Bu tip kombinasyon problemlerinde belirli sayıda kişi arasından belirtilen koşulları sağlayan kaç farklı ekip/alt grup seçebileceğimizi hesaplamamız istenir.
SORU 1:
10 kişilik bir grup içinden 3 temsilci kaç farklı şekilde seçilebilir?
Çözümü Göster
10 kişi arasından 3 kişinin farklı seçim sayısı 10'un 3'lü kombinasyonudur.
\( C(10, 3) = \dfrac{10!}{3! \cdot (10 - 3)! } = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2} = 120 \)
SORU 2:
18 kişilik bir sınıfta başkan ve başkan yardımcısı kaç farklı şekilde seçilebilir?
Çözümü Göster
1. Yöntem:
Başkan sınıftaki 18 kişi arasından \( C(18, 1) = 18 \), başkan yardımcısı da kalan 17 kişi arasından \( C(17, 1) = 17 \) farklı şekilde seçilebilir.
Buna göre başkan ve başkan yardımcısı \( 18 \cdot 17 \) farklı şekilde seçilebilir.
2. Yöntem:
Başkan ve başkan yardımcısı olacak 2 kişi sınıftaki 18 kişi arasından \( C(18, 2) \) farklı şekilde seçilebilir.
Seçilen 2 kişi başkan ve başkan yardımcısı görevlerini \( 2! \) farklı şekilde üstlenebilirler.
Buna göre başkan ve başkan yardımcısı \( C(18, 2) \cdot 2! = 18 \cdot 17 \) farklı şekilde seçilebilir.
SORU 3:
4 kadın ve 6 erkekten oluşan 10 kişi arasından bir komite seçilecektir.
Buna göre 4 kişilik bir komite kaç farklı şekilde seçilebilir?
Çözümü Göster
10 kişi arasından kadın/erkek farkı gözetmeden 4 kişilik bir komite \( C(10, 4) \) farklı şekilde seçilebilir.
SORU 4:
Aynı grup içinden 1 kişisi belli 4 kişilik bir komite kaç farklı şekilde seçilebilir?
Çözümü Göster
Bir kişi belirlenmişse kalan 9 kişi arasından 3 kişi seçmemiz gerekiyor demektir, bu seçimi de \( C(9, 3) \) farklı şekilde yapabiliriz.
SORU 5:
Aynı grup içinden 4 kişilik komite ve bu komite içinden bir başkan kaç farklı şekilde seçilebilir?
Çözümü Göster
4 kişilik komiteyi \( C(10, 4) \) farklı şekilde seçebiliriz. Seçtiğimiz 4 kişilik komite içinden başkanı \( C(4, 1) \) farklı şekilde seçebiliriz. Her iki seçim bağımsız olaylar olduğu için aralarında çarpma kuralını kullanarak toplam farklı seçim sayısını \( C(10, 4) \cdot C(4, 1) \) olarak buluruz.
SORU 6:
Aynı grup içinden 2 kadın ve 2 erkekten oluşan 4 kişilik bir komite kaç farklı şekilde seçilebilir?
Çözümü Göster
4 kadın arasından ikisini \( C(4, 2) \) farklı şekilde, 6 erkek arasından ikisini \( C(6, 2) \) farklı şekilde seçebiliriz. Bu seçimler bağımsız olaylar olduğu için çarpma kuralını kullanarak toplam farklı seçim sayısını \( C(4, 2) \cdot C(6, 2) \) olarak buluruz.
SORU 7:
Aynı grup içinden en az bir kadın ve en az bir erkekten oluşan 4 kişilik bir komite kaç farklı şekilde seçilebilir?
Çözümü Göster
En az bir kadın ve en az bir erkekten oluşan komite sayısını toplam komite sayısından sadece kadınlardan ve sadece erkeklerden oluşan komite sayılarını çıkararak (çıkarma yoluyla sayma) bulabiliriz.
Sadece kadınlardan oluşan komite sayısı \( C(4, 4) \) ve sadece erkeklerden oluşan komite sayısı \( C(6, 4) \) olacağı için istenen şekilde seçilebilecek komite sayısını çıkarma kuralını kullanarak \( C(10, 4) - C(4, 4) - C(6, 4) \) olarak buluruz.
SORU 8:
Aynı grup içinden en fazla iki erkekten oluşan 4 kişilik bir komite kaç farklı şekilde seçilebilir?
Çözümü Göster
En fazla iki erkekten oluşan komiteler aşağıdaki şekillerde oluşabilir.
- 4 kadın, 0 erkek: Bu şekilde \( C(4, 4) \cdot C(6, 0) = 1 \) farklı komite seçilebilir.
- 3 kadın, 1 erkek: Bu şekilde \( C(4, 3) \cdot C(6, 1) = 24 \) farklı komite seçilebilir.
- 2 kadın, 2 erkek: Bu şekilde \( C(4, 2) \cdot C(6, 2) = 90 \) farklı komite seçilebilir.
En fazla iki erkekten oluşan komite sayısı bu üç ayrık kümenin eleman sayılarının toplamına eşit olduğu için istenen komite sayısı yukarıdaki komitelerin toplamı, yani \( 1 + 24 + 90 = 115 \) olacaktır.
SORU 9:
Bir sınıftaki öğrencilerle oluşturulabilecek 4'lü grupların sayısı 2'li grupların sayısına eşittir. Buna göre oluşturulabilecek 3'lü grupların sayısı kaçtır?
Çözümü Göster
\( C(n, k) = C(n, n - k) \)
Buna göre, \( C(n, 4) = C(n, 2) \) ise \( n = 6 \) olur.
6 öğrenciyle oluşturulabilecek 3'lü grupların sayısı \( C(6, 3) = 20 \) olur.
SORU 10:
Aralarında Doruk ve Özge'nin de bulunduğu 6 kişilik bir gruptan 4 kişi seçilecektir. Seçilenler arasında Doruk ve Özge bulunacak şekilde kaç farklı grup oluşturulabilir?
Çözümü Göster
Seçilecek 4 kişi içinde Doruk ve Özge'nin bulunması istendiği için ikisini önce seçtiğimizi varsayalım.
Kalan 4 kişi içinden 2 kişi \( C(4, 2) = 6 \) farklı şekilde seçilebilir.
SORU 11:
12 kişilik bir grup kaç farklı şekilde 8 ve 4 kişilik iki ekibe ayrılabilir?
Çözümü Göster
12 kişilik gruptan 8 kişi seçtiğimizde kalan 4 kişi ikinci ekip olmuş olur.
\( C(12, 8) = \dfrac{12}{8! \cdot (12 - 8)!} = 495 \)
12 kişilik gruptan 8 yerine 4 kişi seçtiğimizde de aynı sonucu elde ederiz.
\( C(12, 4) = C(12, 12 - 4) = C(12, 8) \)
SORU 12:
4 kız 4 erkeğin bulunduğu bir gruptan 3 kız ve 2 erkek seçilerek her iki kız arasında bir erkek olacak şekilde sıralanacaktır. Buna göre bu sıralama kaç farklı şekilde yapılabilir?
Çözümü Göster
4 kız arasından 3 kız \( C(4, 3) = 4 \) farklı şekilde, 4 erkek arasından 2 erkek \( C(4, 2) = 6 \) farklı şekilde seçilebilir.
3 kız ve 2 erkekten oluşan bir grupta her iki kız arasında bir erkek olacak şekilde tek bir diziliş vardır (K-E-K-E-K). Bu dizilişte kızlar kendi aralarında \( 3! \) farklı şekilde, erkekler de kendi aralarında \( 2! \) farklı şekilde yer değiştirebilirler.
Buna göre istenen seçim ve diziliş birlikte \( 4 \cdot 6 \cdot 3! \cdot 2! = 288 \) farklı şekilde yapılabilir.
SORU 13:
4 kız ve 5 erkek arasından 5 kişilik bir ekip kurulacaktır. Ekipte en az 3 erkek olması istendiğine göre bu seçim kaç farklı şekilde yapılabilir?
Çözümü Göster
İstenen 5 kişilik ekip 3, 4 ya da 5 erkek ile kurulabilir.
2 kız ve 3 erkeğin seçildiği durum:
\( C(4, 2) \cdot C(5, 3) = 6 \cdot 10 = 60 \)
1 kız ve 4 erkeğin seçildiği durum:
\( C(4, 1) \cdot C(5, 4) = 4 \cdot 5 = 20 \)
0 kız ve 5 erkeğin seçildiği durum:
\( C(4, 0) \cdot C(5, 5) = 1 \cdot 1 = 1 \)
Buna göre en az 3 erkek olacak şekilde 5 kişilik ekip \( 60 + 20 + 1 = 81 \) farklı şekilde kurulabilir.
SORU 14:
5 evli çift arasından 3 kişi seçilecektir. Seçilenler arasında sadece bir evli çift olma koşuluyla bu seçim kaç farklı şekilde yapılabilir?
Çözümü Göster
Öncelikle 5 evli çift arasından 1 çift \( C(5, 1) = 5 \) farklı şekilde seçilebilir.
Kalan 8 kişi arasından 1 kişi \( C(8, 1) = 8 \) farklı şekilde seçilebilir.
Buna göre istenen seçim \( 5 \cdot 8 = 40 \) farklı şekilde yapılabilir.
SORU 15:
5 doktor 3 hemşirenin arasından 3 kişilik bir sağlık ekibi oluşturulacaktır. İçlerinde en az bir doktorun bulunduğu kaç farklı ekip oluşturulabilir?
Çözümü Göster
Ekipte 1 doktor, 2 hemşirenin olduğu durum:
\( C(5, 1) \cdot C(3, 2) = 5 \cdot 3 = 15 \)
Ekipte 2 doktor, 1 hemşirenin olduğu durum:
\( C(5, 2) \cdot C(3, 1) = 10 \cdot 3 = 30 \)
Ekipte 3 doktor, 0 hemşirenin olduğu durum:
\( C(5, 3) \cdot C(3, 0) = 10 \cdot 1 = 10 \)
Buna göre içlerinde en az bir doktorun bulunduğu \( 15 + 30 + 10 = 55 \) farklı ekip oluşturulabilir.
SORU 16:
5 mühendis ve 5 doktorun olduğu bir topluluktan en fazla 2 mühendisin olduğu 4 kişilik kaç farklı grup oluşturulabilir?
Çözümü Göster
Grupta 2 mühendis, 2 doktorun olduğu durum:
\( C(5, 2) \cdot C(5, 2) = 10 \cdot 10 = 100 \)
Grupta 1 mühendis, 3 doktorun olduğu durum:
\( C(5, 1) \cdot C(5, 3) = 5 \cdot 10 = 50 \)
Grupta 0 mühendis, 4 doktorun olduğu durum:
\( C(5, 0) \cdot C(5, 4) = 1 \cdot 5 = 5 \)
Buna göre içlerinde en fazla 2 mühendisin bulunduğu \( 100 + 50 + 5 = 155 \) farklı grup oluşturulabilir.
SORU 17:
Bir yemek davetinde salondaki \( n \) kişi birbiriyle tokalaşıyor. 210 farklı tokalaşma gerçekleştiğine göre \( n \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( n \) kişi aralarından seçilebilecek iki kişilik grup sayısı kadar farklı şekilde tokalaşabilir, bu da \( C(n, 2) \) farklı grup olur.
\( C(n, 2) = \dfrac{n!}{2! \cdot (n - 2)!} = 210 \)
\( n \cdot (n - 1) = 420 \)
\( n = 21 \) bulunur.
SORU 18:
Bir sınıftaki tüm öğrencilerin katıldığı bir masa tenisi turnuvasında, her öğrenci diğer her öğrenci ile bir müsabaka gerçekleştirecektir. Sınıfta iki oyuncunun da kız olduğu 153, iki oyuncunun da erkek olduğu 105 müsabaka gerçekleştirilecektir.
Buna göre bir oyuncunun kız diğer oyuncunun erkek olduğu müsabaka sayısı kaçtır?
Çözümü Göster
Kız öğrencilerin sayısına \( x \), erkek öğrencilerin sayısına \( y \) diyelim.
\( x \) kişi arasından 2 kişinin farklı seçim sayısı \( x \)'in 2'li kombinasyonudur.
\( C(x, 2) = \dfrac{x!}{2! \cdot (x - 2)!} = 153 \)
\( = \dfrac{x \cdot (x - 1)}{2} = 153 \)
\( x = 18 \) olur.
\( y \) kişi arasından 2 kişinin farklı seçim sayısı \( y \)'nin 2'li kombinasyonudur.
\( C(y, 2) = \dfrac{y!}{2! \cdot (y - 2)!} = 105 \)
\( = \dfrac{y \cdot (y - 1)}{2} = 105 \)
\( y = 15 \) olur.
Bir oyuncunun kız diğer oyuncunun erkek olduğu müsabaka sayısı, kız öğrenci sayısının 1'li kombinasyonu ile erkek öğrenci sayısının 1'li kombinasyonunun çarpımıdır.
\( C(18, 1) \cdot C(15, 1) = 18 \cdot 15 = 270 \) bulunur.
SORU 19:
4 evli çiftin katıldığı bir yarışma programında katılımcılar arasından 4'er kişilik 2 takım kurulacaktır.
Evli çiftler aynı takımda olmamak koşulu ile bu 2 takım kaç farklı şekilde kurulabilir?
Çözümü Göster
Bir takım her çiftten 1 kişi seçilerek \( C(2, 1) \cdot C(2, 1) \cdot C(2, 1) \cdot C(2, 1) = 16 \) farklı şekilde kurulabilir, her durumda seçilmeyen kişiler diğer takımı oluşturur.
Ancak 4 kişinin ilk takıma seçildiği durumla aynı 4 kişinin diğer takıma seçildiği iki durumda takımlar aynı şekilde oluşmuş olur, dolayısıyla bulduğumuz farklı seçim sayısını 4 kişilik 2 takımın kendi aralarında yer değiştirme sayısı olan \( 2! \)'e bölmemiz gerekir.
Buna göre bu 2 takım istenen şekilde \( \frac{16}{2} = 8 \) farklı şekilde kurulabilir.
SORU 20:
Bir okulun voleybol takımında ikisi yeni oyuncu olmak üzere 15 kişi vardır. Bu oyuncular arasından 10 kişi bir maç için seçilecektir.
Antrenör yeni oyunculardan en az birini bu takıma almak istediğine göre bu seçim kaç farklı şekilde yapılabilir?
Çözümü Göster
2 yeni oyuncudan sadece birinin seçildiği \( C(2, 1) \cdot C(13, 9) = 2 \cdot C(13, 9) \) farklı takım oluşturulabilir.
2 yeni oyuncunun ikisinin de seçildiği \( C(2, 2) \cdot C(13, 8) = C(13, 8) \) farklı takım oluşturulabilir.
Buna göre yeni oyunculardan en az birinin seçildiği \( 2 \cdot C(13, 9) + C(13, 8) \) farklı takım oluşturulabilir.
SORU 21:
Bir tercüme bürosunda 4 kişi sadece İngilizce, 3 kişi sadece Almanca, 2 kişi sadece İspanyolca, 2 kişi de sadece Arapça biliyor. Şirket sahibi Sefer ise İngilizce, Almanca ve İspanyolca biliyor.
Bu tercüme bürosu uluslararası bir konferansta görevlendirilmek ve her dil için birer kişi olmak üzere, 4 kişilik bir ekibi kaç farklı şekilde oluşturabilir?
Çözümü Göster
Sefer'in ekibe dahil olup/olmama durumuna göre problemi alt durumlara bölelim.
Durum 1: Sefer ekibe dahil değil
Bu durumda İngilizce, Almanca, İspanyolca ve Arapça için Sefer hariç birer kişinin farklı seçim sayısı aşağıdaki şekilde bulunur.
\( C(4, 1) \cdot C(3, 1) \cdot C(2, 1) \cdot C(2, 1) = 48 \)
Durum 2: Sefer İngilizce tercümanı olarak seçilir.
Bu durumda Almanca, İspanyolca ve Arapça için Sefer hariç birer kişinin farklı seçim sayısı aşağıdaki şekilde bulunur.
\( C(3, 1) \cdot C(2, 1) \cdot C(2, 1) = 12 \)
Durum 3: Sefer Almanca tercümanı olarak seçilir.
Bu durumda İngilizce, İspanyolca ve Arapça için Sefer hariç birer kişinin farklı seçim sayısı aşağıdaki şekilde bulunur.
\( C(4, 1) \cdot C(2, 1) \cdot C(2, 1) = 16 \)
Durum 4: Sefer İspanyolca tercümanı olarak seçilir.
Bu durumda İngilizce, Almanca ve Arapça için Sefer hariç birer kişinin farklı seçim sayısı aşağıdaki şekilde bulunur.
\( C(4, 1) \cdot C(3, 1) \cdot C(2, 1) = 24 \)
Oluşturulabilecek tüm farklı ekip sayısı bu durumların toplamına eşittir.
\( 48 + 12 + 16 + 24 = 100 \) bulunur.
SORU 22:
Bir okulda yıl sonu etkinliklerinin düzenlenmesi için gönüllü kişilerden oluşturulacak olan 5 kişilik kurula 6. sınıflardan 4, 4. sınıflardan 6 öğrenci aday olmuştur.
Buna göre 6. sınıf öğrencilerinin çoğunlukta olduğu kaç farklı kurul oluşturulabilir?
Çözümü Göster
6. sınıf öğrencilerinin çoğunlukta olduğu 5 kişilik kurul iki şekilde oluşturulabilir.
6. sınıflardan 4 öğrenci, 4. sınıflardan 1 öğrenci \( C(4, 4) \cdot C(6, 1) = 1 \cdot 6 = 6 \) farklı şekilde seçilebilir.
6. sınıflardan 3 öğrenci, 4. sınıflardan 2 öğrenci \( C(4, 3) \cdot C(6, 2) = 4 \cdot 15 = 60 \) farklı şekilde seçilebilir.
Her iki durumun toplamını alırsak kurul \( 6 + 60 = 66 \) farklı şekilde oluşturulabilir.
SORU 23:
Aralarında Sena ve Sude'nin de bulunduğu 10 kişi arasından 5 kişilik bir grup oluşturulacaktır.
Sena ve Sude'den sadece birinin bulunduğu kaç farklı grup oluşturulabilir?
Çözümü Göster
1. Yöntem
Çıkarma yoluyla sayma prensibine göre, Sena ve Sude'den sadece birinin bulunduğu grup sayısını aşağıdaki formülle bulabiliriz.
= Tüm durumlar - [İkisinin birlikte bulunduğu grup sayısı + İkisinin de bulunmadığı grup sayısı]
10 kişi arasından 5 kişilik bir grup \( C(10, 5) = 252 \) farklı şekilde seçilebilir.
Tüm durumlar \( = 252 \)
10 kişi arasından Sena ve Sude'nin birlikte bulunduğu 5 kişilik bir grup \( C(8, 3) = 56 \) farklı şekilde seçilebilir (Seda ve Sude'nin seçildiğini varsayarak kalan 8 kişi arasından 3 kişinin farklı seçim sayısı).
İkisinin birlikte bulunduğu grup sayısı \( = 56 \)
10 kişi arasından Sena ve Sude'nin ikisinin de bulunmadığı 5 kişilik bir grup \( C(8, 5) = 56 \) farklı şekilde seçilebilir (Seda ve Sude'nin seçilmediğini varsayarak kalan 8 kişi arasından 5 kişinin farklı seçim sayısı).
İkisinin de bulunmadığı grup sayısı \( = 56 \)
Buna göre, Sena ve Sude'den sadece birinin bulunduğu grup sayısı:
= Tüm durumlar - [İkisinin birlikte bulunduğu grup sayısı + İkisinin de bulunmadığı grup sayısı]
\( = 252 - (56 + 56) = 140 \) farklı seçim
2. Yöntem
Sena ve Sude arasından 1 kişi \( C(2, 1) = 2 \) farklı şekilde seçilebilir.
Kalan 8 kişi arasından 4 kişi \( C(8, 4) = 70 \) farklı şekilde seçilebilir.
Buna göre Sena ve Sude'den yalnızca birinin bulunduğu 5 kişilik bir grup \( 2 \cdot 70 = 140 \) farklı şekilde seçilebilir.
SORU 24:
İçlerinde Zeynep ve Fatma'nın da olduğu 10 kişi arasından 4 kişilik bir takım kurulacaktır.
Zeynep ve Fatma aynı takımda olmak istemediklerine göre, bu takım kaç farklı şekilde kurulabilir?
Çözümü Göster
1. Yöntem:
Fatma ve Zeynep'in bulunmadığı 4 kişilik bir takım diğer 8 kişi arasından \( C(8, 4) = 70 \) farklı şekilde kurulabilir.
Fatma ve Zeynep'ten yalnız birinin bulunduğu 4 kişilik bir takım ikisinden biri ve diğer 8 kişi arasından 3 kişi seçilecek şekilde \( C(2, 1) \cdot C(8, 3) = 112 \) farklı şekilde kurulabilir.
Buna göre istenilen koşullarda bu takım \( 70 + 112 = 182 \) farklı şekilde kurulabilir.
2. Yöntem:
Oluşturulabilecek tüm takımlardan Zeynep ve Fatma'nın aynı takımda olduğu durumları çıkararak istenen sonuca ulaşabiliriz.
Kurulabilecek 4 kişilik tüm takımlar:
\( C(10, 4) = \dfrac{10!}{4! \cdot 6!} = 210 \)
Zeynep ve Fatma'nın aynı takımda olduğu tüm takımlar (ikisinin takıma seçildiğini düşünerek diğer 8 kişi arasından 2 kişinin farklı seçim sayısı):
\( C(8, 2) = \dfrac{8!}{2! \cdot 6!} = 28 \)
Buna göre istenilen koşullarda bu takım \( 210 - 28 = 182 \) farklı şekilde kurulabilir.
SORU 25:
8 kişi iki gruba ayrılıp A ve B şehirlerine geziye gidecektir.
Her şehre en az bir kişinin gitmesi koşuluyla bu gezi kaç farklı şekilde organize edilebilir?
Çözümü Göster
A şehrine en az 1, en fazla 7 kişi gidebilir, kalan kişiler de B şehrine gider.
8 kişi arasından A şehrine gidecek 1-7 arası kişiler \( C(8, 1) + C(8, 2) + \ldots + C(8, 7) \) farklı şekilde seçilebilir.
\( C(n, 0) + C(n, 1) + \ldots + C(n, n) = 2^n \) özdeşliğini kullanarak bu toplamı aşağıdaki gibi yazabiliriz.
\( C(8, 1) + C(8, 2) + \ldots + C(8, 7) = 2^8 - C(8, 0) - C(8, 8) \)
\( C(8, 0) = 1 \)
\( C(8, 8) = 1 \)
Buna göre 8 kişinin A ve B şehirlerine istenen koşulda farklı gidiş sayısı:
\( = 2^8 - 1 - 1 = 254 \) olarak bulunur.
SORU 26:
8 kişi her biri 5 kişilik olan iki arabaya, herkes bir arabaya binmek koşuluyla kaç farklı şekilde binebilir?
Çözümü Göster
Arabalara A ve B diyelim. Kişiler bu iki arabaya 3 farklı şekilde binebilir.
- A arabasına 5 kişi, B arabasına 3 kişi
- A arabasına 4 kişi, B arabasına 4 kişi
- A arabasına 3 kişi, B arabasına 5 kişi
1. durumda 5 kişi A arabasına, kalan 3 kişi B arabasına \( C(8, 5) \cdot C(3, 3) = 56 \) farklı şekilde binebilir.
2. durumda 4 kişi A arabasına, kalan 4 kişi B arabasına \( C(8, 4) \cdot C(4, 4) = 70 \) farklı şekilde binebilir.
3. durumda 5 kişi A arabasına, kalan 3 kişi B arabasına \( C(8, 3) \cdot C(5, 5) = 56 \) farklı şekilde binebilir.
Buna göre bu 8 kişi iki arabaya toplamda \( 56 + 70 + 56 = 182 \) farklı şekilde binebilir.
SORU 27:
3 futbol, 4 basketbol ve 2 voleybol oyuncusu arasından 4 kişilik bir komite oluşturulacaktır.
Komitede her spor dalını temsilen en az bir oyuncu bulunması gerektiğine göre, bu grup kaç farklı şekilde oluşturulabilir?
Çözümü Göster
Bu komite üç farklı şekilde oluşturulabilir.
- 2 futbol, 1 basketbol ve 1 voleybol oyuncusu
- 1 futbol, 2 basketbol ve 1 voleybol oyuncusu
- 1 futbol, 1 basketbol ve 2 voleybol oyuncusu
1. durumda 2 futbol, 1 basketbol ve 1 voleybol oyuncusu \( C(3, 2) \cdot C(4, 1) \cdot C(2, 1) = 24 \) farklı şekilde binebilir.
1. durumda 1 futbol, 2 basketbol ve 1 voleybol oyuncusu \( C(3, 1) \cdot C(4, 2) \cdot C(2, 1) = 36 \) farklı şekilde binebilir.
1. durumda 1 futbol, 1 basketbol ve 2 voleybol oyuncusu \( C(3, 1) \cdot C(4, 1) \cdot C(2, 2) = 12 \) farklı şekilde binebilir.
Buna göre oyuncular bu komiteye toplamda \( 24 + 36 + 12 = 72 \) farklı şekilde seçilebilir.
SORU 28:
Bir sınıftaki 7 kız ve 5 erkek öğrenci arasından seçilecek 3 kız ve 2 erkek bir sıraya kaç farklı şekilde oturabilir?
Çözümü Göster
7 kız öğrenci arasından 3 kişi \( C(7, 3) = 35 \) farklı şekilde seçilebilir.
5 erkek öğrenci arasından 2 kişi \( C(5, 2) = 10 \) farklı şekilde seçilebilir.
Seçilen bu 5 öğrenci bir sıraya \( 5! \) farklı şekilde oturabilirler.
Buna göre öğrenciler \( 10 \cdot 35 \cdot 5! \) farklı şekilde seçilip bir sıraya oturabilirler.
SORU 29:
Aralarında Ayşe ve Damla'nın da bulunduğu 10 kişi üç araca bineceklerdir. Araçlardan ikisi 3 diğeri 4 kişi almaktadır.
Ayşe ve Damla aynı araca binmek istemediklerine göre bu 10 kişi araçlara kaç farklı şekilde binebilir?
Çözümü Göster
Bu 10 kişinin üç araca binebilecekleri tüm farklı durumlardan Ayşe ve Damla'nın aynı araçta bulundukları durumları çıkararak istenen sonuca ulaşabiliriz.
10 kişi arasından 3 kişi ilk araca binmek için \( C(10, 3) \) farklı şekilde, kalan 7 kişi arasından 3 kişi ikinci araca binmek için \( C(7, 3) \) farklı şekilde, kalan 4 kişi arasından 4 kişi üçüncü araca binmek için \( C(4, 4) \) farklı şekilde seçilebilir.
\( C(10, 3) \cdot C(7, 3) \cdot C(4, 4) \)
\( = 120 \cdot 35 \cdot 1 = 4200 \)
Ayşe ve Damla'nın bir araca birlikte bindikleri durumları 1., 2. ve 3. araç için ayrı ayrı hesaplayalım.
Ayşe ve Damla'nın birinci 3 kişilik araçta birlikte oldukları durumda, kalan 8 kişi arasından 1 kişi ilk araca binmek için \( C(8, 1) \) farklı şekilde, kalan 7 kişi arasından 3 kişi ikinci araca binmek için \( C(7, 3) \) farklı şekilde, kalan 4 kişi arasından 4 kişi üçüncü araca binmek için \( C(4, 4) \) farklı şekilde seçilebilir.
\( C(8, 1) \cdot C(7, 3) \cdot C(4, 4) \)
\( = 8 \cdot 35 \cdot 1 = 280 \)
Ayşe ve Damla'nın ikinci 3 kişilik araca birlikte bindikleri farklı durum sayısı da aynı ve \( 280 \) olur.
Ayşe ve Damla'nın 4 kişilik araçta birlikte oldukları durumda, kalan 8 kişi arasından 3 kişi ilk araca binmek için \( C(8, 3) \) farklı şekilde, kalan 5 kişi arasından 3 kişi ikinci araca binmek için \( C(5, 3) \) farklı şekilde, kalan 2 kişi arasından 2 kişi üçüncü araca binmek için \( C(2, 2) \) farklı şekilde seçilebilir.
\( C(8, 3) \cdot C(5, 3) \cdot C(2, 2) \)
\( = 56 \cdot 10 = 560 \)
Buna göre, Ayşe ve Damla'nın aynı araçta bulundukları \( 280 + 280 + 560 = 1120 \) farklı durum vardır.
Aynı araçta bulunmadıkları durumlar = Tüm durumlar - Aynı araçta bulundukları durumlar
\( = 4200 - 1120 = 3080 \) bulunur.
SORU 30:
Quidditch kız ve erkek birlikte oynanan bir takım sporudur. Oyunun kurallarına göre, bir takımın oyunda aktif 6 oyuncusu olmalıdır ve bu 6 oyuncudan en fazla 4'ü aynı cinsiyetten olabilir.
Bir turnuvaya katılan "Hogwarts United" quidditch takımının kadrosunda 5 kız 6 erkek oyuncu bulunduğuna göre, bir maçın ilk 6 oyuncusu kaç farklı şekilde seçilebilir?
Çözümü Göster
İlk 6 oyuncu için cinsiyet dağılımı 3 şekilde olabilir. Sırasıyla bu dağılımların her biri için kaç farklı seçim yapılabileceğini bulalım.
Dağılım 1: 2 kız 4 erkek
5 kız oyuncu arasından 2 oyuncu \( C(5, 2) = 10 \), 6 erkek oyuncu arasından 4 oyuncu \( C(6, 4) = 15 \) farklı şekilde seçilebilir.
Bu dağılımda takım \( 10 \cdot 15 = 150 \) farklı şekilde seçilebilir.
Dağılım 2: 3 kız 3 erkek
5 kız oyuncu arasından 3 oyuncu \( C(5, 3) = 10 \), 6 erkek oyuncu arasından 3 oyuncu \( C(6, 3) = 20 \) farklı şekilde seçilebilir.
Bu dağılımda takım \( 10 \cdot 20 = 200 \) farklı şekilde seçilebilir.
Dağılım 3: 4 kız 2 erkek
5 kız oyuncu arasından 4 oyuncu \( C(5, 4) = 5 \), 6 erkek oyuncu arasından 2 oyuncu \( C(6, 2) = 15 \) farklı şekilde seçilebilir.
Bu dağılımda takım \( 5 \cdot 15 = 75 \) farklı şekilde seçilebilir.
Buna göre bir maç için ilk 6 oyuncu \( 150 + 200 + 75 = 425 \) farklı şekilde seçilebilir.
SORU 31:
Bir şehirdeki 15 lise arasında düzenlenen voleybol turnuvasında takımlar sırasıyla 8 ve 7 takımdan oluşan A ve B gruplarına ayrılıyorlar.
Turnuva formatına göre aynı gruptaki takımlar aralarında ikişer maç, farklı gruplardaki takımlar aralarında birer maç yapıyorlar. Her grupta birinci olan iki takım da aralarında şampiyonluk maçı oynuyorlar.
Buna göre bu turnuvada toplam kaç maç oynanır?
Çözümü Göster
A grubundaki takımlar kendi aralarında \( 2 \cdot C(8, 2) = 56 \) maç yaparlar.
B grubundaki takımlar kendi aralarında \( 2 \cdot C(7, 2) = 42 \) maç yaparlar.
A ve B grubundaki takımlar birbirleriyle \( 8 \cdot 7 = 56 \) maç yaparlar.
En son şampiyonluk maçını da eklersek turnuvada toplam \( 56 + 42 + 56 + 1 = 155 \) maç oynanır.