Teoremlerin ispatında kullanılan farklı ispat yöntemleri vardır. Bu bölümde bu yöntemlerden en sık kullanılanlara değineceğiz.
İspatlamak istenen ifadeler farklı sembolik formlara karşılık gelebilirler.
Önerme Formu
Örnek
Koşullu Önerme
\( p \Rightarrow q \)
\( a \) 6'ya tam bölünüyorsa 3'e tam bölünür.
\( n \) rasyonel ise \( n^2 \) rasyoneldir.
Çift Yönlü Koşullu Önerme
\( p \Leftrightarrow q \)
Ancak ve ancak \( n \) tek sayı ise \( n^2 \) tek sayıdır.
Basit Önerme
\( p \)
\( \sqrt{2} \) irrasyoneldir.
Sonsuz sayıda asal sayı vardır.
Veya Önermesi
\( p \lor q \)
Bir tam sayı ya tektir ya çifttir.
Bu bölümde ağırlıklı olarak koşullu önerme formundaki (\( p \Rightarrow q \)) teoremlerin ispatını inceleyeceğiz. Çift yönlü koşullu önerme formundaki (\( p \Leftrightarrow q \)) teoremler aşağıdaki gibi iki koşullu önermenin birleşimi şeklinde yazılabildikleri için, bu bölümde bahsedeceğimiz ispat yöntemleri bu iki koşullu önermeye ayrı ayrı uygulanarak ispatlanabilirler.
Doğrudan ispat yöntemini bir örnek üzerinde gösterelim.
ÖRNEK 1:
Bir çift sayının karesinin çift sayı olduğunu gösterelim.
Verilen ifadeyi koşullu önerme şeklinde yazalım.
\( p \): \( x \) çift sayıdır.
\( q \): \( x^2 \) çift sayıdır.
\( p \Rightarrow q \): \( x \) çift sayı ise \( x^2 \) çift sayıdır.
\( p \Rightarrow q \) önermesinin doğrudan ispatını yapalım.
\( x \)'in çift sayı olduğunu kabul edelim.
Bir çift sayı 2 çarpanı içerdiği için aşağıdaki şekilde yazılabilir.
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( x = 2k \)
Eşitliğin iki tarafının karesini alalım.
\( x^2 = (2k)^2 = 4k^2 \)
\( = 2 \cdot (2k^2) \)
\( 2k^2 = n \) diyelim.
\( = 2n \)
Tam sayılar arasındaki toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerinin sonucu yine tam sayı olur.
\( 2k^2 = n \in \mathbb{Z} \)
\( n \) tam sayı olduğu için \( 2n \) çift sayıdır, dolayısıyla \( x^2 = 2n \) eşitliği gereği \( x^2 \) de çift sayıdır.
Bir çift sayının karesinin çift sayı olduğunu göstermiş olduk.
Doğrudan ispat yönteminde sadece \( p \) önermesinin doğru olduğu durumlar dikkate alınır. Bunun sebebi \( p \Rightarrow q \) koşullu önermesinin sadece \( p \)'nin doğru ve \( q \)'nun yanlış olduğu durumda yanlış olması, diğer üç durumda doğru olmasıdır. dolayısıyla koşullu önermenin doğruluğunu göstermek için \( p \)'nin yanlış olduğu durumları dikkate almamıza gerek yoktur, sadece \( p \)'nin doğru olduğu her durumda \( q \)'nun doğru olduğunu göstermemiz yeterlidir.
Aşağıda \( p \Rightarrow q \) koşullu önermesinin doğruluk tablosu hatırlatma amaçlı verilmiştir.
\( p \)
\( q \)
\( p \Rightarrow q \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 1 \)
SORU 1:
Bir tek sayının karesinin tek sayı olduğunu gösterin.
\( p \Rightarrow q \): \( (a \mid b \land b \mid c) \Rightarrow a \mid c \)
\( p \Rightarrow q \) önermesinin doğrudan ispatını yapalım.
\( a \) sayısının \( b \) sayısını, \( b \) sayısının da \( c \) sayısını tam böldüğünü kabul edelim.
\( a \) tam sayısı \( b \) tam sayısını tam bölüyorsa \( k_1 \) bir tam sayı olacak şekilde aşağıdaki eşitliği yazabiliriz.
\( b = k_1 \cdot a \)
\( b \) tam sayısı \( c \) tam sayısını tam bölüyorsa \( k_2 \) bir tam sayı olacak şekilde aşağıdaki eşitliği yazabiliriz.
\( c = k_2 \cdot b \)
İkinci eşitlikte \( b \) yerine birinci eşitlikteki karşılığını yazalım.
\( c = k_2 \cdot k_1 \cdot a \)
\( k_2 \cdot k_1 = n \) diyelim.
\( = n \cdot a \)
Tam sayılar arasındaki toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerinin sonucu yine tam sayı olur.
\( k_2 \cdot k_1 = n \in \mathbb{Z} \)
Buna göre \( a \) ile çarpımının sonucu \( c \) olan bir \( n \) tam sayısı vardır, dolayısıyla \( a \) sayısı \( c \)'nin bir çarpanıdır ve \( c \)'yi tam böler.
Her \( a \) ve \( b \) rasyonel sayısı için \( a \lt x \lt b \) koşulunu sağlayan bir \( x \) irrasyonel sayısı bulunduğunu gösterelim.
\( \forall a, b \in \mathbb{Q}, \exists x \in \mathbb{R} - \mathbb{Q}, a \lt b \Rightarrow a \lt x \lt b \)
\( (0, 1) \) aralığında bir irrasyonel sayı tanımlayalım.
\( \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 0,707... \)
\( 0 \lt \dfrac{\sqrt{2}}{2} \lt 1 \)
Eşitsizliğin taraflarını \( b - a \) ile çarpalım.
\( 0 \lt \dfrac{\sqrt{2}(b - a)}{2} \lt b - a \)
Eşitsizliğin taraflarına \( a \) ekleyelim.
\( a \lt \dfrac{\sqrt{2}(b - a)}{2} + a \lt b \)
İrrasyonel sayılar sayfasında ispatlarını verdiğimiz üzere, (1) bir irrasyonel sayı ile sıfırdan farklı bir rasyonel sayının çarpımı irrasyoneldir ve (2) bir irrasyonel sayı ile bir rasyonel sayının toplamı/farkı yine irrasyoneldir.
Buna göre, \( a \) ve \( b \) sayıları (ve farkları) rasyonel olduğu için aşağıdaki şekilde tanımlı \( x \) sayısı her \( a \) ve \( b \) sayısı için irrasyonel olur.
\( x = \dfrac{\sqrt{2}(b - a)}{2} + a \)
\( a \lt x \lt b \)
Birbirinden farklı her iki rasyonel sayı arasında bir irrasyonel sayı bulunduğunu göstermiş olduk.
Karşıt tersle ispat yönteminde, \( p \Rightarrow q \) koşullu önermesi yerine ona denk olan karşıt tersinin \( q' \Rightarrow p' \) doğrudan ispatı yapılır. Bu yöntem bir koşullu önermenin karşıt tersinin ispatının daha kolay olduğu durumlarda kullanılır.
Çelişkiyle ispat yönteminde aşağıdaki adımlar takip edilir.
Önermenin değilinin doğru olduğu kabul edilir.
Önermenin değilinin ispatı yapılırken ispatta kullanılan varsayımlarla çelişen bir durum elde edilir.
Önermenin değilinin doğru olamayacağı (yanlış olduğu), dolayısıyla önermenin kendisinin doğru olduğu sonucuna varılır.
Bu yönteme göre, ispatlanmak istenen önerme \( p \) şeklinde bir basit önerme ise \( p' \) önermesinin doğru olduğu kabul edilir ve bir çelişki elde edilmeye çalışılır.
İspatlanmak istenen önerme \( p \Rightarrow q \) şeklinde bir koşullu önerme ise \( (p \Rightarrow q)' \equiv p \land q' \) önermesinin (bir diğer ifadeyle \( p \) ve \( q' \) önermelerinin birlikte) doğru olduğu kabul edilir. Bir çelişki elde edildiğinde \( q' \) önermesinin doğru olamayacağı, dolayısıyla \( p \) doğru iken \( q \) önermesinin de doğru olması gerektiği sonucuna varılır.
ÖRNEK 3:
"En büyük doğal sayı yoktur." önermesinin doğru olduğunu gösterelim.
Verilen önermenin doğruluğunu çelişkiyle ispat yöntemi ile ispatlayalım.
\( p \): En büyük doğal sayı yoktur.
\( p \) önermesinin yanlış olduğunu, yani değilinin doğru olduğunu kabul edelim.
\( p' \): En büyük doğal sayı vardır.
Buna göre en büyük doğal sayı vardır ve bu en büyük doğal sayıya \( n \) diyelim.
\( n \) bir doğal sayı olduğu için \( n + 1 \) de bir doğal sayıdır.
\( n + 1 \gt n \)
En büyük doğal sayı olduğunu varsaydığımız \( n \) sayısından daha büyük bir doğal sayı bulmuş, yani bir çelişki elde etmiş olduk.
O halde \( p' \) yanlıştır, dolayısıyla \( p \) doğrudur.
Sonuç olarak en büyük doğal sayı yoktur.
SORU 9:
\( \sqrt{2} \) sayısının bir irrasyonel sayı olduğunu gösterin.
\( \sqrt{2} \)'nin irrasyonel olduğunu çelişkiyle ispat yöntemi ile ispatlayalım.
\( \sqrt{2} \)'nin rasyonel bir sayı olduğunu varsayalım.
Rasyonel sayılar tanım gereği aralarında asal iki sayının oranı şeklinde yazılabilir.
\( a, b \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( \sqrt{2} = \dfrac{a}{b} \)
İki tarafın karesini alalım ve \( a^2 \)'yi yalnız bırakalım.
\( 2 = \dfrac{a^2}{b^2} \)
\( a^2 = 2b^2 \)
Eşitliğin sağ tarafında 2 çarpanı olduğu için eşitliğin sol tarafı, dolayısıyla her iki tarafı çift sayı olur.
Bir sayının karesi çift sayı ise kendisi de çifttir. Buna göre \( a^2 \) çift olduğu için \( a \) da çifttir.
\( a \) çift sayı olduğu için aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( a = 2k \)
Bu değeri yukarıdaki eşitlikte yerine koyalım.
\( a^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2b^2 \)
\( b^2 = 2k^2 \)
Yukarıdaki duruma benzer şekilde; eşitliğin sağ tarafında 2 çarpanı olduğu için eşitliğin sol tarafı, dolayısıyla her iki tarafı çift sayı olur.
Bir sayının karesi çift sayı ise kendisi de çifttir. Buna göre \( b^2 \) çift olduğu için \( b \) de çifttir.
Takip ettiğimiz adımlar sonucunda hem \( a \)'nın hem de \( b \)'nin çift sayılar olduğu sonucuna ulaşmış olduk, ancak iki çift sayı ortak 2 çarpanı içerdiği için aralarında asal olamaz, dolayısıyla rasyonel sayıların tanımı ile çelişen bir sonuç elde etmiş olduk.
Buna göre ispatın başında yaptığımız \( \sqrt{2} \)'nin rasyonel olma varsayımı doğru olamaz, dolayısıyla \( \sqrt{2} \) irrasyonel olmak zorundadır.
Bir irrasyonel ve bir rasyonel sayının toplamının/farkının irrasyonel olduğunu ispatlamak için çelişkiyle ispat yöntemini kullanalım.
\( m \) irrasyonel ve \( n \) rasyonel olmak üzere iki sayı tanımlayalım ve bu iki sayının toplamının rasyonel olduğunu varsayalım.
Rasyonel sayılar tanım gereği aralarında asal iki sayının oranı şeklinde yazılabilir.
Bu durumda \( n \) rasyonel sayısını ve \( m + n \) toplamının sonucu olan rasyonel sayıyı aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( a, b, c, d \in \mathbb{Z}, \quad b, d \ne 0 \)
\( n = \dfrac{a}{b} \)
\( m + n = m + \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \)
\( m \)'yi yalnız bırakalım.
\( m = \dfrac{c}{d} - \dfrac{a}{b} \)
\( m = \dfrac{bc - ad}{bd} \)
Elde ettiğimiz kesirli ifadenin payı ve paydası birer tam sayıdır ve paydası sıfırdan farklıdır, dolayısıyla ifade bir rasyonel sayıdır.
Takip ettiğimiz adımlar sonucunda \( m \)'yi rasyonel bir sayı olarak bulmuş, dolayısıyla ispatın başında yaptığımız irrasyonel sayı varsayımıyla çelişen bir sonuç elde etmiş olduk.
Buna göre ispatın başında yaptığımız bir irrasyonel ve bir rasyonel sayının toplamının/farkının rasyonel olma varsayımı doğru olamaz, dolayısıyla bu toplam/fark irrasyonel olmak zorundadır.
Niceleyici içeren bir önermeyi çelişkiyle ispat yöntemi ile ispatlamak için tüm ifadenin değilinin doğru olduğu kabul edilir ve bir çelişki elde edilmeye çalışılır.
\( (\forall x, P(x))' \equiv \exists x, P'(x) \)
\( (\exists x, P(x))' \equiv \forall x, P'(x) \)
Aksine Örnek Verme İle İspat Yöntemi
Aksine örnek verme ile ispat yönteminde, verilen önermenin yanlış olduğuna dair bir örnek verilmeye çalışılır.
ÖRNEK 5:
"Tüm asal sayılar tek sayıdır." önermesinin doğruluğunu ya da yanlışlığını gösterelim.
Önermenin yanlış olduğunu aksine örnek verme yöntemi ile ispatlayalım.
Aksine örnek olarak 2 sayısını seçelim.
2 sayısı asal sayıdır ve tek sayı değildir.
Verilen önermenin aksine bir örnek verebildiğimiz için bu önermenin yanlış olduğunu göstermiş olduk.
ÖRNEK 6:
"\( m \cdot n \) çift sayı ise \( m \) ve \( n \) birer çift sayıdır." önermesinin doğruluğunu ya da yanlışlığını gösterelim.
Önermenin yanlış olduğunu aksine örnek verme yöntemi ile ispatlayalım.
Aksine örnek olarak \( m = 2 \) ve \( n = 3 \) sayılarını seçelim.
\( m = 2 \) çift, \( n = 3 \) tek sayılardır.
\( m \cdot n = 2 \cdot 3 = 6 \) çarpımı çift sayıdır.
Dolayısıyla çarpımları çift sayı olan sayıların ikisi de çift sayı olmayabilir.
Verilen önermenin aksine bir örnek verebildiğimiz için bu önermenin yanlış olduğunu göstermiş olduk.
SORU 11:
\( a \mid b \) ifadesi, \( a \) tam sayısının \( b \) sayısını tam böldüğünü gösterir.
Ahmet, "\( x \mid z \) ve \( y \mid z \) ise \( (x + y) \mid z \) olur." önermesinin yanlış olduğunu göstermek için aksine örnek verme yöntemini kullanmak istiyor.
Buna göre Ahmet aşağıdaki değerlerden hangilerini bu amaçla kullanabilir?