Gauss Eliminasyon Yöntemi

Gauss eliminasyon yöntemi lineer denklem sistemlerini çözmek için kullanabileceğimiz yöntemlerden biridir.

Satır Eşelon Formu

Gauss eliminasyon yönteminde amacımız elde ettiğimiz artırılmış matrisi satır işlemlerini kullanarak satır eşelon formuna getirmek ve sonrasında bu sadeleştirilmiş matrisi kullanarak denklem sistemini çözmektir.

Matrisi Satır Eşelon Formuna Getirme

Ön bir bilgi olarak, bir matriste tüm elemanları sıfır olan satıra sıfır satırı denir. Bir satırın sıfırdan farklı soldan ilk elemanına o satırın pivotu denir.

Satır eşelon formundaki bir matris aşağıdaki iki koşulu sağlamalıdır.

  • Matriste sıfır satırları varsa matrisin en altında yer almalıdır.
  • Sıfır satırı olmayan her satırın pivotu bir üstteki satırın pivotunun sağında bir sütunda bulunmalıdır. Bunun bir sonucu olarak bir pivotun aynı sütunda altında bulunan elemanlar sıfır olmalıdır.

Aşağıda satır eşelon formunda bir matris verilmiştir. Görülebileceği gibi, kırmızı ile işaretli sıfır satırı matrisin en altındadır, diğer satırlardaki yeşil ile işaretli her pivot bir önceki satırın pivotunun sağında bir sütundadır ve altındaki tüm elemanlar sıfırdır.

Satır eşelon formu
Satır eşelon formu

\( n \) bilinmeyenli \( n \) denklemden oluşan bir denklem sisteminde sıfır satırı bulunmayacağı için satır eşelon formunun katsayı kısmı (dikey çizginin solu) aşağıdaki gibi üst üçgen bir matris olur.

Üst üçgen satır eşelon formu
Üst üçgen satır eşelon formu

Bir matrisi satır işlemlerini kullanarak satır eşelon formuna getirmek için aşağıdaki adımları takip edebiliriz.

  • 1. sütundan başlayarak pivotu olan ilk sütun ve bu sütunda en üstte bulunan pivot belirlenir.
  • Bu pivotun bulunduğu satırı kullanarak pivotun aynı sütunda altında bulunan elemanlar toplama satır işlemi ile sırayla sıfıra eşitlenir.
  • Yukarıdaki iki adım sağa doğru pivotu olan her sütun için tekrarlanır.

Şimdi bu yöntemi bir örnek denklem sistemi üzerinde uygulayalım.

Aşağıda bu denklem sisteminin artırılmış matrisi solda verilmiştir ve matriste pivot olan elemanlar yeşil ile işaretlenmiştir. Buna göre pivotu olan ilk sütun 1. sütun ve bu sütunda en üstteki pivot \( a_{11} \) elemanıdır.

\( a_{11} \) pivotunun aynı sütunda altında bulunan \( a_{21} \) ve \( a_{31} \) elemanlarını toplama işlemi ile sırayla sıfıra eşitleyelim.

İlk önce \( a_{21} \) elemanını \( 2R_1 + R_2 \rightarrow R_2 \) toplama işlemi ile sıfıra eşitleyelim.

Satır eşelon formu (adım 1)
Satır eşelon formu (adım 1)

Sonra \( a_{31} \) elemanını \( -3R_1 + R_3 \rightarrow R_3 \) toplama işlemi ile sıfıra eşitleyelim.

Satır eşelon formu (adım 2)
Satır eşelon formu (adım 2)

Bu şekilde 1. sütunu istediğimiz forma getirmiş, yani \( a_{11} \) pivotunun altındaki elemanları sıfıra eşitlemiş olduk.

Elde ettiğimiz yeni matriste pivot olan elemanlar yine yeşil ile işaretlenmiştir. Buna göre 1. sütundan sonra pivotu olan ilk sütun 2. sütun ve bu sütunda en üstteki pivot \( a_{22} \) elemanıdır.

\( a_{22} \) pivotunun aynı sütunda altında bulunan \( a_{32} \) elemanını \( -R_2 + R_3 \rightarrow R_3 \) toplama işlemi ile sıfıra eşitleyelim.

Satır eşelon formu (adım 3)
Satır eşelon formu (adım 3)

Bu şekilde 2. sütunu da istediğimiz forma getirmiş, yani \( a_{22} \) pivotunun altındaki elemanı sıfıra eşitlemiş olduk.

Geriye sadece 3. sütun kaldığı ve bu sütunun pivotu olan \( a_{33} \) elemanı en alt satırda bulunduğu için altında sıfıra eşitleyebileceğimiz bir eleman yoktur, dolayısıyla ek bir işlem yapmamıza gerek yoktur. Elde ettiğimiz matris satır eşelon formunda bir matristir.

Çözüm Kümesini Bulma

Yukarıdaki adımlarda satır işlemleri sonucunda elde ettiğimiz tüm matrisler çözüm kümesi aynı olan denklem sistemlerine karşılık gelmektedir. Örneğin yer değiştirme satır işlemi denklem sistemindeki iki denklemin sırasını değiştirir ya da çarpma satır işlemi bir denklemde eşitliğin sol ve sağ tarafındaki tüm terimleri aynı sabit sayı ile çarpar. Her iki işlemin de bir denklemin sisteminin çözüm kümesine bir etkisi yoktur, bu yüzden uyguladığımız bu yöntem problemin çözüm kümesini değiştirmeden çözümü kolaylaştırma amacıyla yaptığımız bir sadeleştirme işlemidir.

Dikkat edilirse, elde ettiğimiz satır eşelon formundaki matrisin son satırı sadece \( c \) bilinmeyenini içermektedir, dolayısıyla bu satırı denklem şeklinde aşağıdaki şekilde yazarak \( c \) bilinmeyeninin değerini bulabiliriz.

Matrisin sondan ikinci satırı değerini bulduğumuz \( c \) bilinmeyenine ek olarak \( b \) bilinmeyenini içermektedir, dolayısıyla bu satırı da denklem şeklinde aşağıdaki şekilde yazarak \( b \) bilinmeyeninin değerini bulabiliriz.

Aynı işlemi bir üstteki, yani 1. satır için yapalım.

Buna göre denklem sisteminin çözüm kümesini \( (a, b, c) = (1, 2, 3) \) sıralı üçlüsü olarak bulmuş oluruz.

Bu çözümü ilk verilen denklem sisteminde yerine koyarak sağlamasını yapalım.

Tüm denklemler sağlandığı için bulduğumuz çözüm kümesinin doğru olduğunu teyit etmiş olduk.

Özetlemek gerekirse, elde ettiğimiz satır eşelon formundaki matris bize birebir çözüm kümesini vermese de matrisi denklem sisteminin çözümünü oldukça kolaylaştıran bir forma indirgemiş oldu.

Bu noktaya kadarki adımlar bize çözüm için bir yöntem sunsa da, matrisin bu ikinci denklem çözme adımını gerektirmeyecek şekilde nihai çözüm kümesini vermesini istersek ek bazı satır işlemleri ile matrisi aşağıda bahsedeceğimiz indirgenmiş satır eşelon formuna getirebiliriz.

İndirgenmiş Satır Eşelon Formu

Matrisi İndirgenmiş Satır Eşelon Formuna Getirme

İndirgenmiş satır eşelon formundaki bir matris yukarıda listelediğimiz satır eşelon formu koşullarına ek olarak aşağıdaki iki koşulu sağlamalıdır.

  • Matristeki tüm pivotlar 1 olmalıdır.
  • Bir sütunda pivot varsa o sütunda pivot dışındaki tüm elemanlar sıfır olmalıdır.

Aşağıda indirgenmiş satır eşelon formunda bir matris verilmiştir ve matrisin pivotları yeşil ile işaretlenmiştir. Bu matris yukarıdaki satır eşelon formu koşullarını sağlamaktadır, ek olarak matriste pivot olan sütunlarda pivot dışındaki elemanlar sıfırdır. 3. sütunda pivot bulunmadığı için sıfırdan farklı elemanların bulunması matrisin indirgenmiş satır eşelon formunda olmasına engel değildir.

İndirgenmiş satır eşelon formu
İndirgenmiş satır eşelon formu

NOT: Bazı kaynaklarda her satırın pivotunun 1 olma koşulu indirgenmiş satır eşelon formunun değil, satır eşelon formunun bir koşulu olarak geçmektedir. Koşulların bu şekilde kabul edilmesi elde edeceğimiz nihai çözüm kümesini değiştirmeyecektir.

Önceki adımda elde ettiğimiz satır eşelon formundaki matrisi indirgenmiş satır eşelon formuna getirmek için aşağıdaki adımları takip edebiliriz.

  • Matristeki pivotlar içinde en sağdaki sütundaki pivot seçilir.
  • Bu pivotun çarpma satır işlemi ile 1'e eşitlenir.
  • Bu pivotun aynı sütunda üstünde bulunan elemanlar toplama satır işlemi ile sıfıra eşitlenir.
  • Yukarıdaki 3 adım sola doğru pivotu olan her sütun için tekrarlanır.

Şimdi bu yöntemi yukarıda elde ettiğimiz satır eşelon formundaki matris üzerinde uygulayalım.

Aşağıda satır eşelon formundaki matris solda verilmiştir ve matriste pivot olan elemanlar yeşil ile işaretlenmiştir. Buna göre en sağ sütundan başladığımızda ilk pivot 3. sütundaki \( a_{33} \) elemanıdır.

\( a_{33} \) elemanını \( -\frac{1}{8}R_3 \rightarrow R_3 \) çarpma işlemi ile 1'e eşitleyelim.

İndirgenmiş satır eşelon formu (adım 1)
İndirgenmiş satır eşelon formu (adım 1)

Daha sonra bu pivotun üstündeki elemanları toplama işlemi ile sıfıra eşitleyelim.

İlk önce \( a_{13} \) elemanını \( -2R_3 + R_1 \rightarrow R_1 \) toplama işlemi ile sıfıra eşitleyelim.

İndirgenmiş satır eşelon formu (adım 2)
İndirgenmiş satır eşelon formu (adım 2)

Sonra \( a_{23} \) elemanını \( -4R_3 + R_2 \rightarrow R_2 \) toplama işlemi ile sıfıra eşitleyelim.

İndirgenmiş satır eşelon formu (adım 3)
İndirgenmiş satır eşelon formu (adım 3)

Bu şekilde 3. sütunu istediğimiz forma getirmiş, yani pivotu 1'e eşitlemiş hem de pivotun üstündeki elemanları sıfıra eşitlemiş olduk.

Elde ettiğimiz yeni matriste pivot olan elemanlar aşağıda yine yeşil ile işaretlenmiştir. Buna göre sola doğru ilerlediğimizde sıradaki pivot \( a_{22} \) elemanıdır.

\( a_{22} \) pivotunu \( \frac{1}{2}R_2 \rightarrow R_2 \) çarpma işlemi ile 1'e eşitleyelim.

İndirgenmiş satır eşelon formu (adım 4)
İndirgenmiş satır eşelon formu (adım 4)

Daha sonra bu pivotun üstündeki elemanı toplama işlemi ile sıfıra eşitleyelim.

\( a_{12} \) elemanını \( R_2 + R_1 \rightarrow R_1 \) toplama işlemi ile sıfıra eşitleyelim.

İndirgenmiş satır eşelon formu (adım 5)
İndirgenmiş satır eşelon formu (adım 5)

Bu şekilde 2. sütunu da istediğimiz forma getirmiş, yani hem bu sütundaki pivotu 1'e eşitlemiş hem de pivotun üstündeki elemanı sıfıra eşitlemiş olduk.

Elde ettiğimiz yeni matriste sola doğru ilerlediğimizde sıradaki pivot \( a_{11} \) elemanıdır. Bu pivotun değeri 1 olduğu ve üstünde bir eleman bulunmadığı için ek bir işlem yapmamıza gerek yoktur. Elde ettiğimiz matris indirgenmiş satır eşelon formunda bir matristir.

Çözüm Kümesini Bulma

Satır eşelon formundan farklı olarak, indirgenmiş eşelon formundaki bir matris ek bir işleme gerek kalmadan denklem sisteminin çözüm kümesini vermektedir. En son işlemde elde ettiğimiz matrisi bir denklem sistemi şeklinde yazdığımızda dikey çizginin sağındaki sütundaki değerlerin bilinmeyenlerin değerlerini verdiğini görebiliriz.


« Önceki
Ters Matris Yöntemi
Sonraki »
Cramer Kuralı


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır