün denklemi aşağıdaki gibi olur.

\( f(x) = x^2 - 6x + 8 \)

\( f(5) = 5^2 - 6(5) + 8 = 3 \) bulunur.