Matrislerle Lineer Denklem Sistemleri Çözümü
Denklem sistemleri konusunda birinci dereceden (lineer) denklem sistemlerini çözmekte kullanabileceğimiz yerine koyma, yok etme (eliminasyon) ve eşitleme yöntemlerini görmüştük. Bu denklem sistemlerini bu bölümde göreceğimiz yöntemleri kullanarak matrisler yardımıyla da çözebiliriz.
Denklem Sistemlerinin Matris Gösterimi
\( n \) bilinmeyen ve \( m \) denklemden oluşan bir lineer denklem sistemi cebirsel olarak aşağıdaki şekilde yazılabilir. Bu sistemde \( x_i \) ifadeleri bilinmeyenleri, \( a_{ij} \) ifadeleri bilinmeyenlerin katsayılarını ve \( b_i \) ifadeleri sabit terimleri temsil etmektedir.
\( a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n = b_1 \)
\( a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n = b_2 \)
\( \vdots \quad \vdots \quad \vdots \)
\( a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n = b_m \)
Bir denklem sisteminin cebirsel yazılışında genel kural tüm denklemlerde değişken içeren terimlerin eşitliğin sol tarafında, sabit terimlerin de sağ tarafında bulunmasıdır. Ayrıca bilinmeyenlerin sırası tüm denklemlerde aynı olmalıdır. Denklemlerin hangi sırada listelendiğinin bir önemi yoktur.
Matris Denklemi
Bir denklem sisteminin matris gösterim yöntemlerinden biri olan matris denklemi gösteriminde önce denklem sisteminin üç bileşenini (bilinmeyenler, katsayılar ve sabit terimler) ayrı birer matris olarak tanımlarız.
\( A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{bmatrix} \), \( \quad X = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} \), \( \quad B = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{bmatrix} \)
\( X \) bilinmeyenler matrisi olup \( n \) bilinmeyeni \( n \times 1 \) bir matris şeklinde tutar.
\( A \) katsayılar matrisi olup \( m \) denklemdeki \( n \) bilinmeyenin katsayılarını \( m \times n \) bir matris şeklinde tutar. Bu matrisin \( a_{ij} \) elemanı \( j \). bilinmeyenin \( i \). denklemdeki katsayısına karşılık gelir.
\( B \) sabit terimler matrisi olup \( m \) denklemde eşitliğin sağ tarafındaki sabit terimleri \( m \times 1 \) bir matris şeklinde tutar.
Bu üç matris arasında aşağıdaki matris denklemini kurduğumuzda denklem sistemini matris formunda ifade etmiş oluruz. Buna göre bir lineer denklem sistemi katsayılar ve bilinmeyenler matrislerinin çarpımının sabit terimler matrisine eşitliği şeklinde yazılabilir.
\( AX = B \)
Bu koşulları sağlayan dört bilinmeyenli dört denklemden oluşan örnek bir denklem sistemi aşağıda verilmiştir. Denklem sistemini matrise dönüştürürken bir katsayının ya da sabit terimin önünde negatif işareti varsa katsayı/sabit terim ilgili matrise bu negatif işareti ile birlikte yazılır. Bir bilinmeyen belirli bir denklemde bulunmuyorsa katsayı matrisine sıfır olarak yazılır.
\( \quad x_1 + 3x_2 - 2x_3 + 2x_4 \quad = 9 \)
\( -2x_1 + 4x_2 \quad \quad \quad - x_4 \quad = 2 \)
\( \quad 3x_1 \quad \quad + 2x_3 - 3x_4 = -3 \)
\( \quad 2x_1 - 5x_2 + 3x_3 \quad \quad \quad = 1 \)
Artırılmış Matris
Bir denklem sisteminin bir diğer matris gösterim yöntemi artırılmış matris gösterimidir. Artırılmış matris sabit terim matrisinin katsayı matrisinin sonuna eklenmesiyle oluşur, buna göre \( n \) bilinmeyenli \( m \) denklemden oluşan bir denklem sistemi için artırılmış matris \( m\) satır ve \( n + 1 \) sütundan oluşur.
Yukarıdaki denklem sisteminin artırılmış matrisi aşağıdaki gibi olur. Her ne kadar şart olmasa da matrisin bir artırılmış matris olduğunu vurgulamak adına genellikle sabit terimlerin bulunduğu son sütun diğer sütunlardan dikey bir çizgi ile ayrılır.
Denklem Sistemlerinin Çözümü
Bir denklem sistemini matris formuna dönüştürdükten sonra Gauss eliminasyon yöntemi ya da Cramer kuralını kullanarak denklem sistemini çözebiliriz. Önümüzdeki iki bölümde bu yöntemleri detaylı inceleyeceğiz.