İspat Yöntemleri

Teoremlerin ispatında kullanılan farklı ispat yöntemleri vardır. Bu bölümde bu yöntemlerden en sık kullanılanlara değineceğiz.

İspat yöntemleri
İspat yöntemleri

İspatlamak istenen ifadeler farklı sembolik formlara karşılık gelebilirler.

Önerme Formu Örnek

Koşullu Önerme

\( p \Rightarrow q \)

\( a \) 6'ya tam bölünüyorsa 3'e tam bölünür.

\( n \) rasyonel ise \( n^2 \) rasyoneldir.

Çift Yönlü Koşullu Önerme

\( p \Leftrightarrow q \)

Ancak ve ancak \( n \) tek sayı ise \( n^2 \) tek sayıdır.

Basit Önerme

\( p \)

\( \sqrt{2} \) irrasyoneldir.

Sonsuz sayıda asal sayı vardır.

Veya Önermesi

\( p \lor q \)

Bir tam sayı ya tektir ya çifttir.

Bu bölümde ağırlıklı olarak koşullu önerme formundaki (\( p \Rightarrow q \)) teoremlerin ispatını inceleyeceğiz. Çift yönlü koşullu önerme formundaki (\( p \Leftrightarrow q \)) teoremler aşağıdaki gibi iki koşullu önermenin birleşimi şeklinde yazılabildikleri için, bu bölümde bahsedeceğimiz ispat yöntemleri bu iki koşullu önermeye ayrı ayrı uygulanarak ispatlanabilirler.

Doğrudan İspat Yöntemi

\( p \Rightarrow q \) koşullu önermesinin doğrudan ispat yöntemi ile ispatında aşağıdaki adımlar takip edilir.

  • \( p \) önermesinin doğru olduğu kabul edilir.
  • \( p \) önermesinin doğruluğundan \( q \) önermesinin doğruluğuna ulaşmak için çıkarımlar yaparak bir gerektirmeler zinciri takip edilir.
  • Bu şekilde \( p \) önermesinin doğru olduğu her durumda \( q \) önermesinin doğru olduğu gösterilir.

Bir doğrudan ispat, hipotez ve hüküm adımları arasında pek çok adım içerebilir.

Doğrudan ispat yöntemini bir örnek üzerinde gösterelim.

Doğrudan ispat yönteminde sadece \( p \) önermesinin doğru olduğu durumlar dikkate alınır. Bunun sebebi \( p \Rightarrow q \) koşullu önermesinin sadece \( p \)'nin doğru ve \( q \)'nun yanlış olduğu durumda yanlış olması, diğer üç durumda doğru olmasıdır. dolayısıyla koşullu önermenin doğruluğunu göstermek için \( p \)'nin yanlış olduğu durumları dikkate almamıza gerek yoktur, sadece \( p \)'nin doğru olduğu her durumda \( q \)'nun doğru olduğunu göstermemiz yeterlidir.

Aşağıda \( p \Rightarrow q \) koşullu önermesinin doğruluk tablosu hatırlatma amaçlı verilmiştir.

\( p \) \( q \) \( p \Rightarrow q \)
\( 1 \) \( 1 \) \( 1 \)
\( 1 \) \( 0 \) \( 0 \)
\( 0 \) \( 1 \) \( 1 \)
\( 0 \) \( 0 \) \( 1 \)
SORU 1:

Bir tek sayının karesinin tek sayı olduğunu gösterin.

Çözümü Göster
SORU 2:

\( x \) ve \( y \) tam kare sayılar ise \( xy \) çarpımının da tam kare olduğunu gösterin.

Çözümü Göster
SORU 3:

\( x \) ve \( y \) çift sayılar ise \( x + y \) sayısının çift sayı olduğunu gösterin.

Çözümü Göster
SORU 4:

Her \( x \in \mathbb{R} \) için \( 4x^2 - 8x + 9 \ne 0 \) olduğunu gösterin.

Çözümü Göster
SORU 5:

\( a, b, c \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,

\( a \) sayısı \( b \) sayısını, \( b \) sayısı da \( c \) sayısını tam bölüyorsa \( a \) sayısının \( c \) sayısını tam böldüğünü ispatlayın.

Çözümü Göster
SORU 6:

Birbirinden farklı her iki rasyonel sayı arasında bir irrasyonel sayı bulunduğunu ispatlayın.

Çözümü Göster

Karşıt Tersle İspat Yöntemi

Karşıt tersle ispat yönteminde, \( p \Rightarrow q \) koşullu önermesi yerine ona denk olan karşıt tersinin \( q' \Rightarrow p' \) doğrudan ispatı yapılır. Bu yöntem bir koşullu önermenin karşıt tersinin ispatının daha kolay olduğu durumlarda kullanılır.

Karşıt tersle ispat yönteminde aşağıdaki adımlar takip edilir.

  • \( q' \) önermesinin doğru olduğu kabul edilir.
  • \( q' \) önermesinin doğruluğundan yola çıkarak \( p' \) önermesinin doğrudan ispatı yapılır.
  • Bu şekilde \( q' \) önermesinin doğru olduğu her durumda \( p' \) önermesinin doğru olduğu gösterilir.

Karşıt tersle ispat yöntemini bir örnek üzerinde gösterelim.

SORU 7:

\( x \in \mathbb{R} \) olmak üzere,

\( -3x^4 + 4x^3 - x^2 + 2x - 1 \ge 0 \) ise \( x \ge 0 \) olduğunu gösterin.

Çözümü Göster
SORU 8:

\( a \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,

\( a^2 \) sayısı 4'e tam bölünmüyorsa \( a \)'nın tek sayı olduğunu gösterin.

Çözümü Göster

Çelişkiyle İspat Yöntemi

Çelişkiyle ispat yönteminde aşağıdaki adımlar takip edilir.

  • Önermenin değilinin doğru olduğu kabul edilir.
  • Önermenin değilinin ispatı yapılırken ispatta kullanılan varsayımlarla çelişen bir durum elde edilir.
  • Önermenin değilinin doğru olamayacağı (yanlış olduğu), dolayısıyla önermenin kendisinin doğru olduğu sonucuna varılır.

Bu yönteme göre, ispatlanmak istenen önerme \( p \) şeklinde bir basit önerme ise \( p' \) önermesinin doğru olduğu kabul edilir ve bir çelişki elde edilmeye çalışılır.

İspatlanmak istenen önerme \( p \Rightarrow q \) şeklinde bir koşullu önerme ise \( (p \Rightarrow q)' \equiv p \land q' \) önermesinin (bir diğer ifadeyle \( p \) ve \( q' \) önermelerinin birlikte) doğru olduğu kabul edilir. Bir çelişki elde edildiğinde \( q' \) önermesinin doğru olamayacağı, dolayısıyla \( p \) doğru iken \( q \) önermesinin de doğru olması gerektiği sonucuna varılır.

SORU 9:

\( \sqrt{2} \) sayısının bir irrasyonel sayı olduğunu gösterin.

Çözümü Göster
SORU 10:

Bir irrasyonel ve bir rasyonel sayının toplamının/farkının irrasyonel olduğunu gösterin.

Çözümü Göster

Niceleyici içeren bir önermeyi çelişkiyle ispat yöntemi ile ispatlamak için tüm ifadenin değilinin doğru olduğu kabul edilir ve bir çelişki elde edilmeye çalışılır.

Aksine Örnek Verme İle İspat Yöntemi

Aksine örnek verme ile ispat yönteminde, verilen önermenin yanlış olduğuna dair bir örnek verilmeye çalışılır.

SORU 11:

\( a \mid b \) ifadesi, \( a \) tam sayısının \( b \) sayısını tam böldüğünü gösterir.

Ahmet, "\( x \mid z \) ve \( y \mid z \) ise \( (x + y) \mid z \) olur." önermesinin yanlış olduğunu göstermek için aksine örnek verme yöntemini kullanmak istiyor.

Buna göre Ahmet aşağıdaki değerlerden hangilerini bu amaçla kullanabilir?

(a) \( x = 2 \), \( y = 4 \) ve \( z = 24 \)

(b) \( x = 4 \), \( y = 5 \) ve \( z = 60 \)

(c) \( x = 6 \), \( y = 9 \) ve \( z = 48 \)

Çözümü Göster
SORU 12:

"Negatif iki sayının farkı negatiftir." önermesinin doğruluğunu ya da yanlışlığını gösterin.

Çözümü Göster

« Önceki
Matematiksel İspat
Sonraki »
Tümevarım Yöntemiyle İspat


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır