Temel Satır İşlemleri

Bir matris üzerinde, matrisin temsil ettiği lineer denklem sisteminin çözüm kümesini değiştirmeden yapabileceğimiz işlemlere temel (elementer) satır işlemleri denir.

Örnek olarak aşağıda sağda verilen denklem sistemi temel satır işlemleri ile soldaki denklem sisteminden türetilmiştir ve her iki denklem sisteminin tek çözümü \( (a, b, c) = (5, 2, -3) \)'tür.

Denk denklem sistemleri
Denk denklem sistemleri

Soldaki denklem sisteminin çözümü üç değişkenli bir sistem için bile pek çok işlem gerektiriyor olsa da, sağdaki denklem sistemini aşağıdaki adımlarla kolayca çözebiliriz.

Bu örnekte görebildiğimiz gibi, temel satır işlemlerinin amacı bir lineer denklem sistemine denk, yani aynı çözüm kümesine sahip daha sade denklem sistemleri elde etmek ve bu şekilde denklem sisteminin çözümünü kolaylaştırmaktır.

Yer değiştirme, skaler çarpma ve toplama olmak üzere üç tip satır işlemi vardır.

Yer Değiştirme

Yer değiştirme satır işleminde matrisin iki satırı aralarında yer değiştirir.

Bir matrisin \( i \). ve \( j \). satırları arasındaki yer değiştirme işlemi aşağıdaki şekilde gösterilir.

Aşağıdaki şekilde matrisin 1. ve 3. satırları arasındaki yer değiştirme işlemi gösterilmiştir.

Yer değiştirme satır işlemi
Yer değiştirme satır işlemi

Bir yer değiştirme işlemi aynı işlem matrise tekrar uygulanarak tersine çevrilebilir.

Skaler Çarpma

Çarpma satır işleminde matrisin bir satırının her elemanı sıfırdan farklı bir reel sayı ile çarpılır.

Bir matrisin \( i \). satırının \( k \) sayısı ile çarpma işlemi aşağıdaki şekilde gösterilir.

Aşağıdaki şekilde matrisin 2. satırına uygulanan 3 ile çarpma işlemi gösterilmiştir.

Skaler çarpma satır işlemi
Skaler çarpma satır işlemi

Bir skaler çarpma işlemi aşağıdaki işlemle tersine çevrilebilir.

Toplama

Toplama satır işleminde matrisin bir satırının her elemanının belirli bir katı alınır ve ikinci bir satırın aynı sütundaki elemanı ile toplanır. Bu işlemde sonuç ikinci satıra yazılır, birinci satır orijinal haliyle kalır.

Bir matrisin \( i \). satırının \( k \) katını \( j \). satırla toplama işlemi aşağıdaki şekilde gösterilir.

Aşağıdaki şekilde matrisin 2. satırının -2 katının 3. satırla toplama işlemi gösterilmiştir.

Toplama satır işlemi
Toplama satır işlemi

Bir skaler çarpma işlemi aşağıdaki işlemle tersine çevrilebilir.

Temel satır işlemleri bir matrise tekrarlı bir şekilde uygulanabilir. Bir \( A \) matrisine herhangi bir sayıda ve sırada uygulanan temel satır işlemleri sonucunda \( B \) matrisi elde ediliyorsa \( A \) ve \( B \) matrisleri satırca denk matrislerdir.

Satırca denk matrislerin karşılık geldikleri lineer denklem sistemlerinin çözüm kümeleri aynıdır. Bir diğer ifadeyle, bir denklem sistemine uygulanan temel satır işlemleri sistemin çözüm kümesini değiştirmez.

Temel satır işlemleri geri alınabilir işlemlerdir. Bir \( B \) matrisi satır işlemleri ile \( A \) matrisinden türetilebiliyorsa \( A \) matrisi de yukarıda her işlem için belirtilen ters işlemlerle \( B \) matrisinden türetilebilir.


« Önceki
Lineer Denklemlerin Matris Gösterimi
Sonraki »
Gauss Eliminasyon Yöntemi


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır