Denklemlerden farklı olarak, eşitsizliklerin taraflarına her işlem uygulanamaz ya da uygulanan bazı işlemler sonucunda eşitsizlik sembolü yön değiştirir. Eşitsizliklerin özellikleri, bir eşitsizliğin tarafları üzerinde hangi işlemlerin yapılabileceğini ve hangi durumlarda eşitsizlik sembolünün yön değiştireceğini belirtir. Bu özellikler eşitsizlik çözümlerinde sıklıkla kullanılır.
Aşağıda bahsedeceğimiz özelliklerde \( \lt \) sembolü kullanılmış olsa da bu özellikler diğer eşitsizlik sembolleri için de geçerlidir.
Bir eşitsizliğin iki tarafı aralarında yer değiştirirse eşitsizlik de yön değiştirir.
\( x \lt y \Longleftrightarrow y \gt x \)
\( x \lt 5 \Longleftrightarrow 5 \gt x \)
Geçişlilik özelliğine göre, bir ifade ikinci bir ifadeden, ikinci ifade de üçüncü bir ifadeden küçükse (küçük eşitse) birinci ifade üçüncü ifadeden küçük (küçük eşit) olur.
\( x \textcolor{red}{\lt} y \textcolor{red}{\lt} z \) ise, \( \quad x \textcolor{red}{\lt} z \)
\( x \textcolor{red}{\lt} y \textcolor{blue}{\le} z \) ise, \( \quad x \textcolor{red}{\lt} z \)
\( x \textcolor{blue}{\le} y \textcolor{red}{\lt} z \) ise, \( \quad x \textcolor{red}{\lt} z \)
\( x \textcolor{blue}{\le} y \textcolor{blue}{\le} z \) ise, \( \quad x \textcolor{blue}{\le} z \)
Yukarıda dördüncü satırda belirtildiği üzere, \( x \) ve \( z \) arasındaki sembol sadece iki değişkenin \( y \) ile arasındaki sembol "küçük eşit" olduğunda "küçük eşit" olur, diğer üç durumda "küçük" olur. Bunun sebebi, \( x = z \) olabilmesi için \( x = y = z \) olmasının gerekmesidir.
Bir eşitsizliğin her iki tarafı aynı reel sayı ile toplandığında ya da her iki tarafından aynı reel sayı çıkarıldığıda eşitsizlik bozulmaz.
\( x \lt y \) ise,
\( x + c \lt y + c \)
\( x - c \lt y - c \)
\( 2 \le 2x \lt 9 \) ise,
\( 2 + 5 \le 2x + 5 \lt 9 + 5 \)
\( 2 - 7 \le 2x - 7 \lt 9 - 7 \)
Bir eşitsizliğin her iki tarafı aynı pozitif reel sayıyla çarpıldığında ya da aynı pozitif reel sayıya bölündüğünde eşitsizlik bozulmaz.
\( c \gt 0 \) olmak üzere,
\( x \lt y \) ise,
\( c \cdot x \lt c \cdot y \)
\( \dfrac{x}{c} \lt \dfrac{y}{c} \)
\( c = 3 \) olmak üzere,
\( -4 \lt 3x \le 7 \) ise,
\( 3 \cdot (-4) \lt 3 \cdot 3x \le 3 \cdot 7 \)
\( \dfrac{-4}{3} \lt \dfrac{3x}{3} \le \dfrac{7}{3} \)
Bir eşitsizliğin her iki tarafı aynı negatif reel sayıyla çarpıldığında ya da aynı negatif reel sayıya bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirir.
\( c \lt 0 \) olmak üzere,
\( x \lt y \) ise,
\( c \cdot x \gt c \cdot y \)
\( \dfrac{x}{c} \gt \dfrac{y}{c} \)
\( c = -2 \) olmak üzere,
\( -8 \lt 2x \le 6 \) ise,
\( -2 \cdot (-8) \gt -2 \cdot 2x \ge -2 \cdot 6 \)
\( 16 \gt -4x \ge -12 \)
\( \dfrac{-8}{-2} \gt \dfrac{2x}{-2} \ge \dfrac{6}{-2} \)
\( 4 \gt -x \ge -3 \)
Yukarıdaki özelliğin bir uygulaması olarak, bir eşitsizliğin her iki tarafı \( -1 \) ile çarpıldığında eşitsizlik yön değiştirir.
\( x \lt y \) ise,
\( -x \gt -y \)
\( -11 \le 3x \lt 9 \) ise,
\( 11 \ge -3x \gt -9 \)
Eşitsizliğin tarafları aynı işaretli ise eşitsizliğin her iki tarafının çarpmaya göre tersi alındığında eşitsizlik yön değiştirir.
\( x \ne 0, \quad y \ne 0, \quad x \cdot y \gt 0 \) olmak üzere,
\( x \lt y \) ise,
\( \dfrac{1}{x} \gt \dfrac{1}{y} \)
\( 2 \lt 4 \Longrightarrow \frac{1}{2} \gt \frac{1}{4} \)
\( -5 \lt -3 \Longrightarrow -\frac{1}{5} \gt -\frac{1}{3} \)
Eşitsizliğin tarafları ters işaretli ise eşitsizliğin her iki tarafının çarpmaya göre tersi alındığında eşitsizlik bozulmaz.
\( x \ne 0, \quad y \ne 0, \quad x \cdot y \lt 0 \) olmak üzere,
\( x \lt y \) ise,
\( \dfrac{1}{x} \lt \dfrac{1}{y} \)
\( -2 \lt 4 \Longrightarrow -\frac{1}{2} \lt \frac{1}{4} \)
Bir eşitsizliğin her iki tarafı bir sayı ile çarpıldığında ya da bölündüğünde, bu sayının pozitif ya da negatif olmasına göre eşitsizlik sembolünün aynı kaldığını ya da yön değiştirdiğini belirttik, bu yüzden böyle bir işlemde kullanılan sayının işaretini bilmemiz önem taşımaktadır.
Eğer bir eşitsizliğin her iki tarafı bir değişkenle çarpıyorsak bu değişkenin değerinin işaretinden emin olmamız, olamıyorsak böyle bir çarpma/bölme işlemini yapmamamız gerekir.
\( 2 \le \dfrac{3x - 1}{4} \lt 5 \) olduğuna göre, \( x \) değer aralığını bulalım.
Aynı işlemleri eşitsizliğin taraflarına adım adım uygulayarak \( x \)'i yalnız bırakalım.
Eşitsizliğin taraflarını 4 ile çarpalım.
\( 4 \cdot 2 \le 4 \cdot \dfrac{3x - 1}{4} \lt 4 \cdot 5 \)
\( 8 \le 3x - 1 \lt 20 \)
Eşitsizliğin taraflarına 1 ekleyelim.
\( 8 + 1 \le 3x - 1 + 1 \lt 20 + 1 \)
\( 9 \le 3x \lt 21 \)
Eşitsizliğin taraflarını 3'e bölelim.
\( \dfrac{9}{3} \le \dfrac{3x}{3} \lt \dfrac{21}{3} \)
\( 3 \le x \lt 7 \)
Bir eşitsizliğin taraflarının karesi (ya da pozitif çift sayı olan bir üssü) alınırken, eğer aralık sıfır değerini içermiyorsa sınır değerlerinin karesi alınır.
\( 2 \lt x \Longrightarrow 4 \lt x^2 \)
\( x \le -2 \Longrightarrow 4 \le x^2 \)
\( 2 \le x \lt 5 \Longrightarrow 4 \le x^2 \lt 25 \)
\( -5 \le x \lt -2 \Longrightarrow 4 \lt x^2 \le 25 \)
Bir eşitsizliğin taraflarının karesi (ya da pozitif çift sayı olan bir üssü) alınırken, eğer aralık sıfır değerini içeriyorsa alt sınır değeri sıfırdan büyük ve sıfıra eşit olur, üst sınır değeri eşitsizlikteki sınır değerlerinden mutlak değerce büyük olanın karesi olur.
\( -2 \lt x \Longrightarrow 0 \le x^2 \)
\( x \lt 2 \Longrightarrow 0 \le x^2 \)
\( -2 \lt x \le 5 \Longrightarrow 0 \le x^2 \le 25 \)
\( -5 \lt x \le 2 \Longrightarrow 0 \le x^2 \lt 25 \)
\( -7 \lt x \le 3 \) olduğuna göre, \( 2x^2 - 16 \) ifadesinin değer aralığını bulalım.
Verilen aralık sıfır değerini içerdiği için, tarafların karesini aldığımızda alt sınır değeri sıfırdan büyük ve sıfıra eşit olur, üst sınır değeri eşitsizlikteki sınır değerlerinden mutlak değerce büyük olanın karesi olur.
\( 0 \le x^2 \lt 49 \)
Eşitsizliğin taraflarını 2 ile çarpalım.
\( 0 \le 2x^2 \lt 98 \)
Eşitsizliğin taraflarından 16 çıkaralım.
\( 0 - 16 \le 2x^2 - 16 \lt 98 - 16 \)
\( -16 \le 2x^2 - 16 \lt 82 \)
Yukarıda bazı işlemlerde eşitsizlik sembolünün yön değiştirdiğinden bahsettik. Aşağıda her eşitsizlik sembolünün ters yönlü sembolü verilmiştir. Eşitsizliklerde kullanılan bir sembolün ters sembolü ile, mantık konusunda göreceğimiz bir sembolün değili (olumsuzu) arasındaki ayrımı göstermek adına üçüncü sütunda bu sembol de belirtilmiştir.
Sembol | Ters Yönlü Sembol | Değil (Mantık) |
---|---|---|
\( \gt \) | \( \lt \) | \( \le \) |
\( \lt \) | \( \gt \) | \( \ge \) |
\( \le \) | \( \ge \) | \( \gt \) |
\( \ge \) | \( \le \) | \( \lt \) |
Bir denklemin iki tarafı birbirine eşit olduğu için iki denklemin taraf tarafa toplanması, çıkarılması, çarpılması ya da bölünmesi eşitliği bozmaz. Eşitsizlikler arasında ise bu taraf tarafa işlemler sadece belirli durumlarda yapılabilir.
Taraflar arasındaki eşitsizlik sembolü aynı yönlü olmak koşuluyla, eşitsizlikler arasında taraf tarafa toplama işlemi yapılabilir.
\( x \lt y \)
\( u \lt t \)
\( x + u \lt y + t \)
\( 2 \lt x \) ve \( -1 \lt y \) ise,
\( 2 + (-1) \lt x + y \)
Eşitsizlik sembollerinin yönü farklı ise önce semboller aynı yöne gelecek şekilde eşitsizliğin tarafları aralarında yer değiştirilir, sonra eşitsizlikler arasında taraf tarafa toplama işlemi yapılabilir.
\( x \lt y \)
\( u \gt t \Longrightarrow t \lt u \)
\( x + t \lt y + u \)
\( 6 \lt x \)
\( y \gt 2 \Longrightarrow 2 \lt y \)
\( 6 + 2 \lt x + y \)
Alternatif olarak, eşitsizliğin tarafları \( -1 \) ile çarpılarak ve eşitsizliğin yönü değiştirilerek de semboller aynı yönlü yapılabilir.
\( x \lt y \)
\( u \gt t \Longrightarrow -u \lt -t \)
\( x + (-u) \lt y + (-t) \)
\( 6 \lt x \)
\( y \gt 2 \Longrightarrow -y \lt -2 \)
\( 6 + (-y) \lt x + (-2) \)
Taraf tarafa toplanan eşitsizliklerde birbirine karşılık gelen sembollerin ikisi de \( \le \) ise toplamlarından oluşan eşitsizlikte de sembol \( \le \) olur. Sembollerden en az biri \( \lt \) ise toplam eşitsizliğinde sembol \( \lt \) olur.
\( 10 \textcolor{blue}{\le} x \textcolor{blue}{\le} 15 \)
\( 12 \textcolor{blue}{\le} y \textcolor{red}{\lt} 20 \) ise,
\( 22 \textcolor{blue}{\le} x + y \textcolor{red}{\lt} 35 \)
Bunun sebebini yukarıdaki örnek üzerinden açıklarsak, \( x + y = 35 \) olabilmesi için \( x = 15 \) ve \( y = 20 \) olmalıdır, ancak \( y \lt 20 \) olduğu için \( y \) hiçbir zaman 20 değerini alamaz.
İki taraflı eşitsizliklerde (\( x \lt y \)), eşitsizliklerden en az birinin her iki tarafının pozitif olduğu biliniyorsa eşitsizlikler arasında taraf tarafa çarpma işlemi yapılabilir.
\( x \lt y \)
\( 0 \lt u \lt t \)
\( x \cdot u \lt y \cdot t \)
\( 4 \lt x \)
\( 3 \lt y \)
\( 4 \cdot 3 \lt x \cdot y \)
Üç taraflı eşitsizliklerde (\( a \lt x \lt b \)), iki eşitsizlik arasında taraf tarafa çarpma işlemi yapıldığında sonuç eşitsizliklerin uç değerleri arasındaki çarpımların en küçük ve en büyük değerleri arasında olur.
\( a \lt x \lt b \)
\( c \lt y \lt d \)
Eşitsizliklerin uç değerleri arasındaki \( a \cdot c \), \( a \cdot d \), \( b \cdot c \), \( b \cdot d \) çarpımlarının en küçüğü \( m \), en büyüğü \( n \) olmak üzere,
\( m \lt x \cdot y \lt n \)
\( -2 \lt x \lt 3 \)
\( -4 \lt y \lt 5 \)
Uç değerlerin birbiriyle çarpımları: \( -2 \cdot (-4) = 8, -2 \cdot 5 = -10, -4 \cdot 3 = -12, -4 \cdot 5 = -20 \)
Bu çarpım değerlerinin en küçüğü \( -20 \), en büyüğü \( 8 \) olur.
\( -20 \lt x \cdot y \lt 8 \)
Eşitsizlikler arasında taraf tarafa çıkarma işlemi yapılamaz. Bu işlemin hatalı sonuç verebileceğine aşağıdaki gibi bir örnek verebiliriz.
\( 10 \lt 20 \)
\( 1 \lt 15 \)
\( 10 - 1 \not\lt 20 - 15 \)
Alternatif olarak, ikinci eşitsizlikte taraflar \( -1 \) ile çarpılıp eşitsizliğin yönü değiştirildikten sonra eşitsizlikler arasında taraf tarafa toplama işlemi yapılabilir.
\( x \lt 20 \)
\( y \lt 15 \Longrightarrow -15 \lt -y \)
İki eşitsizliği taraf tarafa toplayalım.
\( x + (-15) \lt 20 + (-y) \)
\( x - 15 \lt 20 - y \)
Eşitsizlikler arasında taraf tarafa bölme işlemi yapılamaz. Bu işlemin hatalı sonuç verebileceğine aşağıdaki gibi bir örnek verebiliriz.
\( 10 \lt 20 \)
\( 1 \lt 20 \)
\( \dfrac{10}{1} \not\lt \dfrac{20}{20} \)
\( x, y \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( -3 \lt x \le 4 \)
\( -15 \lt y \le -6 \)
olduğuna göre, \( x + 2y - 2 \) ifadesinin değer aralığını bulalım.
\( x + 2y \) ifadesinin değer aralığını elde etmek için \( x \) ve \( 2y \) değer aralıklarını taraf tarafa toplamamız gerekir.
\( 2y \) değer aralığını bulmak için \( y \) değer aralığının taraflarını 2 ile çarpalım.
\( 2 \cdot (-15) \lt 2y \le 2 \cdot (-6) \)
\( -30 \lt 2y \le -12 \)
\( x \) ve \( 2y \) değer aralıklarını taraf tarafa toplayalım.
\( -3 \lt x \le 4 \)
\( -30 \lt 2y \le -12 \)
\( -3 + (-30) \lt x + 2y \le 4 + (-12) \)
\( -33 \lt x + 2y \le -8 \)
Eşitsizliğin taraflarından 2 çıkaralım.
\( -33 - 2 \lt x + 2y - 2 \le -8 - 2 \)
\( -35 \lt x + 2y - 2 \le -10 \)
\( -\dfrac{9}{2} \lt 12 - 4x \lt \dfrac{4}{3} \) eşitsizliği veriliyor.
Buna göre \( x \)'in alabileceği tam sayı değerlerin toplamı kaçtır?
Çözümü Göster\( x, y \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( 2 \lt x \le 6 \)
\( -5 \lt y \le 8 \)
eşitsizlikleri veriliyor. Buna göre \( 3x - y \) ifadesinin değer aralığını bulunuz.
Çözümü Göster\( -\dfrac{2}{3} \lt x \lt \dfrac{5}{9} \) ve \( -\dfrac{2}{5} \lt y \lt \dfrac{8}{3} \) olduğuna göre,
\( 9x - 15y + 8 \) ifadesinin değer aralığını bulunuz.
Çözümü GösterI. \( x \lt y \)
II. \( x \lt 64\)
III. \( 1 \lt x \)
Yukarıdaki eşitsizliklerden hangisi ya da hangilerinde iki tarafın da 4. kuvveti alındığında eşitsizliğin yönü kesinlikle değişmez?
Çözümü Göster\( 2n \lt 8 \lt n + 11 \) eşitsizliği veriliyor.
Buna göre \( \abs{n} - n \) ifadesinin değer aralığı nedir?
Çözümü Göster\( x^2 + 6x \lt 16 \) olduğuna göre,
\( x^2 - 6x \) ifadesinin değer aralığı nedir?
Çözümü Göster\( x \in R \) olmak üzere,
\( -6 \le x \lt 1 \) eşitsizliği veriliyor.
Buna göre \( x^2 + 10x + 4 \) ifadesinin en geniş değer aralığını bulunuz.
Çözümü Göster\( x \lt -x^2 \lt x^3 \) olmak üzere,
\( \dfrac{8 + 4x}{x} \) ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( 3 \lt x \lt 9 \)
\( 12 \lt y \lt 18 \) eşitsizlikleri veriliyor.
Buna göre \( \frac{x^2 + 2y^2}{xy} \) ifadesinin alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?
Çözümü Göster\( A \) 150'den küçük bir doğal sayıdır.
\( (A - 80)(A - 82)(A - 84) \ldots (A - 120) \gt 0 \) eşitsizliği kaç farklı değer için sağlanır?
Çözümü Göster\( x^2 \lt x \) olmak üzere,
\( \dfrac{6x + 4}{x} \) ifadesinin değer aralığı nedir?
Çözümü Göster\( x \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( -5 \lt x \lt 6 \) olduğuna göre,
\( x^2 + 6x \) ifadesinin alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( -8 \lt x \lt -2 \) olmak üzere,
\( x^2 + 14x + 50 \) ifadesinin alabileceği en büyük ve en küçük tam sayı değerlerinin çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster\( a, b \in \mathbb{Z} \) ve \( c \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( 3a + 2b - 5c = 12 \)
\( -6 \lt b \lt 5 \)
\( -9 \lt c \lt -3 \)
veriliyor. Buna göre \( a \) tam sayısı en fazla kaçtır?
Çözümü Göster\( a, b, c \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( a \lt b \lt c \lt 0 \) olduğuna göre,
I. \( a^2c \lt abc \lt ac^2 \)
II. \( a(b - c) \gt 0 \)
III. \( \dfrac{a}{b} \lt \dfrac{b}{c} \)
ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?
Çözümü GösterAşağıdaki tanım aralıklarının her biri için \( \frac{2}{x} \) ifadesinin görüntü kümesini bulunuz.
I. \( x \gt 4 \)
II. \( x \lt -6 \)
III. \( x \in (-5, 2) - \{ 0 \} \)
Çözümü Göster